專(zhuān)題用勾股定理解決最短路徑問(wèn)題（原卷版）

/11/11/八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十七章勾股定理》專(zhuān)題用勾股定理解決最短路徑問(wèn)題題型一用計(jì)算法求平面中的最短問(wèn)題題型一用計(jì)算法求平面中的最短問(wèn)題【例題1】如圖，某工廠C前面有一條筆直的公路，原來(lái)有兩條路AC，BC可以從工廠C到達(dá)公路，經(jīng)測(cè)量AC＝6千米，BC＝8千米，AB＝10千米，現(xiàn)需要修建一條路，使工廠C到公路的路程最短．請(qǐng)你幫工廠C設(shè)計(jì)一種方案，并求出新建路的長(zhǎng)．【變式1-1】（2022春?朝天區(qū)期末）如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人為了避開(kāi)拐角走“捷徑”，在花圃?xún)?nèi)走出了一條“路”，踩傷了花草．則他們僅僅少走了步路．（假設(shè)2步為1米）【變式1-2】如圖所示，A、B兩塊試驗(yàn)田相距200米，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線(xiàn)上的H處，再?gòu)腍分別向A、B進(jìn)行修筑．（1）請(qǐng)判斷△ABC的形狀（要求寫(xiě)出推理過(guò)程）；（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．【變式1-3】小明聽(tīng)說(shuō)“武黃城際列車(chē)”已經(jīng)開(kāi)通，便設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題：如圖，以往從黃石A坐客車(chē)到武昌客運(yùn)站B，現(xiàn)在可以在A坐城際列車(chē)到武漢青山站C，再?gòu)那嗌秸綜坐市內(nèi)公共汽車(chē)到武昌客運(yùn)站B．設(shè)AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°．請(qǐng)你幫助小明解決以下問(wèn)題：（1）求A、C之間的距離；（參考數(shù)據(jù)：21=（2）若客車(chē)的平均速度是60km/h，市內(nèi)的公共汽車(chē)的平均速度為40km/h，城際列車(chē)的平均速度為180km/h，為了最短時(shí)間到達(dá)武昌客運(yùn)站，小明應(yīng)該選擇哪種乘車(chē)方案？請(qǐng)說(shuō)明理由．（不計(jì)候車(chē)時(shí)間）【變式1-4】（2021秋?大名縣期末）如圖，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC邊上一點(diǎn)，BD＝12，AD＝16．（1）求證：BD⊥AC；（2）若E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，求線(xiàn)段DE的最小值．題型二用平移法求平面中的最短問(wèn)題題型二用平移法求平面中的最短問(wèn)題【例題2】如圖，相鄰的兩邊互相垂直，則從點(diǎn)B到點(diǎn)A的最短距離為（）A．13 B．12 C．8 D．5【變式2-1】（2022春?梁山縣期中）如圖，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，則A，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離是（）A．14 B．6+3 C．8+2【變式2-2】如圖，某?？萍紕?chuàng)新興趣小組用他們?cè)O(shè)計(jì)的機(jī)器人，在平坦的操場(chǎng)上進(jìn)行走展示．輸入指令后，機(jī)器人從出發(fā)點(diǎn)A先向東走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向東走70米到達(dá)終止點(diǎn)B．求終止點(diǎn)B與原出發(fā)點(diǎn)A的距離AB．【變式2-3】（2022?南京模擬）如圖，要為一段高為5米，長(zhǎng)為13米的樓梯鋪上紅地毯，則紅地毯至少要米長(zhǎng)．【變式2-4】（2022秋?豐城市校級(jí)期末）某會(huì)展中心在會(huì)展期間準(zhǔn)備將高5m、長(zhǎng)13m、寬2m的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米20元，請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，鋪完這個(gè)樓道至少需要元．題型三用對(duì)稱(chēng)法求平面的最短問(wèn)題題型三用對(duì)稱(chēng)法求平面的最短問(wèn)題【例題3】（2022春?蒼溪縣期末）如圖，亮亮在A處看護(hù)羊群吃草，其家在B處，A，B到河岸的距離分別為AC＝200m，BD＝100m，CD＝400m，亮亮從A處把羊群趕到河邊飲水后回家，作圖說(shuō)明亮亮如何行走路程最短，并求出亮亮走的最短路程．【變式3-1】（2022春?雄縣期末）如圖，高速公路的同一側(cè)有A、B兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線(xiàn)MN的距離分別為AA′=2km,BB′=4km,且A′B′=8km.（1）要在高速公路上A′、B′之間建一個(gè)出口P，使A、B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最?。?qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出P的位置，并作簡(jiǎn)單說(shuō)明．（2）求這個(gè)最短距離．【變式3-2】（2021秋?新吳區(qū)期中）如圖，牧童在離河邊3km的A處牧馬，小屋位于他南6km東9km的B處，他想把他的馬牽到河邊飲水，然后回小屋．他要完成此過(guò)程所走的最短路程是多少？并在圖中畫(huà)出飲水C所在在位置（保留作圖痕跡）．【變式3-3】如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC的中點(diǎn)，E是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，且不與A，B重合，是否存在一個(gè)位置，使DE+CE的值最?。咳舨淮嬖?，說(shuō)明理由；若存在，試求出最小值．【變式3-4】如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，求DN+MN的最小值．題型四用展開(kāi)圖求長(zhǎng)方體中的最短問(wèn)題題型四用展開(kāi)圖求長(zhǎng)方體中的最短問(wèn)題【例題4】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，一長(zhǎng)方體木塊長(zhǎng)AB＝6，寬BC＝5，高BB1＝2．一只螞蟻從木塊點(diǎn)A處，沿木塊表面爬行到點(diǎn)C1位置最短路徑的長(zhǎng)度為（）A．89 B．85 C．125 D．80【變式4-1】如圖，在長(zhǎng)方體透明容器（無(wú)蓋）內(nèi)的點(diǎn)B處有一滴糖漿，容器外A點(diǎn)處的螞蟻想沿容器壁爬到容器內(nèi)吃糖漿，已知容器長(zhǎng)為5cm，寬為3cm，高為4cm，點(diǎn)A距底部1cm，請(qǐng)問(wèn)螞蟻需爬行的最短距離是（容器壁厚度不計(jì)）（）A．317cm B．10cm C．55【變式4-2】如圖，長(zhǎng)方體的底面長(zhǎng)和寬分別為4cm和2cm，高為5cm．若一只螞蟻從P點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為cm．【變式4-3】邊長(zhǎng)分別為4cm，3cm兩正方體如圖放置，點(diǎn)P在E1F1上，且E1P=13E1F1，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P【變式4-4】（2022秋?安岳縣期末）如圖所示，ABCD是長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)AB＝10m，寬AD＝5m，中間豎有一堵磚墻高M(jìn)N＝1m．一只螞蚱從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，它必須翻過(guò)中間那堵墻，則它至少要走m的路程．【變式4-5】在一個(gè)長(zhǎng)為8分米，寬為5分米，高為7分米的長(zhǎng)方體上，截去一個(gè)長(zhǎng)為6分米，寬為5分米，深為2分米的長(zhǎng)方體后，得到一個(gè)如圖所示的幾何體．一只螞蟻要從該幾何體的頂點(diǎn)A處，沿著幾何體的表面到幾何體上和A相對(duì)的頂點(diǎn)B處吃食物，求它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)．【變式4-6】（2021春?封開(kāi)縣期末）如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別為9、3和1，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物．則這只螞蟻沿著臺(tái)階面爬行的最短路程是（）A．18 B．15 C．12 D．8【變式4-7】（2022秋?南海區(qū)期中）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒(méi)有縫隙），有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處，若AB＝3，BC＝4，CC1＝5；（1）請(qǐng)你在下面網(wǎng)格（每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1）中，畫(huà)出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；（2）求螞蟻爬過(guò)的最短路徑的長(zhǎng)；（3）我們發(fā)現(xiàn)，“用不同的方式表示同一圖形的面積”可以解決計(jì)算線(xiàn)段的有關(guān)問(wèn)題，這種方法稱(chēng)為“面積法”．請(qǐng)“面積法”求點(diǎn)B1到最短路徑的距離．【變式4-8】如圖所示的長(zhǎng)方體透明玻璃魚(yú)缸，假設(shè)其長(zhǎng)AD＝80cm，高AB＝60cm，水深A(yù)E＝40cm．在水面上緊貼內(nèi)壁G處有一塊面包屑，G在水面線(xiàn)EF上，且EG＝60cm，一只螞蟻想從魚(yú)缸外的A點(diǎn)沿魚(yú)缸壁爬進(jìn)魚(yú)缸內(nèi)的G處吃面包屑．則螞蟻爬行的最短路線(xiàn)為cm．【變式4-9】（2022春?新市區(qū)校級(jí)期中）如圖1，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為3m和2m，高為1m，在盒子里，可以放入最長(zhǎng)為m的木棒；（2）如圖2，在與（1）相同的長(zhǎng)方體中，如果用一根細(xì)線(xiàn)從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)C，那么所用細(xì)線(xiàn)最短需要m；（3）如圖3，長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為AB＝BC＝6cm，AA1＝14cm，假設(shè)昆蟲(chóng)甲從盒內(nèi)頂點(diǎn)C1以2厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿棱C1C向下爬行，同時(shí)昆蟲(chóng)乙從盒內(nèi)頂點(diǎn)A以相同的速度在盒壁的側(cè)面上爬行，那么昆蟲(chóng)乙至少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能捕捉昆蟲(chóng)甲？題型五用展開(kāi)圖求圓柱體的最短問(wèn)題題型五用展開(kāi)圖求圓柱體的最短問(wèn)題【例題5】（2022秋?惠濟(jì)區(qū)校級(jí)期末）一只螞蟻從圓柱體的下底面A點(diǎn)沿著側(cè)面爬到上底面B點(diǎn)，已知圓柱的底面周長(zhǎng)為12cm，高為8cm，則螞蟻所走過(guò)的最短路徑是cm．【變式5-1】（2022秋?城陽(yáng)區(qū)期中）如圖，一個(gè)圓柱形水杯，底面直徑為8cm，高為9cm，則一只小蟲(chóng)從下底點(diǎn)A處爬到上底B處，則小蟲(chóng)所爬的最短路徑長(zhǎng)是（π取3）cm．【變式5-2】（2022秋?煙臺(tái)期末）我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)問(wèn)題：“枯木一根直立地上，高三丈，周八尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問(wèn)葛藤之長(zhǎng)幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為3丈，底面周長(zhǎng)為8尺，有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處，則問(wèn)題中葛藤的最短長(zhǎng)度是丈．【變式5-3】國(guó)慶節(jié)期間，重慶南開(kāi)中學(xué)用彩燈帶裝飾了藝術(shù)樓大廳的所有圓柱形柱子．為了美觀，每根柱子的彩燈帶需要從A點(diǎn)沿柱子表面纏繞兩周到其正上方的B點(diǎn)，如圖所示，若每根柱子的底面周長(zhǎng)均為2米，高均為3米，則每根柱子所用彩燈帶的最短長(zhǎng)度為（）A．7米 B．11米 C．13米 D．5米【變式5-4】（2022秋?高新區(qū)校級(jí)期末）如圖，圓柱底面半徑為2πcm，高為9cm，點(diǎn)A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A，B在同一條豎直直線(xiàn)上，用一根棉線(xiàn)從A點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點(diǎn)，則這根棉線(xiàn)的長(zhǎng)度最短為cm【變式5-5】如圖，這是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的U型池的示意圖，該U型池可以看成是長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是直