2023導(dǎo)數(shù)解密通關(guān)基礎(chǔ)篇專題10 含參函數(shù)的極值、最值討論(原卷版)

專題10含參函數(shù)的極值、最值討論考點一含參函數(shù)的極值【例題選講】[例1]設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－(a＋1)x＋a(1＋lnx)．(1)若曲線y＝f(x)在(2，f(2))處的切線與直線y＝－x＋1垂直，求切線方程．(2)求函數(shù)f(x)的極值．[例2]已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)當a＝eq\f(1,2)時，求f(x)的極值；(2)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點的個數(shù)．[例3]設(shè)f(x)＝xlnx－eq\f(3,2)ax2＋(3a－1)x．(1)若g(x)＝f′(x)在[1，2]上單調(diào)，求a的取值范圍；(2)已知f(x)在x＝1處取得極小值，求a的取值范圍．[例4](2016·山東)設(shè)f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R．(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知f(x)在x＝1處取得極大值，求實數(shù)a的取值范圍．[例5]已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1－\f(a,6)))ex＋1，其中e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，常數(shù)a>0．(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的零點個數(shù)；(2)函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)F′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－a))f(x)，是否存在無數(shù)個a∈(1，4)，使得lna為函數(shù)F(x)的極大值點？請說明理由．【對點訓(xùn)練】1．已知函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2＋x，a∈R.(1)當a＝0時，求曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程；(2)令g(x)＝f(x)－(ax－1)，求函數(shù)g(x)的極值．2．設(shè)函數(shù)f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex．(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行，求a；(2)若f(x)在x＝2處取得極小值，求a的取值范圍．3．已知函數(shù)f(x)＝x2－3x＋eq\f(a,x)．(1)若a＝4，討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有3個極值點，求實數(shù)a的取值范圍．4．已知函數(shù)f(x)＝ax－x2－lnx(a∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)存在極值，且這些極值的和大于5＋ln2，求實數(shù)a的取值范圍．

5．(2018·全國Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝(2＋x＋ax2)·ln(1＋x)－2x．(1)若a＝0，證明：當－1<x<0時，f(x)<0；當x>0時，f(x)>0．(2)若x＝0是f(x)的極大值點，求a．考點二含參函數(shù)的最值【例題選講】[例1]已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當a＞0時，求函數(shù)f(x)在[1，2]上的最小值．[例2]已知函數(shù)f(x)＝ax2＋(1－2a)x－lnx.(1)當a>0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當a<0時，求函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上的最小值．[例3]已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)－1．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；(2)設(shè)m>0，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[m，2m]上的最大值．[例4]已知函數(shù)f(x)＝eq\f(mlnx,x)＋n，g(x)＝x2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f(x)－\f(1,x)－\f(a,2)))(m，n，a∈R)，且曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y＝x－1.(1)求實數(shù)m，n的值及函數(shù)f(x)的最大值；(2)當a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－e，\f(1,e)))時，記函數(shù)g(x)的最小值為b，求b的取值范圍．[例5](2019·全國Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝2x3－ax2＋b．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在區(qū)間[0，1]的最小值為－1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說明理由．【對點訓(xùn)練】1．已知函數(shù)g(x)＝alnx＋x2－(a＋2)x(a∈R)．(1)若a＝1，求g(x)在區(qū)間[1，e]上的最大值；(2)求g(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值h(a)．

2．已知函數(shù)f(x)＝(x－a)ex(a∈R)．(1)當a＝2時，求函數(shù)f(x)的圖象在x＝0處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上的最小值．3．已知函數(shù)f(x)＝ax－lnx，F(xiàn)(x)＝ex＋ax，其中x>0，a<0．(1)若f(x)和F(x)在區(qū)間(0，ln3)上具有相同的單調(diào)性，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若a∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,e2)))，且函數(shù)g(x)＝xeax－1－2ax＋f(x)的最小值為M，求M的最小值．4．已知函數(shù)f(x)＝ax＋lnx，其中a為常數(shù)．(1)當a＝－1時，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在區(qū)間(0，e]上的最大值為－3，求a的值．5．已知函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx，其中a∈R．(1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；(2)當a>0時，若f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為－2，求a的取值范圍．

考點三含參函數(shù)的極值與最值的綜合問題【例題選講】[例1]已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,1＋ax2)，其中a為正實數(shù)，x＝eq\f(1,2)是f(x)的一個極值點．(1)求a的值；(2)當b>eq\f(1,2)時，求函數(shù)f(x)在[b，＋∞)上的最小值．[例2]已知函數(shù)f(x)＝aln(x＋b)－eq\r(x)．(1)若a＝1，b＝0，求f(x)的最大值；(2)當b>0時，討論f(x)極值點的個數(shù)．[例3]設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋e－x(a＞1)．(1)求證：f(x)有極值；(2)若x＝x0時f(x)取得極值，且對任意正整數(shù)a都有x0∈(m，n)，其中m，n∈Z，求n－m的最小值．[例4]已知函數(shù)f(x)＝alnx＋eq\f(1,x)(a＞0)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在[1，e]上的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．[例5]已知函數(shù)f(x)＝(ax－1)lnx＋eq\f(x2,2)．(1)若a＝2，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線l的方程；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝f′(x)有兩個極值點x1，x2，其中x1∈(0，e]，求g(x1)－g(x2)的最小值．[例6]已知函數(shù)g(x)＝eq\f(x2,2)＋x＋lnx．(1)若函數(shù)g′(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)函數(shù)f(x)＝g(x)－mx，若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)m的取值范圍；(3)設(shè)x1，x2(x1＜x2)是函數(shù)f(x)的兩個極值點，若m≥eq\f(7,2)，求f(x1)－f(x2)的最小值．【對點訓(xùn)練】1．已知函數(shù)f(x)＝xlnx．(1)求函數(shù)f(x)的極值點；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))．2．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x3＋x2，x<1，,alnx，x≥1.))(1)求f(x)在區(qū)間(－∞，1)上的極小值和極大值；(2)求f(x)在[－1，e](e為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值．3．已知函數(shù)f(x)＝alnx＋x2－ax(a∈R)．(1)若x＝3是f(x)的極值點，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求g(x)＝f(x)－2x在區(qū)間[1，e]上的最小值h(a)．4．已知常數(shù)a≠0，f(x)＝alnx＋2x．(1)當a＝－4時，求f(x)的極值；(2)當f(x)的最小值不小于－a時，求實數(shù)a的取值范圍．

5．已知函數(shù)f(x)＝asinx＋sin2x，a∈R．(1)若f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上有極值點，求a的取值范圍；(2)若a＝1，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a