中考專題與三角形有關(guān)的輔助線

創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天第一節(jié)等腰三角形常常使用的協(xié)助線之答祿夫天創(chuàng)作創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天例1、文文和彬彬在證明“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”這一命題時(shí),畫出圖形,寫出“已知”“求證”（如圖）,她們對(duì)各自所作的協(xié)助線描繪以下：文文：“過點(diǎn)A作BC的中垂線AD,垂足為D”；彬彬：“作△ABC的角均分線AD”.數(shù)學(xué)老師看了兩位同學(xué)的協(xié)助線作法后,說：“彬彬的做法是正確的,而文文的做法需要勘誤.”1）請(qǐng)你簡要說明文文的協(xié)助線作法錯(cuò)在哪里；2）依據(jù)彬彬的協(xié)助線作法,達(dá)成證明過程.例2、如圖,已知AD∥BC,AB=AD＋BC,E為DC的中點(diǎn).求證：∠ABE=∠CBE.例3、已知：如圖,在正方形ABCD中,E為AB的中點(diǎn),在CD延長線上取一點(diǎn)F,使FE=FC,EF交AD于P.求證：AE=2DF.連結(jié)CE,取CE中點(diǎn)HFHE全即是FHC,FH垂直于CE角BEC=角ECFCE/EB=CF/CH=根號(hào)5CF=根號(hào)5*CH=根號(hào)5*CE/2=根號(hào)5*根號(hào)5*BE/2=BE*5/2=AB*5/4DF=CF-CD=AB/4=AB/2*1/2=AE*1/2例4、已知：如圖,在△ABC中,AB=AC,D點(diǎn)在AB上,E在AC延伸線上,且BD=CE,連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F.求證：DF=EF.創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天DF=EF證明以下：過點(diǎn)D作平行于BC的直線交AC于點(diǎn)G由于AB=AC；DG//BC因此BD=CG又BD=CE,故CG=CE又由于CF//DG因此CF是三角形DEG的中位線因此F是DE的中點(diǎn)因此DF=EF綜合操練：1、如圖,菱形ABCD的邊長為2,BD=2,E、F分別是邊AD、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且知足AE＋CF=2.1）求證：△BDE≌△BCF；2）判斷△BEF的形狀,并說明原因；（3）設(shè)△BEF的面積為S,求S的取值范圍.1）AE+CF=2=CD=DF+CF∴AE=DFAB=BD∠A=∠BDF=60°∴△BDE全即是△BCF（2）由（1）得BE=BF且∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠EBD+∠ABE=∠ABD=60°∴△BEF是等邊三角形（3）3√3/4<=S<=√3第二節(jié)直角三角形常常使用的協(xié)助線例1、如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD是∠BAC的均分線,求證：AC＋CD=AB.例2、如圖,AC=BD,AD⊥AC,BD⊥BC,求證：AD=BC.綜合操練：1、如圖,CD是RtABC斜邊AB上的高,將△BCD沿CD折疊,B點(diǎn)恰巧落在AB的中點(diǎn)E處.則∠A即是（）A、25°B、30°C、45°D、60°創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天2、如圖（1）,△ABC的邊BC在直線l上,AC⊥BC,且AC=BC；△EFP的邊FP也在直線l上,邊EF與邊AC重合,且EF=FP.（1）在圖（1）中,請(qǐng)你經(jīng)過察看、測(cè)量,猜想并寫出AB與AP所知足的數(shù)目關(guān)系和地點(diǎn)關(guān)系；2）將△EFP沿直線l向左平移到圖（2）所示的地點(diǎn)時(shí),EP交AC于點(diǎn)Q,連結(jié)AP、BQ.猜想并寫出BQ與AP所知足的數(shù)目關(guān)系和地點(diǎn)關(guān)系,請(qǐng)證明你的猜想.3）將△EFP沿直線l向左平移到圖（3）所示的地點(diǎn)時(shí),EP的延伸線交AC的延伸線于點(diǎn)Q,連結(jié)AP、BQ.你以為圖（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)目關(guān)系和地點(diǎn)關(guān)系還建立嗎？若建立,給出證明；若不建立,請(qǐng)說明原因.3、如圖,在銳角△ABC中,BE、CF是高,在BE、CF或其延伸線上分別截取CP=AB,BQ=AC,分別過P、Q作PM⊥BC、QN⊥BC,M、N是垂足,求證：PM＋QN=BC.第三節(jié)全等三角形的協(xié)助線例1、已知：如圖,在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AC邊上一點(diǎn),BE與AD交于F,若AE=EF.求證：AC=BF.例2、（1）已知：如圖（1）在四邊形ABCD中,BC＞AB,AD=CD,BD均分∠ABC.求證：∠BAD＋∠C=180°.2）已知：如圖（2）在△ABC中,BE是∠ABC的均分線,AD⊥BE,垂足為D.創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天求證：∠BAD=∠DAC＋∠C.例3、已知：如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),若∠PBC=10°,∠PCB=30°,求∠PAB的度數(shù).例4、已知：如圖,BD是四邊形ABCD的∠ABC的均分線,∠A＋∠BCD=180°.求證：AD=DC.例5、已知：如圖,在△ABC中,DE∥GF∥BC,且AD=GB求.證：AE=CF.例6、已知：如圖,P為∠AOB均分線OP上一點(diǎn),PC⊥OA于C,OAP＋∠OBP=180°.求證：AO＋BO=2OC.例7、如圖,在△ABC中,∠B=60°,AD、CE是△ABC的角均分線,且交于點(diǎn)O.求證：AC=AE＋CD.綜合操練：1、把持：如圖①,△ABC是正三角形,△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形,以D為極點(diǎn)作一個(gè)60°的角,角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn),連結(jié)MN.研究：線段BM、MN、NC之間的關(guān)系,并加以證明.說明：（1）假如你經(jīng)歷頻頻研究,沒有找到解決問題上的方法,請(qǐng)你把研究過程中的某種思路寫出來（要求起碼寫3步）；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程以后,能夠從以下①、②中選用一個(gè)填補(bǔ)或改換已知條件,達(dá)成你的證明.①AN=NC（如圖②）；②DM∥AC（如圖③）.附帶題：若點(diǎn)M、N分別是射線AB、AC上的點(diǎn),其余條件不變,創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天再研究線段BM、MN、NC之間的關(guān)系,在圖④中畫出圖形,丙說明原因.①②③④2、如圖,兩個(gè)全等的含30°,60°的三角形ADE和ABC,E、A、C在一條直線上,連結(jié)BD,取BD的中點(diǎn)M,連結(jié)ME、MC,試判斷△EMC的形狀,并說明原因.3、如圖①,小明將一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開,獲取兩張三角形紙片（如圖②）,量得他們的斜邊長為10cm,較小銳角為30°,再將這兩張三角形紙片擺成如圖③所示的形狀,但點(diǎn)B、C、F、D在同向來線上,且點(diǎn)C與點(diǎn)F重合.（在圖③至圖⑥中一致用F示意）.小明在對(duì)這兩張三角形紙進(jìn)行以下把持時(shí)碰到了三個(gè)問題,請(qǐng)你幫手解決.（1）將圖③中的△ABF沿BD向右平移到圖④的地點(diǎn),使點(diǎn)B與點(diǎn)F重合,請(qǐng)你求出平移的距離.2）將圖③中的△ABF繞點(diǎn)F順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°到圖⑤的地點(diǎn),A1F交DE于點(diǎn)G,請(qǐng)你求出線段FG的長度.3）將圖③中的△ABF沿直線AF翻折到圖⑥的地點(diǎn),AB交DE于點(diǎn)H,請(qǐng)證明：AH=DH.①②③④⑤⑥4、已知：點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等,且OB=OC.創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天1）如圖（1）,若點(diǎn)O在邊BC上,求證：AB=AC；2）如圖（2）,若點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部,求證：AB=AC；3）若點(diǎn)O在△ABC的外面,AB=AC建立嗎？請(qǐng)繪圖示意.（1）（2）5、請(qǐng)閱讀以下資料：問題：如圖（1）,在菱形ABCD和菱形BEFG中,點(diǎn)A,B,E在同一條直線上,P是線段DF的中點(diǎn),連結(jié)PG,PC.若∠ABC=BEF=60°,研究PG與PC的地點(diǎn)關(guān)系及PG的值.PC小聰同學(xué)的思路是：延伸GP交DC于點(diǎn)H,結(jié)構(gòu)全等三角形,經(jīng)過推理使問題獲取解決.請(qǐng)你參照小聰同學(xué)的思路,研究并解決以下問題：（1）寫出上邊問題中線段PG與PC的地點(diǎn)關(guān)系及PG的值；PC（2）將圖（1）中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使菱形BEFG的對(duì)角線BF恰巧與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上,原問題中的其余條件不變（如圖（2））.你在（1）中獲得的兩個(gè)結(jié)論能否發(fā)生改動(dòng)？寫出你的猜想并加以證明.（3）若圖（1）中∠ABC=∠BEF=2(090),將菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)隨意角度,原問題的其余條件不變,請(qǐng)你直接寫出PG的值.（用含的式子示意）PC（1）（2）第四節(jié)相像三角形中常常使用的協(xié)助線例1、如圖,△ABC中,點(diǎn)D、E在BC上,且BD=DE=EC,又AB上創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天的中線CF分別交AD、AE于G、H,求FG：GH：HC.例2、如圖,□ABCD中,點(diǎn)E在AB上,AE=2BE.點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),連結(jié)EF交對(duì)角線BD于點(diǎn)G.求：BG：BD的值.例3、已知：如圖,過△ABC的極點(diǎn)C任作一條直線,與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F和E.求證：AE：ED=2AF：FB.例4、如圖,△ABC中,AB=8,AC=6,點(diǎn)D在AB上,且AD=2.試在邊AC上找一點(diǎn)E,使△ADE與原三角形（△ABC）相像,求AE的長.例5、如圖,△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,點(diǎn)D在AB的延長線上,且BD=AB,動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上挪動(dòng),作直線DP交AC于點(diǎn)E.設(shè)BP=x,AE=y.1）求y對(duì)于x的函數(shù)分析式及界說域；2）當(dāng)PB為什么值時(shí),直線DP恰將△ABC的面積均分？例6、如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,矩形DEFG的極點(diǎn)D在AB上,E、F在BC上,G在AC上.（1）設(shè)BE=x,S四邊形DEFGy,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍.2）連結(jié)EG,當(dāng)x取何值時(shí),EG∥AB？求此時(shí)矩形DEFG的面積.創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天例7、如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BC=8,AB=12,AD=a.試問：可否在邊AB上找到點(diǎn)P,使得△ADP與△BCP相像？并說明a的取值對(duì)點(diǎn)P的個(gè)數(shù)能否有影響,請(qǐng)加以說明.例8、如圖,在△ABC內(nèi)有一點(diǎn)O,連結(jié)AO、BO、CO并分別延伸后與BC、CA、AB訂交于點(diǎn)D、E、F.求證：綜合操練：

ODOEOF1.ADBECF1、已知：如圖,在△ABC中,D為AB邊上一點(diǎn),∠A=36°,AC=BC,AC2ABAD.1）試說明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；2）若AB=1,求AC的值；3）試結(jié)構(gòu)一個(gè)等腰梯形,該梯形連同它的兩條對(duì)角線,獲取了8個(gè)三角形,要求結(jié)構(gòu)出的圖形中有盡可能多的等腰三角形.（注明各角的度數(shù)）2、以下圖,一段街道的兩邊沿所在的直線分別為AB、PQ,而且AB∥PQ.建筑物的一端DE所在的直線MN⊥AB于點(diǎn)M,交PQ于點(diǎn)N.小亮從成功街的A處,沿著AB方向行進(jìn),小明向來站在點(diǎn)P的地點(diǎn)等候小亮.1）請(qǐng)你在圖紙中畫出小亮恰巧看見小明時(shí)的視野,以及此時(shí)小亮所在地點(diǎn)（用點(diǎn)C標(biāo)出）2）已知MN=20m,MD=8m,PN=24m,求（1）中的點(diǎn)C到勝創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天利街口的距離CM.3、已知：如圖（1）,在RtABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,點(diǎn)P由B起程沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm∕s；點(diǎn)Q由A起程沿CA方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),速度為2cm∕s；連結(jié)PQ.若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)(0t2),解答以下問題：1）當(dāng)t為什么值時(shí),PQ∥BC？2）設(shè)△AQP的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；3）能否存在某一時(shí)刻t,使線段PQ恰巧把RtACB的周長和面積同時(shí)均分？若存在,求出此時(shí)t的值；若不存在,說明原因；（4）如圖（2）,連結(jié)PC,并把△PQC沿QC翻折,獲取四邊形PQP'C,那么能否存在某一時(shí)刻t,使四邊形PQP'C為菱形？若存在,求出此時(shí)菱形的邊長；若不存在,說明原因.（1）（2）4、如圖,四邊形ABCD為一梯形紙片,AB∥CD,AD=BC,翻折紙片ABCD,使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,折痕為EF,已知CE⊥AB.1）求證：EF∥BD.2）若AB=7,CD=3.求線段EF的長.5、如圖,在RtABC中,∠A=90