【傅里葉變換基本性質(zhì)及應(yīng)用研究（論文）】

傅里葉變換基本性質(zhì)及應(yīng)用研究報告摘要：作為物理學(xué)專業(yè)必備的數(shù)學(xué)物理方法之一和工程類的重要分析手段，傅里葉變換不僅在求解數(shù)學(xué)物理方程和信號分析中發(fā)揮著極為重要的作用，而且與量子力學(xué)中的表象變換有一定的關(guān)聯(lián)性，對后續(xù)的量子力學(xué)、信號與系統(tǒng)等課程教學(xué)有較大影響．在教學(xué)過程中，傅里葉變換往往是積分變換法部分的教學(xué)切入點．傅里葉變換擁有良好的基本性質(zhì)，這是決定其重要性和廣泛應(yīng)用的關(guān)鍵因素之一．因此傅里葉變換的基本性質(zhì)是教學(xué)中的重點內(nèi)容．當(dāng)前的教材在介紹傅里葉變換的基本性質(zhì)時，都是基于基本的數(shù)學(xué)證明，而缺乏深入的物理剖析．如果站在數(shù)學(xué)物理學(xué)科方法論的角度考慮，筆者覺得非常有必要進(jìn)行這方面的教學(xué)研究，同時這對于學(xué)生掌握并靈活應(yīng)用傅里葉變換、學(xué)好物理學(xué)也非常有益．關(guān)鍵詞傅里葉變換；基本定理；應(yīng)用1傅里葉變換的數(shù)學(xué)形式在進(jìn)行性質(zhì)的詮釋之前有必要給出傅里葉積分及傅里葉變換，傅里葉積分表述為（1）其中（2）為了便于分析，下面將從振動的角度出發(fā)，首先給出上述表達(dá)式的物理對應(yīng)．如果把式（1）中的變量x和k分別視為時間和頻率的話，則可以視為振動信號，而傅里葉積分式（1）代表振動的分解，即將復(fù)雜運動分解為簡諧振動的線性疊加，而傅里葉變換式（2）代表分解式（1）中各簡諧振動前的系數(shù)，稱為頻譜．．由于這里側(cè)重于對傅里葉變換基本性質(zhì)的物理理解而非嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，為了能從振動的角度更容易理解問題，將分解系數(shù)（頻譜）稱為“權(quán)數(shù)”，從而傅里葉變換式（2）代表分解式（1）中各簡諧振動的權(quán)數(shù)．同時為了方便，在下文中我們將分解式（1）中的各簡諧振動稱為的各分振動．下面基于以上物理對應(yīng)對傅里葉變換的5個基本性質(zhì)進(jìn)行物理詮釋.2傅里葉變換基本性質(zhì)線性性質(zhì)兩函數(shù)之和的傅里葉變換等于各自變換之和.數(shù)學(xué)描述是:若函數(shù)和的傅里葉變換和都存在和為任意常系數(shù),使得.物理學(xué)詮釋：基于1節(jié)中的物理對應(yīng),線性定理式（3）變得易于理解：代表振動的線性組合，考慮到振動分解式（1）的思想，所對應(yīng)的分振動權(quán)數(shù)必是和分振動權(quán)數(shù)和的線性組合，從而上式成立．平移性質(zhì)若函數(shù)存在傅里葉變換,則對任意實數(shù),函數(shù)存在傅里葉變換,且.物理學(xué)詮釋：采用1節(jié)中的物理對應(yīng)，當(dāng)給乘以時，引起相位的增加，即各簡諧分振動的相位較之多出了，從而引起的權(quán)數(shù)分布較之的權(quán)數(shù)分布發(fā)生了平移（若頻率則藍(lán)移，若頻率則紅移），平移的頻率量為，.微分關(guān)系若函數(shù)當(dāng)→時的極限為0,而其導(dǎo)函數(shù)的傅里葉變換存在,則有,即導(dǎo)函數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子,更一般地,若,且存在,則,即k階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子物理學(xué)詮釋：采用1節(jié)中的物理對應(yīng)，傅里葉積分式（1）代表振動的分解，即將復(fù)雜運動分解為簡諧振動的線性疊加，當(dāng)給求導(dǎo)時，各分振動均會因此而出現(xiàn)ik，從而分振動權(quán)數(shù)變?yōu)閕k倍，即有，該性質(zhì)亦可與量子力學(xué)中的動量算符建立一定的關(guān)聯(lián)，因此該性質(zhì)的物理詮釋對學(xué)生理解后續(xù)量子力學(xué)課程中的動量算符很有好處．卷積特性若函數(shù)及都在上絕對可積,則卷積函數(shù)的傅里葉變換存在,且。卷積性質(zhì)的逆形式為即兩個函數(shù)乘積的傅里葉逆變換等于它們各自的傅里葉逆變換的卷積.Parseval定理若函數(shù)可積且平方可積,其中是的傅里葉變換,則3應(yīng)用周期信號的傅立葉變換,設(shè)周期信號為,其傅里葉變換由下式給出相應(yīng)的傅里葉逆變換為由此可見,經(jīng)過傅里葉變換,就將時域信號變成頻域信號,而經(jīng)過傅里葉逆變換又將頻域信號轉(zhuǎn)變?yōu)樵瓉淼臅r域信號了.要對連續(xù)信號進(jìn)行數(shù)值計算,應(yīng)先將連續(xù)信號進(jìn)行離散化處理.信號離散化處理是以采樣定理為根據(jù)的,即:對一個具有有限頻譜的連續(xù)信號,若最高頻率為,當(dāng)采樣頻率滿足時,則此連續(xù)信號可以從此采樣值中還原.在實際應(yīng)用中,由于考慮分析精度,一般取..采樣過程如圖1所示,連續(xù)信號在每間隔時間T就采用一個樣點值,采樣后的脈沖序列為為,,…,,T為脈沖周期.，經(jīng)采樣后連續(xù)信號就變成了離散信號了.圖1連續(xù)信號經(jīng)采樣變?yōu)殡x散信號信號的采樣過程可以看做是乘以函數(shù),即運用傅里葉變換的，并注意到得到這就是離散傅里葉變換的表達(dá)式.但是這個式子并不能直接用來進(jìn)行計算,因為要對無窮多個采樣的樣本值進(jìn)行DFT運算,實際上是不可能的.電子計算機(jī)只能對有限數(shù)列進(jìn)行計算處理,因此,我們?nèi)個有限數(shù)列進(jìn)行研究.若采樣時間間隔為T,整個數(shù)列為,則數(shù)列的帶寬,那么頻率為,且將此結(jié)果代入(4-19)式,便可得到,因為為離散值,將它記為,并互換n,K,于是DFT為離散傅里葉逆變換(IDFT)可以從(3-2)式獲得,其表達(dá)式為從上式可見,離散信號可以通過DFT和IDFT實現(xiàn)時域和頻域的相互轉(zhuǎn)換,這種轉(zhuǎn)換就為近代數(shù)字化頻譜分析和數(shù)字化波形的時間合成奠定了基礎(chǔ).數(shù)字化處理方式與模擬處理方式相比較具有許多優(yōu)點,如穩(wěn)定性、抗干擾性、通用性、高精度和小型化等.但是,要使DFT符合實際應(yīng)用,還必須解決“實時性”和“經(jīng)濟(jì)型”的問題.FFT的出現(xiàn),有效地解決了信號實時分析的問題,經(jīng)濟(jì)性的問題也在不斷改進(jìn),特別是由于數(shù)字電路和大規(guī)模集成電路的發(fā)展,低價格、高性能的FFT處理機(jī)已經(jīng)大量涌現(xiàn)在各種科學(xué)技術(shù)和工程技術(shù)中.4總結(jié)傅里葉變換是一種特殊的積分變換,它能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分.在不同的研究領(lǐng)域,傅里葉變換具有多種不同的變體形式,如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換.它通過對函數(shù)的分析來達(dá)到對復(fù)雜函數(shù)的深入理解和研究.在幾乎所有利用傅里葉變換表示和分析物理過程的領(lǐng)域里都可以傅里葉變換的實部與虛部之間或者幅度和相位之間在某些情況下存在在一定的關(guān)系.限于本文的局限性,只列舉了傅里葉變換在波動和熱傳導(dǎo)及頻譜信號方面應(yīng)用.在傳統(tǒng)的平穩(wěn)信號分析及處理中,很多理論研究和應(yīng)用研究都將傅里葉變換當(dāng)作最基本的經(jīng)典工具來使用.但是傅里葉變換存在嚴(yán)重的缺點:用傅里葉變換的方法提取信號頻譜時,需要利用信號的全部時域信息,這是一種整體變換,缺少時域定位功能,小波變換的出現(xiàn)很好的解決了這一難題.參考文獻(xiàn)雷大軍,黃鐵鐵,姚敏,等.傅里葉變換教學(xué)方法探討[J].湘南學(xué)院學(xué)報,2015(2):75-77.范迪,高潔,祁亞萍,等.淺析幾種常用變換間關(guān)系助推信號與系統(tǒng)類課程教學(xué)[J].高教學(xué)刊,2018,No.86(14):112-114.姜恩華,楊一軍,竇德召,等.數(shù)字信號處理課程中的傅里葉變換教