2023年內(nèi)蒙古機電職業(yè)技術(shù)學院數(shù)學單招試題測試版附答案解析

［時間：45分鐘分值：100分］

錯誤!未定義書簽。

L函數(shù)段）=1舊-X在區(qū)間（0,e］上的最大值為.

2屈數(shù)危）=IZr-x3在區(qū)間［-3,3］上的最小值是.

3.已知“W錯誤!+用對于入€錯誤!恒成立，則“的最大值為_________.

4.用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，規(guī)定長方體的長與寬之比為

2:1,則該長方體的最大體積是___________ri?.

錯誤!未定義書簽。

5.函數(shù)產(chǎn)源-2『在區(qū)間上的最大值是______.

6.函數(shù)/（x）=\f（1,2）x?-1nx的最小值為_________.

7.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤M單位:萬元）與年產(chǎn)量X（單位：萬件）的函數(shù)關(guān)系式為

V二錯誤!未定義書簽。V+81X-234,則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為__

萬件.

8.若函數(shù)/'（?=錯誤味定義書簽。（。＞0）在［1,+8）上的最大值為錯誤!未定義

書簽。廁”的值為___________.

9.已知函數(shù)=xi+ax1+bX+C,［-2,2］表達過原點的曲線，且在x

=±1處的切線的傾斜角均為錯誤!未定義書簽。兀,則以下命題：

①/'(x)的解析式為)=d-4x,xe[-2,2]；

②Ax)的極值點有且只有一個;

③f(X)的最大值與最小值之和等于零.

其中對的命題的序號為.

10.已知函數(shù),/(X)=錯誤！X4-2x3+3m,>￡1<,若人幻+920恒成立，則實數(shù)m

的取值范圍是.

1L若函數(shù)f(x)=loga(x3-ax)(a>0,aW1)在區(qū)間錯誤!未定義書簽。內(nèi)單調(diào)

遞增，則a的取值范圍是.

12.設(shè)函數(shù)段)=aX，-3x+1(xeR),若對于任意的-1,1都有段)20成立，

則實數(shù)a的值為.

13.(8分)求函數(shù)於)=\f(1,3)『+錯誤!x2-2t+錯誤!在區(qū)間［-3,3］上的最大值

與最小值.

14.(8分)已知函數(shù),/(X)的導數(shù)/(x)=3*2-30V(0)=b,a,b為實數(shù)，1<a

<2.

(1)若<x)在區(qū)間［-1,1］上的最小值、最大值分別為-2、1,求心6的值；

(2)在(1)的條件下，求通過點尸(2,1)且與曲線式X)相切的直線1的方程.

15.(12分)據(jù)環(huán)保部門測定，某處的污染指數(shù)與附近污染源的強度成正比，與

到污染源距離的平方成反比，比例系數(shù)為Kk>0).現(xiàn)已知相距18km的A,8兩家化工廠

(污染源)的污染強度分別為a,4它們連線上任意一點C處的污染指數(shù).v等于兩化工廠

對該處的污染指數(shù)之和.設(shè)AC=x(km).

⑴試將y表達為x的函數(shù)；

⑵若a=1,且x=6時,y取得最小值，試求b的值

16.(12分)已知函數(shù)/(x)=x+a1nx,其中。為常數(shù)且aW-I.若次x)We-

1對任意.rG[e,e2]恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

參考答案

【基礎(chǔ)熱身】

1.-1［解析I，。)=工1=錯誤！，故/(x)在(0,1)上遞增在(1,e］上遞減，

X

所以最大值為/(1)=-1.

2.-16［解析］令尸(x)=12-3x2=0，得a±2.

?.：A2)=16/-3)=-9,尺2)=-16,人3)=9，"幻2)=-16.

-X+X-\

3.0［解析］設(shè)1X)=錯誤!未定義書簽。+1n無廁/(A-)=-----;—+錯誤！

x-

未定義書簽。=錯誤!未定義書簽。，當錯誤!時/'(x)<0,故函數(shù)4r)在錯誤!上單

調(diào)遞減;當x￡(l,2］時"。)>0,故函數(shù)外)在(1,2］上單調(diào)遞增，.決相濡:川)=

0.

，aW0,即a的最大值為0.

18-12%

4.3［解析］設(shè)長方體的寬為x,則長為2X,高為h=一一=4.5-3X錯誤!

未定義書簽。，

故長方體的體積為

V(x)=2r(4.5-3x)=9P6X’錯誤!.

從而V'(x)=18x-18X2=18X(1-X).

令V(x)=0，解得x=()(舍去)或x=1,

當0<X<1時，Vz(x)>0；當1<x<\f(3,2)時，r(x)<0,

故在41處1/(X)取得極大值.并且這個極大值就是1/(X)的最大值.

從而最大體積V=V(1)=9X12-6X13=3(nV),此時長方體的長為2m,寬為1

m,高為1.5m.

【能力提高】

5.8［解析］y'=6/-4X,令/=0,二x=0或》=錯誤!.

?.兆1)=-4,"0)=0,/錯誤!未定義書簽。=-錯誤!未定義書簽。,f(2)=8,

，最大值為8.

6.錯誤!未定義書簽。［解析］由錯誤!得x>l;

由錯誤!未定義書簽。得

??加)在后1時取得最小值11)=錯誤味定義書簽。-Ini=錯誤!.

7.9［解析］令<=-金+81>0,解得-9<x<9;令y'=-f+81<0,解得

x<-9或x>9,所以函數(shù)產(chǎn)-錯誤!未定義書簽。港+8"一234在區(qū)間(0,9)上是增

函數(shù)，在區(qū)間(9,+8)上是減函數(shù),所以在x=9處取極大值，也是最大值.

8.73-1|解析］/'(x)=錯誤!未定義書簽。=錯誤!未定義書簽。，當x>錯誤!時,

f(x)<0，/)單調(diào)遞減;當-錯誤!未定義書簽。<x<錯誤!時，尸(x)>0小)單調(diào)遞

增.當錯誤!>1,即a>1時，7U)的最大值為，(錯誤!未定義書簽。尸錯誤!未定義書

簽。等，/著■<1,矛盾，當Wwi,即0<aWl時1AX)的最大值為)=錯誤！

未定義書簽。=錯誤!未定義書簽。，。=錯誤!-1,經(jīng)檢查符合題意.

9.①③［解析］,函數(shù)心)過原點二。=0.由題意得/'(x)=3X2+2ax+。，且

f(D=T"(-1)=-1.

?.錯誤!

3=0,b=-4.

.?4X)=W-4X,故①對的.

f(x)=3x2一4,)有兩個極值點，故②錯誤.

又“X)是奇函數(shù),"(X)max+y(x)min=o.

故③對的.

IO.m2\f(3⑵［解析］由于函數(shù)段)=錯誤!/-2/+3"2,所以尸(x)=2x3-6

,令尸(犬)=0相x=0或43,經(jīng)檢查知x=3是函數(shù)的一個最小值點,所以函數(shù)的最

27

小值為火3)=3m-—,不等式/(x)+9N0恒成立，即火x)2-9恒成立，所以3m-

錯誤!9,解得，心錯誤！.

11.錯誤!未定義書簽。［解析］當0<a<1時，函數(shù)g(x)=d-ax在區(qū)間錯誤！

未定義書簽。內(nèi)單調(diào)遞減且恒為正，有g(shù)'(x)=3x2-aW0對VxW錯誤!未定義書

簽。恒成立，且滿足g(0)2，得“W錯誤!;當a>l時，由函數(shù)g(x)=Pax在區(qū)

間錯誤!內(nèi)單調(diào)遞增得g'(x)=3f-心0對Vxe錯誤!恒成立，有后0顯然不符.綜

上，ae錯誤!.

12.4［解析］由函數(shù)段)=汗-3x+1,

得/(X)=3加-3.

(1)若4=0，則y(x)=-3x+l，顯然xW［-1,1］時段)>0不恒成立，所以aWO;

⑵若a<0/(x)=3OX2-3<0,

所以此時7U)在［-1,1］上單調(diào)遞減，

所以XW［-1,1］時g)min=f(1)=a-2,從而只需小2，(),所以a>2,與前提

“<0矛盾；

⑶若0<a<1,同理，也不符合規(guī)定；

(4)若a>1,令/'(x)=3ax2-3=0,

得x=±錯誤！￡［-1,U,

所以此時火x)在［-1,1］上的單調(diào)性如下表：

-錯誤!未定義

X-1

書簽。

f(x)+0

於)「(-1)極大值

錯誤!未定義書錯誤!未定義書

X錯誤！1

簽。簽。

f(x)-0+

八X)極小值川)

所以只需錯誤!即可，

即錯誤!今錯誤!未定義書簽。=>a=4.

1

13.［解答］二信盧5>3+錯誤味定義書簽。？2x+錯誤!,

：.f(X)=X2+X-2.

令/'(x)=0得X=-2或x=1.則x,(x),/(x)的變化情況如下：

(-3,-

X-3-2(-2,1)1(1,3)3

2)

fU)+0-0+

錯

痢

未

定錯誤!未定

6

fix)錯誤！/義/

義書簽。

書

簽

。

由上表知,在區(qū)間［33］上，當下3時〃X)max=錯誤!未定義書簽。，當A1時,

1AX)min=

14.[解答](1)由已知得，4x)=x'-錯誤52+一

由/'(x)=(X得為=0,X2=a.

,.,xG[-l,l],l<a<2,

.?.當x￡［-l,O）時/（%）＞0,〃尤）遞增；

當(0,1］時，尸(x)〈0，/)遞減.

.?■/(X)在區(qū)間［-1,1］上的最大值為f(Q)=b,：.h=i.

又〃1)=1-1a+l=2-\f(3,2)a,〃-1)=-1-錯誤!a+1=-錯誤！a,

.,如1)〈川).

由題意得人-1)=2即-錯誤!未定義書簽。。=-2,得。=錯誤!未定義書簽。.

故(7=g,。=1為所求.

⑵由⑴得病)=x3-2?+1"(X)=3f-4x點PQ,1)在曲線段)上.

①當切點為P(2,1)時，切線I的斜率k=f(2)=4,

的方程為y1=4(x-2),即4X-y-7=0.

②當點戶不是切點時，設(shè)切點為Q(xo,yo)(x0W2)，切線/的斜率kf(xo)=3x

錯誤!-4x0,

；./的方程為y-%=(3X錯誤!未定義書簽。-4xo)(x-xo).

又點P(2,1)在7±,/.l-y0=(3.偏誤！-4x0)(2-x0),

二1-Q錯誤!-2A錯誤!+1)=(3x錯誤!-4向)(2-xo),

錯誤?。?-xo）=（3.儲誤！-4xo）（2-xo）,

-'-x\O\a1(2,o)=3x錯誤!未定義書簽。-4xo,即2xo(xo-2)=0,Xo=O.

.?切線/的方程為y=I.

故所求切線/的方程為4x-y-7=0或y=l.

15.［解答］(1)設(shè)點C受力污染源污染限度為錯誤!，點C受B污染源污染限度

為錯誤！，其中人為比例系數(shù)且%>0.從而點C處的污染指數(shù)尸錯誤!+錯誤!.

(2)由于即1,所以產(chǎn)錯誤!未定義書簽。+錯誤!未定義書簽。，

y'當錯誤!未定義書簽。，令<=0,得x=\f(18,1+班)，

經(jīng)檢查x=錯誤!時，y取得最小值，故錯誤!未定義書簽。=6,解得6=8,經(jīng)驗

證符合題意.

所以,污染源B的污染強度b的值為8.

16"解答］尸(x)=1+錯誤!未定義書簽。，令"(X)=0,得l+\f(a,x)=0,

即x=-a.

當A-e(0,-時,f'(%