專練18（30題）（二次函數壓軸題）2022中考數學考點500題（吉林）解析版

2022中考考點必殺500題

專練18（二次函數壓軸題）（30道）

1.（2022,吉林省實驗中學一模）在平面直角坐標系中，二次函數丫=7：2+2,內-6機（了42,”，

機為常數）的圖象記作G,圖象G上點/的橫坐標為2m.平面內有點C（-2,-2）.當ZC不

與坐標軸平行時.，以NC為對角線構造矩形/8C，與x軸平行，8c與夕軸平行.

⑴當機=-2,求圖象G的最高點坐標；

⑵若圖象G過點（3,-9）,求出機的取值范圍；

⑶若矩形Z8CC為正方形時，求點力坐標；

⑷圖象G與矩形的邊有兩個公共點時，直接寫出〃?的取值范圍.

【答案】（1）0（-4,12）

3

（3）（0,0）或（2,-6）

（4）-1<^,0

【解析】

【分析】

（1）把加=-2代入y=-/+2加-6"，得出函數關系式，根據x的取值范圍求其最大值即

可；

（2）根據圖象G經過點（3,-9）,結合xCm,列出關于加的不等式，解不等式即可；

（3）用〃?表示出/、B、。的坐標，分情況討論即可；

（4）分類討論，數形結合進行解題，根據點/在圖象G上，再在圖象G上找一個點可以滿

足條件，然后根據m的取值范圍進行分類討論，畫出草圖進行解答即可.

⑴

解：當機=-2時，

y=-x2-4x+12

=-（X2+4X）+12

=-（X+2）2+16

vx<-4,

，當x=Y時，y=-（Y+2）?+16=12最大，

回圖象G的最高點坐標為（T12）；

(2)

團y=-/+2〃a一6"的圖象過點(3,-9),JzLx<2/n,

2m>3,

3

解得：加之］;

（3）

?「A在y=-x2+2mx-6m_t,

???當x=2m時，y--4w2+4〃/-6m=—6m,

/.A（2m,—6m）,

團在正方形45CQ中，Z8與x軸平行，8。與y軸平行，

「.A、8的縱坐標相同，B、C的橫坐標相同，

B（—2,—6/??）,

同理可得：0（2帆-2）,

當機。0時，

團294-6〃?的符號相反，

??.A點在第二象限或在第四象限內，

當點A在第：象限內時:即〃?<0,4在8的右側，

-AD=CD,

團2機+2=-6m+2,

解得〃7=0,（不合題意舍去）；

當點A在第二象限內時，即加<0,力在3的左側，

-AD=CD,

0—2—2/??=—6m+2,

解得：〃7=1>0,（不合題意舍去）；

當點A在第四象限內時，即加K）,/在。點的下方，

?：AD=CD,

02m+2=6m—2,

解得m=l,

團此時點4的坐標為（2,-6）；

當點A在第四象限內時，即加X）,4在。點的上方，

-AD=CD,

02//7+2=—6m+2,

解得〃7=。（不合題意舍去）

當〃7=0時，點/（0,0）,B（-2,0）,D（0,-2）,四邊形A8CQ正好為正方形;

綜上分析可知，點力坐標為(0,0)或(2,-6).

(4)

團點4在圖象G上，

團圖象G與矩形ABCD一定有一個公共點，

回圖象G與矩形ABCD的邊有兩個公共點，

團只需圖象G與矩形ABCD的邊再有一個公共點即可;

團點A的橫坐標為2m,

(2m,-6m),

當X=-2時，y=-4-10/77,

當?4-10/〃=-6〃7時，7?2=-1,

當ni<-l時,如圖所示:

v

此時圖象G在x<2m時，、隨x的增大而增大，

回矩形與圖象G只有一個交點A-,

當機=-1時，/點坐標為(-2,6),此時點/C平行于y軸，不符合題意;

當-1<加40時，如圖所示：

此時圖象G與邊ZB只有一個交點a與另外兩邊只有一個交點,

團此時圖象G與矩形ABCD有兩個交點；

當?6/及=-2時，m=-,

3

當OV/wV：時，2〃?>加，如圖所示:

-X2+2nvc-6m=-6m，

整理得：一/+2/nx=0，

△=4/n2>0,

又囹W0,

團此時△>(),方程一定有兩個不相等的實數解，

國此時圖象G與AB一定還有除A點外的另外一個點,

團此時圖象G與矩形ABCD有三個交點；

1o

當m時，A點的坐標為（；，々），此時/C平行于x軸，不符合題意;

當膽＞；時，方程—x2+2,nr—6“=—6〃?一定也有兩個不相等的實數解，

回圖象G與,48一定有除/點外的另外一個點，如圖所示：

回此時圖象G與矩形ABCD的交點個數一定大于2個，不符合題意；

綜上所述：當-IV”長0時，圖象G與矩形45CD有兩個交點.

【點睛】

本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，數形結合，分類討論是

解題的關鍵.

2.（2022?吉林長春■一模）已知二次函數丫=以2-2了+'+4（。=0）

（1）當〃=-4時，若點/在此二次函數的圖象上，求6的值.

⑵若。＜0,求此二次函數的最大值

⑶若點A（〃?,Y）、8（機+4,T）恰好同時落在此二次函數的圖象上，求。的值，并直接寫出

當函數值y隨x的增大而增大時x的取值范圍.

⑷的三個頂點的坐標分別為C（0,：+4］、+E（：,4,設△（?￡＞￡：的最長

邊與此二次函數的圖象交于點尸，過點尸作y軸的垂線，與此函數圖象的另一個交點為G,

過點F作x軸的垂線交x軸于點”，若FG=FH,直接寫出。的值.

【答案】⑴4

（2）4

（3）a=-2,當函數值卜隨”的增大而增大x的取值范圍是

(4)tz=—或a=一二

1616

【解析】

【分析】

(1)當a=T時，y=-4x?-2x+與，把P(-」的代入即可求解；

44

(2)配方得y=a?-2x+,+4=a(x-3+4,由a<(),得V最大值為4；

aa

(3)點A(〃7,-4)、8(m+4,Y)恰好同時落在此二次函數的圖象上，可知A、5到對稱軸(直

線x=3的距離相等，可得加=工-2,把A(八一4)代入y=or?-2x+4+4有-4=am1-2w+—+4,

aaaa

可得：。=-2,此時拋物線對稱軸是x=L=-4，進而根據二次函數的性質可求解；

a2

y=——x+—+4

(4)由已知先求出直線CE解析式為y=-gx+J+4,再由2“I得網;,

2c142。

y=ax~-2x+—+4

j+4）,FH=7-+4,在丁=以2-2%+工+4中，令y=；+4得G（1,；+4）,FG=1--二=-

4a4。a4a2a4。2a2aa

根據EG=F"，即可求解.

（1）

解：當。=-4時，y=Tf-2x+：,

把P（-：b）代入，得。=TX4-2X（-3+F=4；

41644

⑵

解：由題意得：y=ax2-2x+L+4=a（x-」）2+4,

aa

???av0,

???當x’時，y有最大值4；

a

⑶

解：?.?點A（九-4）、8（〃,+4T）恰好同時落在此二次函數的圖象上，

.?.A、8到對稱軸（直線"3的距離相等，即〃,+4」,_加，

aaa

.1°

..m=2,

a

把—4）代入y=ar?_2x+」+4,得-4=-2/n+—+4,

aa

將加=_1_2代入得：-4=af--2|-2（--2\+-+4,

a\a）\a）a

解得：a=—29

此時拋物線對稱軸是

a2

而拋物線開口向下,

當函數值）'隨X的增大而增大X的取值范圍是x-4

(4)

.?.△CDE的最長邊為CE,

設直線CE解析式為y=依+〃,

-+4=bk=——

則＜a，解得■2

4=-k+bb=-+4

aa

???直線CE解析式為y

2a

3

11

=萬

y=——R+—+44x=0

la

由，得1，(此時為C,舍去）或，l

2clz1y=一+4=4

y-ax-2x+—+4a

a4d

31

AF(—,—+4),

2a4a

:.FH1+4,

4。

在y=加-2x+'+4中,令尸*4得x,=-/1

a2a

7,沙4),FG

2a2a

?：FG=FH,

=-T-+4,

1±1—

-+4或+4

=-心

a4

4a

解得：3或。=-弓5.

【點睛】

本題考查二次函數的綜合應用，涉及拋物線的頂點、對稱軸、增減性及圖象上的點坐標特征，

解題的關鍵是用含字母的代數式表示相關點坐標.

3.(2022?吉林?東北師大附中明珠學校一模)在平面直角坐標系中，拋物線>=犬-2,加+4機

Cx<2m,m為常數)的圖象記為G.

⑴當機=-2時，求圖象G最低點的坐標.

⑵當圖象G與x軸有且只有一個公共點時，求〃？的取值范圍.

⑶當圖象G的最低點到直線y=2的距離為3時，求"？的值.

⑷圖象G上點/的橫坐標為2相，點C的坐標為(-2,3),當NC不與坐標軸平行時，以/C

為對角線作矩形N8CD,使矩形的邊與坐標軸平行，當圖象G與矩形N8CD的邊有兩個公

共點時，直接寫出，”的取值范圍

【答案】⑴(T,-8)

(2)機40或加=4

⑶一!或2+石

4

⑷-加W0或1OH<3

【解析】

【分析】

(1)當m=一2時，，y=/+4%-8=(x+2)2-12,再結合x的取值范圍即可求解；

(2)分類討論：當〃咨。時，2m</n,圖象G與工軸始終有一個公共點，當陽=4時，圖象G

與x軸只有一個公共點，當機>4時，2m>m9圖象G與工軸始終有兩個公共點；當0<加<4

時，0<0,此時圖象G與x軸無公共點；

(3)分類討論：當mvO時，m>2m,此時最低點的縱坐標為4m,則4m二一1,解得機=-!；

當機>0時，2m>mf此時最低點的縱坐標為4加-療，則4加-//=-1或4〃LM=5,解得

m=2+百或"？=2-石(舍)；

(4)分類討論，數形結合解題，由圖象G與矩形48co一定有一個公共點，則只需圖象G

與矩形4BCO的邊再有一個公共點即可：當—1時，圖象G在建2加時，矩形與圖象G

3

只有一個交點4當一1<加40時，圖G與矩形48C。有兩個交點；當OVmV：時，2m>m,

圖象G與矩形Z5CO有三個交點；當產3時，9_2如:+4帆=3,團=0時解得〃?=1或團=3,

此時圖象G與8c邊有一個交點，當。V/nWl時，圖象G與矩形有三個交點；當km<3時，

4

圖象G與矩形有兩個交點；當〃?=3時，圖象G與矩形有三個交點；當m>3時，圖象G與矩

形有四個交點.

(1)

解：當〃?=-2時，y=x2+4x-8,

22

0y=x+4x-8=(x+2)-12,

121x44

回當x=7?時，y=-8,

回圖象G最低點的坐標(7,-8)：

⑵

解：y=x2-2iwc+4m=(x-m)--nV+4〃？，

回拋物線的對稱軸為直線x="?,

令y=0,則_?-2，取+4機=0，

13△=4m2—16m-0，

回〃1=0或〃？=4,

當“740時，2/?</?,

回圖象G與x軸始終有一個公共點，

當〃?=4時，圖象G與x軸只有一個公共點，

當"?>4時，2m>m,圖象G與x軸始終有兩個公共點；

當0<加<4時，回<0,此時圖象G與x軸無公共點：

綜上所述，加40或加=4時，圖象G與x軸只有一個公共點;

⑶

解：團圖象G的最低點到直線y=2的距離為3,

回圖象G的最低點的縱坐標為-1或5,

當m<0時，m>2m,此時當x=2zn時，y=4m,

回最低點的縱坐標為4加，

04/?=—1,

解得旭=-1：

4

當力>0時,2m>m,此時最低點的縱坐標為4m-nr，

04m—=-1或4m—zn2=5?

解得7%=2+右或〃2=2—y/5(舍)，

綜上所述，機的值為或2+6；

4

(4)

解：團點/在圖象G上，

團圖象G與矩形ABCD一定有一個公共點，

團圖象G與矩形/8CD有兩個公共點，

團只需圖象G與矩形N8CQ的邊再有一個公共點即可；

團點A的橫坐標為2m,

EL4（2次4機）：

當x=-2時，y=4+8/n,

當4+8〃z=4w時，w=-l,

如圖1,當〃?<一1時，圖象G在時，y隨x的增大而減小,

團矩形與圖象G只有一個交點小

如圖2,當一1<"匹0時，

圖G與矩形48co有兩個交點;

1

當.=3時，時"

3

如圖3,當。＜嶗時，22〃7,

回圖象G與矩形ABCD有三個交點;

當產3時，x2—Imx+4m-31

整理得：x2—2mx+4m—3=0^

0A=W-16w+12,

解得：或加=3,

此時圖象G與8c邊有一個交點，

如圖4,當J時,

圖象G與矩形有三個交點;

如圖5,當1＜切＜3時，

圖象G與矩形有兩個交點；

當機=3時，圖象G與矩形有三個交點；

當機>3時，圖象G與矩形有四個交點.

綜上所述，或時，圖象G與矩形/8CD有兩個交點.

【點睛】

本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，數形結合，分類討論是

解題的關鍵.

4.（2022?吉林省第二實驗學校一模）已知二次函數>=/-2,群-帆與y軸交于點直線

y=機+5與y軸交于點與直線x=4交于點8,直線丫=-2加與y軸交于點。（4與￡）不

重合），與直線x=4交于點C,構建矩形A8CD.

⑴當點M在線段A。上時，求機的取值范圍.

⑵求證：拋物線y=xZ-2mx與直線y=，〃+5恒有兩個交點.

⑶當拋物線在矩形內部的函數值y隨著x的增大而增大或y隨x的增大而減小時，求機的取

值范圍.

⑷當拋物線在矩形內部（包括邊界）最高點的橫坐標等于點8到x軸距離的g時.，直接寫

出m的取值范圍.

【答案】⑴〃？"或"區(qū)三

⑵見解析

（3）機40或加24

（4）-13</n<3

【解析】

【分析】

（1）根據題意先表示出A,8,C,。各點坐標，根據當點M在線段上時，列出一元一

次不等式組，解不等式組求解即可；

（2）聯(lián)立拋物線與直線解析式，根據A>0,即可得證；

（3）根據拋物線開口向上，在對稱軸的左側，y隨著x的增大而增大，在對稱軸的右側y

隨x的增大而減小時，即對稱軸在AO的左側或者BC的右側即可求解；

（4）根據題意y=在矩形內部最高點的縱坐標等于〃?+5,橫坐標為0<〃z<4,

根據題意列出不等式組求解即可.

⑴

解：y=x?-2"1”用與y軸交于點A/,令x=0,則丁=一加，則M（O,-m）

直線y="?+5與y軸交于點Z,與直線x=4交于點直線y=-2m與y軸交于點。（/與。

不重合），與直線x=4交于點C,

:.A（0,/a+5）,8（4,AH+5）,C（4,-2租）,￡）（0,-2/77）,M（0,-m）

當點M在線段上時

—2m<—m<m+5

解得：機20或，"4-1"

（2）

??-y=x2-2mx-m

聯(lián)立《「

y-m+5

即x2—2mx—m=m+5

x2-2mx-2m-5=0

△=b2-4ac=4機2+4（2m+5）=4〃，+8/n+20=4（/n+l）'+16>0

拋物線y=V-2機x-加與直線》=〃?+5恒有兩個交點

⑶

根據題意可得，在對稱軸的左側，y隨著x的增大而增大，在對稱軸的右側y隨x的增大而

減小時，

,乂八rj.j、，b—2m

y=x*-Inix-m的對■稱釉為R=---=------=m

2a2

當對稱軸在AO的左側時，m＜0

當對稱軸在BC的右側時，，"、4

，，〃40或“？》4

(4)

根據題意y=x2-Imx-m在矩形內部最高點的縱坐標等于m+5,橫坐標為0＜相＜4

B到x軸距離的為帆+5|

???當拋物線在矩形內部(包括邊界)最高點的橫坐標等于點8到x軸距離的與時，

0＜J-------[＜4

2

解得-13KY3

【點睛】

本題考查了坐標與圖形，矩形的性質，二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數圖像與性

質是解題的關鍵.

5.(2022?吉林長春?一模)已知拋物線方f_2加x+2〃?+l.

(1)寫出拋物線片/?2"a+2m+1的頂點坐標(用含機的式子表示).

(2)當時，y隨x的增大而增大，則加的取值范圍是.

⑶當-時,函數片/?2旭%+2加+1的圖象記為G,設圖象G的最低點的縱坐標為yo,當

”=-1時，求加的值.

(4)當加＞0時，分別過點Z(2,1)、B(2,4)作〉軸垂線，垂足分別為點。、點C,拋物

線在矩形45co內部的圖象(包括邊界)的最低點到直線方-2的距離等于最高點到x軸的

距離，直接寫出〃？的值.

【答案】⑴(〃?，?〃/+2/77+1)

(2)m￡1

(3)m=3或〃？=]_百

(4)m=2—V2或加=&

【解析】

【分析】

(1)由片(X-/M)2-/W2+2/?+1,即可求解;

(2)由拋物線的圖象可得加41時,，歹隨x的增大而增大；

3

(3)分三種情況討論：當MV-1時，yo=2+^rn=-lf解得加=?](舍)；當加＞2時，x=2,函

數有最小值，yo=5-2m=-lt解得加=3；當?1V屋2時，yo=-nr+2ni+l=-lf解得加=6+1(舍)

或〃?=-G+l;

（4）分五種情況討論：當OVmV1時，■加，2m+l+2=4,解得加=1（舍）；當!4"zVl時，

22

3

-zw-+2w+l+2=4-2w+l,解得，〃二四+2（舍）或〃?二-四+2；當14加<彳時，-〃/+2〃?+1+2=2〃?+1,

3

解得加二0或〃片-Q（舍）；當54屋2時，-M+2掰+1+2=4,解得〃?二1（舍）；當">2時,

最高點縱坐標是4,最低點縱坐標是1,此時不符合題意.

（1）

解：^ly=x2-2inx+2m+l=（x-w）2-/n2+2rn+l,

團頂點坐標為（w,-m2+2/n+l）；

（2）

解：色拋物線開口向上，

勖於1時，y隨x的增大而增大，

故答案為：加工1；

⑶

解：當mV-1時，x=-l,函數有最小值，

眇〃=2+46,

0>7>=-1?

02+4/n=-l,

3

解得杵（舍）；

4

當機>2時，x=2,函數有最小值，

^yo=5-2m,

助“尸-1,

05-2???=-1,

解得〃?二3；

當-1$加42時，x=/n,函數有最小值，

團修尸-/+2/〃+1,

眇〃=?1,

0-W2+2W+1=-1,

解得加=6+1（舍）或*-石+1;

綜上所述：，"的值為3或-6+1；

(4)

13

解：當函數過8(2,4)時，機=不；當函數過C(0,4)時，m=--當機=1時，拋物線

22

當0<用<；時，-〃/+2〃?+1+2=4,

解得昭=1（舍）;

當—<mV1時，-/??2+2/n+l+2=4-2///+l,

2

解得加=血+2（舍）或〃?=-正+2；

3

當<5時，-/??2+2/W+1+2=2/W+1,

解得〃?二五或加二-五（舍）；

3

當—<m<2時，--+2加+1+2=4,

2

解得〃=?1(舍)；

當〃?>2時，最圖點縱坐標是4,最低點縱坐標是1,

123H4,

回此時不符合題意；

綜上所述：拉的值為-正+2或拉.

【點睛】

本題考查二次函數的綜合應用，熟練掌握二次函數的圖象及性質，分類討論，數形結合解題

是關鍵.

6.（2022?吉林?長春市凈月實驗中學一模）已知二次函數機（〃?為常數）.

⑴當加=4時

①求函數頂點坐標，并寫出函數值y隨x增大而減小時x的取值范圍；

②若點P（3川和。（5,"）在其圖象上，且”時.則實數f的取值范圍是.

⑵記函數-機Cx<m）的圖象為G.

①當圖象G與直線y=-1-加只有一個交點時，求加的取值范圍.

②矩形的對稱中心為坐標原點，且邊均垂直于坐標軸，其中點/的坐標為（2,2-機），

當圖象G在矩形Z8CC內部（包括邊界）對應的函數值y隨元的增大而逐漸減小，并且圖象

G在矩形N8C。內部（包括邊界）的最高點縱坐標和最低點縱坐標的差為2時，直接寫出/?

的值.

【答案】⑴①當x<2時，y隨x的增大而減??；②或f>5；

（2）①"日《或"7=4+2行；②加的值為0或-1或4.

【解析】

【分析】

（1）①把"?=4代入二次函數解析式中，并化為頂點式，再結合函數開口方向可得結論;

②由二次函數開口可知，點離對稱軸水平距離越大，y值越大，由此可解答；

（2）①需要分兩種情況，完整拋物線與x軸有一個交點和兩個交點的情況求解.

②利用數形結合方法，分類討論拋物線頂點在矩形內部與外部兩種情況.

（1）

①當m=4時,y=x?-4x+4=（x-2）2,

回函數的頂點為（2,0）,

01>0,

回當x<2時，y隨x的增大而減??；

②即（t,以）和。（5,戶）在其圖象上，yi>y:,

0PCt,以）到對稱軸的距離小于。（5,y2）到對稱軸x=2的距離，

I3p-2|>|5-2|,

酬<-1或>5,

故答案為：/<-1或，>5：

（2）

①當二次函數與y=-l-m有兩個交點時，

即方程/-加工+2/〃+1=0有兩個不相等的實數根，可得/=加?-4（2/w+l）>0>

解得w<4-2后或,">4+275,

當二次函數產/加方+"?與y=-l-in有一個交點時，

即方程x?-mx+2,〃+l=0有兩個相等的實數根，可得A=〃/-4（2m+l）=0,

解得,〃=4-2V5或"?=4+2后,

當"?=4-2右時，5=2-石，y>w,

此時與圖象G無交點；

當"?=4+2~J5時，y=2+>/5>y<m,

此時產-1切與圖象G有一個交點.

當二次函數與直線X="?的交點恰為（m，-1-/M）時，

自苗得，w=-g.

綜上可知，m<-g或m=4+2行.

②拋物線產3-mx+o經過定點（1,1）,點/坐標為（2,2-m）,點8坐標為（2,m-2）,

當w>0時，宜線x=m在頂點右側，當圖象G在矩形內部對應的函數值y隨x的增大而逐漸

減小時，

回圖象與矩形最高點的縱坐標為m-2,最低點為產4加，

0m-2-(4-m)=2,解得加=4.

當-2V”長5時，-2V〃W0滿足題意，此時圖象最低點為(〃，，，“),

拋物線與直線x=-2交點為(-2,3/n+4),

當3加+422切時，m>-0.5,此時拋物線與矩形交點縱坐標為2-加，

團2-〃人加=2,解得/H=0.

當3m+4V2加時，iZ<-0.5,拋物線與矩形交點最高點縱坐標為3加+4,

綜上所述，"?的值為?；?1或4.

【點睛】

本題考查二次函數的綜合運用，主要考查了函數的性質，函數關系式的確定，解題的關鍵是

對關鍵點進行分析，理解分類討論思想，并利用圖象解答.

7.(2022?吉林吉林?一模)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數了=/+以+0的圖象經過點

”(0,-4),點8(4,0).

備用圖

⑴求此二次函數的解析式.

⑵若點尸是直線18下方拋物線上一動點，當配18的面積最大時，求出點尸的坐標和陰48

的最大面積.

(3)當&&+3時，此二次函數的最大值為孫最小值為"，若機-〃=3,直接寫出，的值.

【答案】(1)/=7-3x-4

(2)尸(2,-6),0/加？的面積最大值為8

⑶26-3或3-26

22

【解析】

【分析】

(1)用待定系數法，將點40,-4),點8(4,0)代入解析式，即可求解；

(2)過點尸作PQ取軸交于點。，求出直線48的解析式為y=x-4,設P(f,23/-4),則

Q(t,r-4),則5,8=-2(尸2>+8,[=2時,配45的面積最大值為8,此時尸(2,-6)；

(3)分四種情況討論：①當/>|■時，當丫=/時，了=--3/-4=”，當x=r+3時，

13

y=(r+3)2-3(r+3)-4=/2+3z-4=w,由m-〃=6/=3,解得/=5<一,應舍去；②當

22

，啟3r+3,即3一士3時，當產3巳時，尸―2三5寸，33BP：0<區(qū)3」寸，

22224222

m-n=t2+3t-4一(一§)=3,解得，或『=二^^<一？，應舍去；若/+3-=?]t,

422222

即：一■|■W區(qū)O時，m-n=t2-3t-4-(——^)=3?解得：t=3+2">。應舍去,或，=2__；

2422

3313

③當什3</,即1<一2時，m-n=t2-3/-4-(/2+3z-4)=-6/=3,解得￡=-§>-5,

應舍去，即可求解。

⑴

解：將點/(0,-4),點、B(4,0)代入yuf+fcr+c,

[c=-4

回L，，

[16+4b+c=0

fc=-4

[b=-3

團-3x-4；

(2)

解：過點。作尸四軸交力8于點0,

設宜線AB的解析式為y=kx^b,

fb=-4

\4k+h=0

0y=x-4,

設P(r,?-3f-4),則0(/,r-4),

2

^PQ=t-4-(尸-3…4)=-t+4tf

222

0Sckpr衿Ao=-2x4x(-r+4r)=-2r+8r=-2(r-2)+8,

0O</<4,

M=2時，的8的面積最大值為8,

此時P(2,-6)；

(3)

解：^y=x2-3x-4=(x--|)2一日，

3

團拋物線的對稱軸為直線x=

①當時,

當工=，時，y=P-3t-4=77,

當x=H3時，y=(1+3)2—3(，+3)—4=產+3，一4二所,

回-〃=6f=3,

13

解得■，應舍去；

②當t+3,即-2443時，

222

325

當x=5時，y=--=nt

333

若f+3?3>Jf,即：。<於士時，

222

x=/+3時,y=(￡+3)2-3(r+3)-4=r2+3r-4=w,

,，25、

回〃？-n=r+3t-4-(-----)=3,

4

解得』第二2,或應舍去；

222

333

若f+3—?—t,即：—</<0時，

222

x-t時，y=t2-3t-4=加，

，/25、_

回加-n=r-3t-4-(-----)=3,

4

解得：/=±超叵〉0應舍去，或仁士2叵；

22

③當人3<5,即/時，

當x=f時，y=P-3f-4="7,

當x=r+3時,y=（z+3）2-3（/+3）-4=r+3r-4=n,

0w-n=t2-3/-4-（F+3/-4）=-6f=3,

解得/=-：1>-］3，應舍去；

綜上所述：/的值為邁口或±2叵.

22

【點睛】

本題考查二次函數的綜合應用，熟練掌握二次函數的圖象及性質，分類討論是求解的關鍵.

8.（2022?吉林大學附屬中學一模）在平面直角坐標系中，把函數丫=以2+2法+2（a、b為

常數）的圖象記為G.

（1）求G與y軸交點的坐標.

（2）當匕=2時，G與x只有一個交點，求。的值.

（3）①設若點4（2—%,f）在G上，則點B（2+k1）必在G上，且G過點C（3,—1）,求

G的函數表達式.

②點0（1,X）、E（4,%）是①中函數圖象上的兩點，比較M與力的大小.

③點「（"+%）、。（加+3,%）是①中函數圖象上的兩點，比較與”的大小.

（4）矩形加W四個頂點的坐標分別為尸（1,一2）、”（4,-2）、M（4,4）、N（l,4）,當a=—1

時，函數丫=62+2"+2（x>0）的圖象在矩形FMWN內部的部分均為自左向右下降時，

直接寫出b的取值范圍.

【答案】（1）（0,2）；（2）。=0或。=2；（3）①y=/-4x+2,②%>Y，③當，時，

11339

丫3>丫4；當〃?=5時，y3=>4;當初>5時，丫3>為；（4）--<b<l--<b<-

【解析】

【分析】

（I）令x=0,即可求得G與y軸交點的坐標；

（2）分。=0和awo兩種情況討論，若。*0,利用A=0解。的方程即可求解；

（3）①根據題意可求得拋物線的對稱軸為x=2,推出〃=-2a,再將點C（3,-l）代入即可

求解；

②將點。（1,乂）、E（4,%）分別代入y=/-4x+2,求得力的值，比較即可求解；

③將點「（〃?+%）、QW+3,%）分別代入y=/-4x+2求得力,以的關于〃7的等式，利用

求差法，再分類求解即可；

(4)求得拋物線的對稱軸為％=力，分人＞1和兩種情況討論，根據圖形分別列出不等式

組求解即可.

【詳解】

(1)令x=0,則y=ax?+2bx+2=2,

I3G與＞軸交點的坐標為(0,2).

(2)當匕=2時，y=ax2+4x+2,

①若a=0,一次函數y=4x+2的圖象G與x軸只有一個交點；

若awO,因為二次函數y=af+4x+2的圖象G與x軸只有一個交點，

所以，A=16—8a=0.

解得：a=2.

回。=0或a=2時，G與x只有一個交點：

(3)①田點A(2-k,f)、點3(2+幺［都在G匕

回拋物線的對稱軸為x=2,即x=-"=2

2a

團Z?=—2a,

將點C(3,-1)代入y=ax2-4ar+2,得：-1=9a-12a+2,

解得：a=lfb=?2,

所以G的函數表達式為：y=f_?+2；

②回點0(1,X)、E(4,%)是函數y=Y-4x+2圖象上的兩點，

田X=1-4+2=-1,y2=16-4x4+2=2,

倒%＞凹；

③團點1(加+))、。(加+3,”)是函數丁=/-4工+2圖象上的兩點，

回％=-4"?+2,%=("2+3)-4。〃+3)+2,

回為一%=("?+3y—4(根+3)+2—(m2-4m+2)

=6/??-3,

當6加一3＜0,即帆＜；時，%＞以；

當6相一3=0,即初=；時，%=%;

當66一3＞0,即〃時，y3＞＞4:

(4)當。=一1時，函數y=a^+2bx+2(x>0),

拋物線的對稱軸為i五=6,開口向下,

國當時，拋物線自左向右下降，

①當八1時,

3

當了=］時，y=-\+2b+2>yF=-21即

3

團當一5<人工1時?，矩形位于對稱軸右邊部分，滿足矩形尸〃內部的部分均為自左向右下

降；

②當6>1時，

頂點縱坐標+2〃+2>4,即〃>2,即/,>上，

3

x=l時，y=-1+2b+2>yN=4,Bp,

39

x=4時，%=-2<-16+8力+2<%=4,Bp-</?<-；

39

團當時，矩形位于對稱軸右邊部分，滿足矩形MMV內部的部分均為自左向右下降;

339

綜上，b的取值范圍t為一;〈人<1或;<匕

【點睛】

本題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的性質，二

次函數圖象上點的坐標特征，確定圖象上點的位置關系和分類求解是本題解題的關鍵.

9.(2022?吉林長春?一模)已知拋物線y=ax2+bx+a+2(aw0)與x軸交于點A(xi,0),點B(xz,0),

(點A在點B的左側)，拋物線的對稱軸為直線x=-l.

⑴若點A的坐標為(-3,0),求拋物線的表達式及點B的坐標；

(2)C是第三象限的點，且點C的橫坐標為-2,若拋物線恰好經過點C,直接寫出X2的取值范

圍；

⑶拋物線的對稱軸與x軸交于點D,點P在拋物線上，且I3DOP=45。，若拋物線上滿足條件

的點P恰有4個，結合圖象，求a的取值范圍.

?3

【答案】(1)y=—X2—X4—,(1,0)；(2)-lVxz<0;(3)a<-2.

22

【解析】

【分析】

(1)由題意可知拋物線的對稱軸為1=-1=-與，求出b=2a,將點A的坐標代入拋物線的

2a

表達式，即可求解；

(2)根據題意可得點C在第三象限，即點A在點C和函數對稱軸之間，故繼而

進行分析即可求解；

(3)根據題意可得滿足條件的P在x軸的上方有2個，在x軸的下方也有2個，則拋物線

與y軸的交點在x軸的下方，即可求解.

【詳解】

解：(1)拋物線的對稱軸為x=-l=-2,解得：b=2a,

2a

y=ax2+bx+a+2=a(x+1)2+2,

將點A的坐標代入上式并解得：a=~,

iia

故拋物線的表達式為：y=——(x+iy+2=——X2-x+—；

令y=0,即一耳/一%+萬=。，解得：x=-3或1,

故點B的坐標為：(1,0).

(2)由(1)知：丁=。(尤+1)2+2,

點C在第三象限，即點C在點A的下方，

即點A在點C和函數對稱軸之間，故?2VxiV?l,

I

而g(X[+X2)=-1,即X2=-2-X，

故-lVxzVO.

(3)回拋物線的頂點為(-1,2),

[3點D(-1,0),

H2DOP=45。，若拋物線上滿足條件的點P恰有4個,

則拋物線與y軸的交點在x軸的下方，

肖x=0時，y=ax2+bx+a+2=a+2<0,

解得：a<-2,

故a的取值范圍為：a<-2.

【點睛】

本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到解不等式、函數作圖，解題的關鍵是通過畫出拋物

線的位置，確定點的位置關系，進而分析求解即可.

10.(2019?吉林長春?中考模擬)在平面直角坐標系中，已知拋物線片7-2"ix-3〃？

(1)當m=l時，

①拋物線的對稱軸為直線,

②拋物線上一點P到x軸的距離為4,求點尸的坐標

③當〃侖4；時，函數值y的取值范圍是-春942-〃，求〃的值

(2)設拋物線2mx?3)?在2m-l<x<2m+l上最低點的縱坐標為刃，直接寫出yo與m之間

的函數關系式及加的取值范圍.

【答案】⑴①x=l；②點P的坐標為(1+2夜,4)或(1-2?4)或(IT)；③n的值為匕g；

2

(2)當m4-l時，y0=-m+1；當時，y0=-m-3m；當機21時，y0=-5m+1.

【解析】

【分析】

(1)①根據對稱軸公式求出即可；②當/-2x—3=4和V-2x-3=T時，分別求出點P

坐標即可；③拋物線開口向上，對稱軸為直線x=l,所以當x=〃時，y=2-n,然后可求

得n值.

(2)分情況討論，當〃?4-1時，當-1(加＜1時，當加21時，結合拋物線開口方向和對稱

軸，分別求出對應的為與m之間的函數關系式即可.

【詳解】

解：⑴①x=-3=l.

2a

②當m=l時，y=x2-2x-3.

山題意得：點P的縱坐標為土4,

當x?-2x-3=4時，

x,=1+2\/2,x,=1-2夜.

當代-2*-3=-1時，

X|=x?=1.

二點P的坐標為(1+2忘,4)或(1-2忘,4)或(1,T).

③國拋物線開口向上，對稱軸為直線x=l,

.,.當n4x?g時，y隨x的增大而減小.

.?.當x=n時，y=2-n.

將(n,2—n)代入y=x?-2x-3得：

n2—2n—3=2—n,

1+?全、I-A/21

ni=-2—()'%=一「?

0n的值為上史I.

2

(2)山于拋物線開口向上，對稱軸為直線x=l,

當mW-l時，y0=-m+l；

2

當時，y0=-m-3m；

當mNl時，y()=-5m+1.

【點睛】

本題是二次函數綜合題，熟練掌握二次函數的圖像和性質是解題關鍵.

11.(2021?吉林長春?一模)在平面直角坐標系中，點P(l,2^6)在拋物線y=*2-bx+c上,

將拋物線在點P的右側的部分沿直線y=2—6翻折，翻折后的圖象與原拋物線剩余部分合稱

為圖象G

⑴。：?

⑵當6=—2時，

①求圖象G與x軸交點坐標.

②當〃眾4〃+1時-，圖象G對應函數的最小值為4,求〃的值.

⑶①點”(2b,2),點B2),若線段與圖象G有兩個交點時，直接寫出b的取

值范圍.

②當時，若EW8P為等腰三角形，請直接寫出/)的值.

【答案】(1)1

(2)①(-1+26,0)(-1,0)；②-4

(3)①匕4-一立■<8<()；②g，］