立體幾何之空間點、線、面之間的關系

空間點、直線、平面之間的位置關系（講義）知識點睛一、平面的基本性質公理1：如果一條直線上的________在一個平面內，那么這條直線在此平面內．幾何語言：___________________________．公理2：過________________的三點，有且只有一個平面．推論1：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有________過該點的公共直線．幾何語言：_______________________________．二、位置關系位置關系幾何語言圖示點、線點在直線上點在直線外點、面點在平面內點在平面外線、線同一平面相交平行不同一平面異面線、面線在平面內線在平面外相交平行面、面平行相交三、線線位置關系公理4：平行于_____________的兩條直線互相平行．定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角______________．異面直線所成的角（1）定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的__________叫做異面直線a，b所成的角(或夾角)．（2）異面直線所成角θ的范圍：___________．（3）如果兩條異面直線所成的角是直角，那這兩條直線_______，記作_______．（4）圖示證明兩條直線的位置關系的方法（1）證明兩條直線異面，通常用反證法；（2）證明直線相交，通常用平面的基本性質，平面圖形的性質等；（3）證明兩條直線平行，利用公理4或平行四邊形的性質等.四、證明三線共點、三點共線的方法三線共點特征：有兩個相交平面，兩個平面內分別有一條直線；處理思路：首先證明平面內的兩條直線相交，利用公理3，再證明交點在交線上．三點共線特征：有一個平面，平面內有三點；處理思路：轉化為平面與平面的交線，利用公理3，三點都在交線上．精講精練下列命題正確的個數(shù)為（）①經過三點確定一個平面；②梯形可以確定一個平面；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．A．0 B．1 C．2 D．3已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b（）A．一定是異面直線 B．一定是相交直線C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線A．異面 B．平行 C．相交 D．無法確定下列說法正確的是（）A．若a?α，b?β，則a與b是異面直線B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面C．若a，b不同在平面α內，則a與b異面D．若a，b不同在任何一個平面內，則a與b異面下列命題：（1）公理1可結合符號敘述為：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，則必有l(wèi)∈α；（2）四邊形的兩條對角線必相交于一點；（3）用平行四邊形表示平面，以平行四邊形的四條邊作為平面的邊界線；（4）矩形是平面圖形．其中正確命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4以下四個命題中：①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．正確命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3a，b，c是空間中互不重合的三條直線，下面給出五個命題：

①若a∥b，b∥c，則a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；

③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；

④若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線；

⑤若a，b與c成等角，則a∥b．上述命題中正確的命題是________．(只填序號)設P表示一個點，a，b表示兩條直線，α，β表示兩個平面，給出下列四個命題，其中正確的命題是（）①P∈a，P∈α?a?α；②a∩b=P，b?β?a?β；③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α；④α∩β=b，P∈α，P∈β?P∈b．A．①② B．③④ C．①④ D．②③如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列判斷錯誤的是（）A．MN與A1B1平行 B．MN與AC垂直C．MN與BD平行 D．MN與CC1垂直第9題圖第10題圖第11題圖如圖，α∩β=l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l=M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過（）A．點A B．點BC．點C但不過點M D．點C和點M如圖，在空間四邊形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點，設BC+AD=2a，則MN與a的大小關系是（）A．MN>a B．MN=a C．MN<a D．不能確定如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6已知空間中有三條線段AB，BC和CD，且∠ABC=∠BCD，那么直線AB與CD的位置關系是（）A．AB∥CD B．AB與CD異面C．AB與CD相交 D．以上三種情況都有可能在下圖中，G，N，M，H分別是三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號)一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD．以上四個命題中，正確命題的序號是________．第15題圖第16題圖如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，則異面直線BA1與CC1所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°如圖，在空間四邊形ABCD中，對角線AC=24，BD=10，點M，N分別是AB，CD的中點，且MN=13，則異面直線AC和BD所成角的度數(shù)是（）A．90° B．60° C．45° D．30°如圖，已知平面α，β，且α∩β=l．設梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β．求證：AB，CD，l共點(相交于一點)．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點．求證：（1）E，C，D1，F(xiàn)四點共面；（2）CE，D1F，DA三線共點．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點．求證：D1，H，O三點共線．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，（1）求AC與A1D所成角的大??；（2）若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，求A1C1與EF所成角的大?。臻g四邊形ABCD中，AB=CD且AB與CD所成的角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成角的大?。仡櫯c思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【參考答案】【知識點睛】一、兩點 ，且不在一條直線上 一條二、略三、同一條直線 相等或互補 1．（1）銳角（或直角）；（2）0°<≤90°；（3）垂直 a⊥b【精講精練】1．C 2．C 3．D 4．D 5．A 6．B 7．① 8．B 9．A 10．D11．C 12．C 13．D 14．②④ 15．①③16．B 17．A 18．證明略 19．證明略20．證明略 21．（1）60°；（2）90° 22．15°或75°空間點、直線、平面之間的位置關系（隨堂檢測）下列如圖所示是正方體和正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則四個點共面的圖形是________．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E為CC1的中點，那么異面直線OE與AD1所成角的余弦值等于（）A． B． C． D．【參考答案】1．①③2．D空間點、直線、平面之間的位置關系（作業(yè)）判斷正誤，正確的打“√”，錯誤的打“×”．（1）有三個公共點的兩個平面必重合．（）（2）空間中兩條平行直線確定一個平面．（）（3）空間兩兩相交的三條直線確定一個平面．（）（4）三角形是平面圖形．（）（5）平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形．（）（6）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（）（7）垂直于同一直線的兩直線平行．（）（8）一條直線和兩平行線中的一條相交，也必和另一條相交．（）下面結論中：①如果兩個不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β=a；②兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過點A的任意一條直線；③兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于點A，并記作α∩β=A；④兩個平面ABC與DBC相交于線段BC；⑤經過兩條相交直線，有且只有一個平面．正確結論的序號為____________．滿足下列條件，平面α∩平面β=AB，直線a?α，直線b?β且a∥AB，b∥AB的圖形是（）A．B．C．D．設a，b，c是空間中三條不重合的直線，給出以下五個命題：

①若a⊥b，b⊥c，則a⊥c；

②若a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c也是異面直線；

③若a和b相交，b和c相交，則a和c也相交；

④若a和b共面，b和c共面，則a和c也共面；

⑤若a∥b，b∥c，則a∥c．

其中正確的命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3l1，l2，l3是空間中三條不同的直線，則下列命題正確的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點?l1，l2，l3共面已知α，β為平面，A，B，M，N為點，a為直線，下列理解錯誤的是（）A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β=直線MNC．A∈α，A∈β?α∩β=AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共線?α，β重合已知a，b，c為三條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，有下列命題：①若a∥c，b∥c，則a∥b；②若a∥β，b∥β，則a∥b；③若a∥c，c∥α，則a∥α；④若a∥β，a∥α，則α∥β．其中正確的命題的個數(shù)是（）A．①② B．① C．②④ D．③④如圖，在空間四邊形ABCD中，AB，BC，CD的中點分別是P，Q，R，且PQ=2，QR=，PR=3，那么異面直線AC和BD所成的角為（）A．90° B．60° C．45° D．30°如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1兩個面上成異面關系的兩條對角線所成的角為（）A．60° B．90° C．60°或90° D．30°第9題圖第10題圖如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=4，AD=2，E，F(xiàn)，G分別是DD1，AB，CC1的中點，則直線A1E，F(xiàn)G所夾的角為________．將正方體的紙盒展開(如圖)，則直線AB，CD在原正方體中所成的角為________．第11題圖第12題圖如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，若AC=BD=a，且AC與BD所成的角為60°，則四邊形EFGH的面積是________．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點．問：（1）AM和CN是否是異面直線？請說明理由；（2）D1B和CC1是否是異面直線？請說明理由．如圖，△ABC在平面α外，直線AB∩平面α=P，直線AC∩平面α=Q，直線BC∩平面α=R，求證：P，Q，R三點共線．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點，求證：四邊形BFD1E是平行四邊形．如圖，在正方體ABCD-