2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)1-1集合(知識(shí)點(diǎn)講解)解析版

專(zhuān)題1.1集合

【知識(shí)框架】

【核心素養(yǎng)】

1.考查集合的概念、元素的性質(zhì)，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

2.考查集合的基本關(guān)系，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).

3.與不等式、數(shù)軸、Venn圖等相結(jié)合考查集合的運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng).

【知識(shí)點(diǎn)展示】

1.元素與集合

（1）集合元素的特性：確定性、互異性、無(wú)序性．

（2）集合與元素的關(guān)系：若a屬于集合A，記作aA；若b不屬于集合A，記作bA．

（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、區(qū)間法、圖示法．

（4）五個(gè)特定的集合及其關(guān)系圖：N*或N＋表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有

理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集．

2.集合間的基本關(guān)系

(1)子集：若對(duì)任意x∈A，都有x∈B，則A?B或B?A.

(2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A，則AB或BA.

(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.

(4)空集的性質(zhì)：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本運(yùn)算

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

若全集為U，則集合A

符號(hào)表示A∪BA∩B

的補(bǔ)集為

CUA

圖形表示

{x|x∈A，或x∈{x|x∈A，且x

集合表示{x|x∈U，且xA}

B}∈B}

求集合A的補(bǔ)集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其實(shí)是給定的條件.從全集U中取出集合A的全部

元素，剩下的元素構(gòu)成的集合即為

CUA.

4.集合的運(yùn)算性質(zhì)

(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.

(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.

＝，∪＝，＝

(3)A∩(CUA)?A(CUA)UCU(CUA)A.

特別提醒:

1.若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè).

2.子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C.

＝∪＝

3.A?B?A∩BA?ABB?CUA?CUB.

＝∪，∪＝【?？碱}型剖析】

4.CU(A∩B)(CUA)(CUB)CU(AB)(CUA)∩(CUB).

題型一集合的基本概念

例1.(2018課標(biāo)II理2)已知集合Ax,yx2y23,xZ,yZ，則A中元素的個(gè)數(shù)為（）

A．9B．8C．5D．4

【答案】A

方法二：根

據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標(biāo)系中作出圖形，如圖，易知在圓x2＋y2＝3中有9個(gè)整點(diǎn)，即為集合

A的元素個(gè)數(shù)，故選A.

【規(guī)律方法】與集合中的元素有關(guān)的問(wèn)題的三種求解策略

(1)研究一個(gè)用描述法表示的集合時(shí)，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件.

(2)根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)時(shí)要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.

(3)集合中的元素與方程有關(guān)時(shí)注意一次方程和一元二次方程的區(qū)別.

例2.（2022·貴州·貴陽(yáng)一中模擬預(yù)測(cè)（文））已知集合A2,1,0,1,2,B{xZ∣x2x30},則集合

z∣zxy,xA,yB的元素個(gè)數(shù)為（）

A．6B．7C．8D．9

【答案】B

【解析】

【分析】

化簡(jiǎn)集合B，由條件確定z∣zxy,xA,yB的元素及其個(gè)數(shù).

【詳解】

由x2x30解得2x3，所以B1,0,1,2.又A2,1,0,1,2

所以z∣zxy,xA,yB2,0,2,4,1,1,4，共有7個(gè)元素，

故選：B.

【規(guī)律方法】

與集合元素有關(guān)問(wèn)題的思路：

（1）確定集合的元素是什么，即確定這個(gè)集合是數(shù)集還是點(diǎn)集．

（2）看這些元素滿足什么限制條件．

（3）根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合元素的個(gè)數(shù)，但要注意檢驗(yàn)集合是否滿足元素的互異性

題型二：集合間的基本關(guān)系

例3.（2022·河南·開(kāi)封市東信學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）集合A{0,1,2}的非空真子集的個(gè)數(shù)為（）

A．5B．6C．7D．8

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)真子集的定義即可求解.

【詳解】

由題意可知，集合A的非空真子集為{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}，共6個(gè).

故選：B.

【易錯(cuò)警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時(shí)，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會(huì)造成漏解．

例4.（2012·湖北省高考真題（文））已知集合Ax|x23x20,xR,Bx|0x5,xN，

則滿足條件ACB的集合C的個(gè)數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【解析】

求解一元二次方程，得

Ax|x23x20,xRx|x1x20,xR1,2，易知

Bx|0x5,xN1,2,3,4.

因?yàn)锳CB，所以根據(jù)子集的定義，集合C必須含有元素1,2，且可能含有元素3,4，

原題即求集合3,4的子集個(gè)數(shù)，即有224個(gè)，故選D.

【方法技巧】

(1)判斷兩集合之間的關(guān)系的方法：當(dāng)兩集合不含參數(shù)時(shí)，可直接利用數(shù)軸、圖示法進(jìn)行判斷；當(dāng)集合中含

有參數(shù)時(shí)，需要對(duì)滿足條件的參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論或采用列舉法．

(2)要確定非空集合A的子集的個(gè)數(shù)，需先確定集合A中的元素的個(gè)數(shù)，再求解．不要忽略任何非空集合是

它自身的子集．

(3)根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)值(或取值范圍)的關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參

數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、圖示法來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題．

題型三：集合的基本運(yùn)算

5

例5.（2022·全國(guó)·高考真題（文））設(shè)集合A{2,1,0,1,2},Bx∣0x，則AB（）

2

A．0,1,2B．{2,1,0}C．{0,1}D．{1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出．

【詳解】

5

因?yàn)锳2,1,0,1,2，Bx∣0x，所以AB0,1,2．

2

故選：A.

例6．（2022·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)全集U{2,1,0,1,2,3}，集合A{1,2},Bx∣x24x30，則

(AB)（）

U

A．{1,3}B．{0,3}C．{2,1}D．{2,0}

【答案】D

【解析】

【分析】

解方程求出集合B,再由集合的運(yùn)算即可得解.

【詳解】由題意，B=xx24x301,3，所以AB1,1,2,3,

所以AB2,0.

U

故選：D.

例7．（2022·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)全集U{1,2,3,4,5}，集合M滿足M{1,3}，則（）

U

A．2MB．3MC．4MD．5M

【答案】A

【解析】

【分析】

先寫(xiě)出集合M,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可

【詳解】

由題知M{2,4,5},對(duì)比選項(xiàng)知，A正確,BCD錯(cuò)誤

故選:A

例8.（2020·全國(guó)高考真題（理））已知集合A{(x,y)|x,yN*,yx}，B{(x,y)|xy8}，則AB中

元素的個(gè)數(shù)為（）

A．2B．3C．4D．6

【答案】C

【解析】

采用列舉法列舉出AB中元素的即可.

【詳解】

yx

由題意，AB中的元素滿足，且x,yN*，

xy8

由xy82x，得x4，

所以滿足xy8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，

故AB中元素的個(gè)數(shù)為4.

故選：C.

【規(guī)律方法】

如何解集合運(yùn)算問(wèn)題

(1)看元素構(gòu)成:集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問(wèn)題的關(guān)鍵.(2)對(duì)集合化

簡(jiǎn):有些集合是可以化簡(jiǎn)的，先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了、易于解決.

(3)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合:常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖.

(4)創(chuàng)新性問(wèn)題:以集合為依托，對(duì)集合的定義、運(yùn)算、性質(zhì)進(jìn)行創(chuàng)新考查，但最終化為原來(lái)的集合知識(shí)和相

應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決.

題型四：利用集合的運(yùn)算求參數(shù)

例9.（2020·全國(guó)高考真題（理））設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（）

A．–4B．–2C．2D．4

【答案】B

【解析】

由題意首先求得集合A,B，然后結(jié)合交集的結(jié)果得到關(guān)于a的方程，求解方程即可確定實(shí)數(shù)a的值.

【詳解】

求解二次不等式x240可得：Ax|2x2，

a

求解一次不等式2xa0可得：Bx|x.

2

a

由于ABx|2x1，故：1，解得：a2.

2

故選：B.

【方法規(guī)律】

利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值或取值范圍的方法

①與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值能否取到；

①若集合能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系，再列方程(組)求解．

例10.（2022·山西運(yùn)城·高二階段練習(xí)）設(shè)集合A{x2x3},B{xxa}，若AB，則實(shí)數(shù)a

R

的取值范圍為_(kāi)___．

【答案】a2

【解析】

【分析】

先求出B，則AB，A{x2x3}，由分析即可求出a的取值范圍.

RR

【詳解】

Bxxa，又因?yàn)锳B，A{x2x3}，所以a2．故答案為：a2.

RR

【易錯(cuò)提醒】（1）認(rèn)清元素的屬性．解決集合問(wèn)題時(shí)，認(rèn)清集合中元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)

和化簡(jiǎn)集合是正確求解的兩個(gè)先決條件．

（2）注意元素的互異性．在解決含參數(shù)的集合問(wèn)題時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中元素的互異性，否則很可能會(huì)因

為不滿足“互異性”而導(dǎo)致錯(cuò)誤．

（3）防范空集．在解決有關(guān)AB,AB等集合問(wèn)題時(shí)，往往容易忽略空集的情況，一定要先考慮

時(shí)是否成立，以防漏解．

題型五：集合的新定義問(wèn)題

例11.（2015·湖北高考真題（理））已知集合??={(??,??)|??2+??2≤1,??????,??∈??}，??={(??,??)|??|??|≤2?,

????????，定義集合+??,??+??)|(??,??)∈??,??????(??,??)∈??}，則??⊕??

|??|≤2,??,??∈??}??⊕??={(??12121122

中元素的個(gè)數(shù)為（）

A．77B．49C．45D．30

【答案】C

【解析】

因?yàn)榧??={(??,??)|??2+??2≤1,??????,??∈??}，所以集合中有9個(gè)元素（即9個(gè)點(diǎn)），即圖中圓中的整點(diǎn)，

集合??={(??,??)|??|??|≤2?,????|??|≤2,??????,??∈??}中有25個(gè)元素（即25個(gè)點(diǎn)）：即圖中正方形中

的整點(diǎn)，集合+??,??+??)|(??,??)∈??,??????(??,??)∈??}的元素可看作正方形中

??⊕??={(??12121122

的整點(diǎn)（除去四個(gè)頂點(diǎn)），即個(gè)．

例12.（2021·江西·豐城九中高二階段練習(xí)）已知非空集合A,B滿足下列

四個(gè)條件：①AB1,2,3,4,5,6,7；①AB；

③A中的元素個(gè)數(shù)不是A中的元素；④B中的元素個(gè)數(shù)不是B中的元素．（1）若集合A中只有1個(gè)元素，則

A________；

（2）若兩個(gè)集合A和B按順序組成的集合對(duì)A，B叫作有序集合對(duì)，則有序集合對(duì)A,B的個(gè)數(shù)是

________.

【答案】{6}32

【解析】

【分析】

根據(jù)給定信息，分析集合A，B不能取的元素即可得解；按集合A中元素個(gè)數(shù)分類(lèi)計(jì)算作答.

【詳解】

（1）因AB1,2,3,4,5,6,7，AB，則集合A，B的元素個(gè)數(shù)和為7，

而集合A中只有1個(gè)元素，則集合B中有6個(gè)元素，又B中的元素個(gè)數(shù)不是B中的元素，即6B，

所以A{6}；

（2）集合A中有1個(gè)元素時(shí)，由（1）知A{6}，B{1,2,3,4,5,7}，則有序集合對(duì)A,B有1個(gè)，

集合A中有2個(gè)元素時(shí)，即2A,5B，則A{5,a},a{1,3,4,6,7}，有序集合對(duì)A,B有C15個(gè)，

5

集合A中有3個(gè)元素時(shí)，即3A,4B，則A{4,a,b},a,b{1,2,5,6,7}，有序集