北京市朝陽區(qū)2022屆高三上學期期末統(tǒng)一考試數(shù)學（理）模擬試題（詳細答案版）

北京市朝陽區(qū)2022學年度第一學期統(tǒng)一考試高三年級數(shù)學試卷（理工類）2022．1（考試時間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．已知全集，集合，，則A．B．C．D．2．在復平面內，復數(shù)對應的點位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調遞增的是A．B．C．D．4．若，且，則“函數(shù)在上是減函數(shù)”是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件5．從中任選兩個不同的數(shù)字組成一個兩位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)是A．B．12俯視圖正視圖側視圖1C．D12俯視圖正視圖側視圖16．某四棱錐的三視圖如圖所示，其俯視圖為等腰直角三角形，則該四棱錐的體積為A．B．C．D．7．在中，，點D是邊上的動點，且，,()，則當取得最大值時,的值為A． B．C． D．8．某校高三（1）班32名學生全部參加跳遠和擲實心球兩項體育測試．跳遠和擲實心球兩項測試成績合格的人數(shù)分別為26人和23人，這兩項成績都不合格的有3人，則這兩項成績都合格的人數(shù)是A．B．C．D．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在答題卡上．開始是否輸出結束9．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則等于開始是否輸出結束10．已知等差數(shù)列的前n項和為．若，，則=，．11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果為．12．在△中，已知，則．13．設D為不等式組表示的平面區(qū)域，對于區(qū)域D內除原點外的任一點，則的最大值是_______；的取值范圍是．14．若集合滿足：QUOTE，都有QUOTE，則稱集合QUOTE是封閉的．顯然，整數(shù)集，有理數(shù)集都是封閉的．對于封閉的集合（），：是從集合QUOTE到集合QUOTE的一個函數(shù)，①如果QUOTE都有QUOTE，就稱QUOTE是保加法的；②如果都有QUOTE，就稱是QUOTE保乘法的；③如果既是保加法的，又是保乘法的，就稱QUOTE在QUOTE上是保運算的．在上述定義下，集合QUOTE封閉的（填“是”或“否”）；若函數(shù)QUOTE在上保運算，并且是不恒為零的函數(shù)，請寫出滿足條件的一個函數(shù)QUOTE．QUOTE三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15．（本小題滿分13分）已知函數(shù)． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值．16．（本小題滿分13分）甲、乙兩位同學參加數(shù)學文化知識競賽培訓．現(xiàn)分別從他們在培訓期間參加的若干次測試成績中隨機抽取8次，記錄如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85（Ⅰ）用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)；（Ⅱ）現(xiàn)要從中選派一人參加正式比賽，從所抽取的兩組數(shù)據(jù)分析，你認為選派哪位同學參加較為合適？并說明理由；（Ⅲ）若對甲同學在今后的3次測試成績進行預測，記這3次成績中高于80分的次數(shù)為（將甲8次成績中高于80分的頻率視為概率），求的分布列及數(shù)學期望．17．（本小題滿分14分）FADCBE在如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，四邊形為直角梯形，且平面平面FADCBE.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若二面角為直二面角，（=1\*romani）求直線與平面所成角的大??；（=2\*romanii）棱上是否存在點，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．18．（本小題滿分13分）已知橢圓上的動點與其頂點,不重合．（Ⅰ）求證：直線與的斜率乘積為定值；（Ⅱ）設點，在橢圓上，為坐標原點，當,時，求的面積．19．（本小題滿分14分）設函數(shù)，，．（Ⅰ）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)有兩個零點，試求的取值范圍；（Ⅲ）證明．20．（本小題滿分13分）設是正整數(shù)，數(shù)列，其中是集合中互不相同的元素．若數(shù)列滿足：只要存在使，總存在有，則稱數(shù)列是“好數(shù)列”．（Ⅰ）當時，（?。┤魯?shù)列是一個“好數(shù)列”，試寫出的值，并判斷數(shù)列：是否是一個“好數(shù)列”？（ⅱ）若數(shù)列是“好數(shù)列”，且，求共有多少種不同的取值？（Ⅱ）若數(shù)列是“好數(shù)列”，且是偶數(shù)，證明：．詳細答案部分1.【考點】集合的運算【解析】由得，由得，，，故選B.【答案】B

2.【考點】復數(shù)綜合運算【解析】，對應的點為，所以在第四象限，故選D.【答案】D

3.【考點】函數(shù)的奇偶性函數(shù)的單調性與最值【解析】，所以為偶函數(shù)，在上為減函數(shù)，不滿足題意；為開口向下的二次函數(shù)，關于軸對稱為偶函數(shù)，在上單調減，不滿足題意；，為偶函數(shù)，當時，在上為減函數(shù)，不滿足題意，，為偶函數(shù)，當時，函數(shù)為增函數(shù)，故選D.【答案】D

4.【考點】充分條件與必要條件【解析】函數(shù)在上是減函數(shù)，則，函數(shù)在上是增函數(shù)，則，解得，所以時滿足，“函數(shù)在上是減函數(shù)”是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的充分條件，時，不一定有，故“函數(shù)在上是減函數(shù)”不是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的必要條件，故答案為A.【答案】A

5.【考點】排列與排列的運用【解析】當末位數(shù)字為0時，首位可以是1，2，3，4中的一個，有4個，當末位數(shù)字為2或4時，首位可以是除了0之外的其它3個數(shù)字中的1個，故有種，所以偶數(shù)的個數(shù)是10個，故選C.【答案】C

6.【考點】空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的三視圖與直觀圖【解析】還原三視圖后放到長方體里如圖所示，，，，為四棱錐的高體積為，故答案為B.

【答案】B

7.【考點】線性運算【解析】點D是邊上的動點，則三點共線，滿足，所以，即，又，所以，，，當且僅當時，等號成立，此時為的中點，，.故選C.【答案】C

8.【考點】集合的運算【解析】設跳遠和擲實心球測試都合格的為人，則，解得，所以選B.【答案】B

9.【考點】雙曲線【解析】雙曲線的漸近線方程為，所以，又，所以?！敬鸢浮?

10.【考點】等差數(shù)列【解析】設等差數(shù)列的公差為，則，即，，，，，故答案為4，110.【答案】4，110

11.【考點】算法和程序框圖【解析】執(zhí)行程序

，判斷，是，進入循環(huán)；

，判斷，是，進入循環(huán)；

，判斷，是，進入循環(huán)；

，判斷，否，輸出

故答案為：30【答案】30

12.【考點】解斜三角形【解析】由正弦定理，所以，解得，則，所以.故答案為105°.【答案】105°

13.【考點】線性規(guī)劃【解析】畫出可行域如圖所示

令，，當直線過點是有最大值，聯(lián)立，得，代入；

第二空：

解法一、

由圖可知，令，則，，當時，有最小值，代入得，故的取值范圍為.

解法二、

如圖當點在與平行的直線：上運動時，為（負）定值，故對每一個，這道當落在與的交點時，與原點的距離最小，從而取得最小值；

當變化時，與的交點在上運動，此時，故=，為常數(shù)，綜上知道，的最小值在線段上取到，最小值為，而最大值在線段上取到，最大值為0，故取值范圍為.

解法三：

注意到所求為一次齊次式，可以考慮分子分母同除以，

當時，得到；

當時，得到，這里為原點與點的直線的斜率，容易得到，從而上述的取值范圍為；

當是，得到這里為原點與點的直線的斜率，容易得到，從而上述的取值范圍為；

綜上所述，知道取值范圍為.

解法四：

設，

令，，

由在可行域內，，

故.【答案】；

14.【考點】函數(shù)綜合【解析】設，

則，

，

則，

所以集合是封閉的.

設，則，滿足，.【答案】是；,

15.【考點】三角函數(shù)綜合【解析】（Ⅰ）因為

所以的最小正周期為．

（Ⅱ）因為

當時，取得最大值；

當取得最小值．【答案】見解析

16.【考點】概率綜合【解析】（Ⅰ）作出莖葉圖如下：

（Ⅱ）派甲參賽比較合適．理由如下：

，

，

，

因為，，

所以，甲的成績較穩(wěn)定，派甲參賽比較合適．

注：本小題的結論及理由均不唯一，如果考生能從統(tǒng)計學的角度分析，給出其他合理回答，同樣給分．如派乙參賽比較合適．理由如下：

從統(tǒng)計的角度看，甲獲得85分以上（含85分）的頻率為，

乙獲得85分以上（含85分）的頻率為．

因為，所以派乙參賽比較合適．

（Ⅲ）記“甲同學在一次數(shù)學競賽中成績高于80分”為事件A，．

隨機變量的可能取值為0，1，2，3，且．

∴，．

所以變量的分布列為：

0123P．（或）【答案】見解析

17.【考點】立體幾何綜合【解析】證明：（Ⅰ）連結，設，

因為四邊形為正方形，

所以為中點．

設為的中點，連結，

則，且．

由已知，且，

所以．

所以四邊形為平行四邊形．

所以，即．

因為平面，平面，

所以考點】圓錐曲線綜合【解析】（Ⅰ）設，則．

所以直線與的斜率乘積為．

（Ⅱ）依題直線的斜率乘積為．

①當直線的斜率不存在時，直線的斜率為，設直線的方程是，由得，．

取，則．所以的面積為．

②當直線的斜率存在時,設直線的方程是,

由得．

因為，在橢圓上，

所以，解得．

設,,則，．

．

設點到直線的距離為，則．

所以的面積為……①．

因為,，直線,的斜率乘積為，所以．

所以．

由，得．……②

由①②，得．

綜上所述，．【答案】見解析

19.【考點】導數(shù)的綜合運用【解析】（Ⅰ）函數(shù)的定義域是，．

當時，，．

所以函數(shù)在點處的切線方程為．

即．

（Ⅱ）函數(shù)的定義域為，由已知得．

①當時，函數(shù)只有一個零點；

②當，因為，

當時，；當時，．

所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增．

又，，

因為，所以，所以，所以

取，顯然且

所以，．

由零點存在性定理及函數(shù)的單調性知，函數(shù)有兩個零點．

③當時，由，得，或．

ⅰ)當，則．

當變化時，變化情況如下表：

+－+↗↘

↗注意到，所以函數(shù)至多有一個零點，不符合題意．

ⅱ)當，則，在單調遞增，函數(shù)至多有一個零點，不符合題意．

若，則．

當變化時，變化情況如下表：

+－+↗

↘↗注意到當時，，，所以函數(shù)至多有一個零點，不符合題意．

綜上，的取值范圍是

（Ⅲ）證明：．

設，其定義域為，則證明即可．

因為，取，則，且．

又因為，所以函數(shù)在上單增．

所以有唯一的實根，且．

當時，；當時，．

所以函數(shù)的最小值為．

所以

．

所以【答案】見解析

20.【考點】數(shù)列綜合應用【解析】（Ⅰ）（ⅰ），或；

數(shù)列：也是一個“好數(shù)列”．

（ⅱ）由（?。┛芍?，數(shù)列必含兩項，

若剩下兩項從中任取，則都符合條件，有種；

若剩下兩項從中任取一個，則另一項必對應中的一個，

有種；

若取，則，，“好數(shù)列”必超過項，不符合；

若取，則，另一項可從中任取一個，有種；

若