2022屆重慶市南開中學(xué)高考沖刺七數(shù)學(xué)（文）試題

/16/16/2022屆重慶市南開中學(xué)高考沖刺七數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．設(shè)集合，，則集合元素的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．8【答案】C【解析】先求出再求交集即可.【詳解】.所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次不等式的求解以及交集的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題型.2．若復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)落在虛軸上，則實(shí)數(shù)a的值為（）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】根據(jù)復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)落在虛軸上可知復(fù)數(shù)為純虛數(shù),利用復(fù)數(shù)除法化簡即可.【詳解】復(fù)數(shù),由題為純虛數(shù).故.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算與純虛數(shù)的理解,屬于基礎(chǔ)題型.3．等差數(shù)列的前7項(xiàng)和為28，，則（）A．6 B．7 C．9 D．14【答案】A【解析】先根據(jù)已知得到關(guān)于的方程組，解方程組得的值，再求的值.【詳解】由題得.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)的基本量的計(jì)算，考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.4．已知實(shí)數(shù)x，y滿足可行域,則取最大值時(shí)的最優(yōu)解為（）A． B． C． D．4【答案】B【解析】畫出可行域,再分析取最大值的時(shí)候的點(diǎn)判斷即可.【詳解】畫出可行域,因?yàn)橛?故當(dāng)取最大值時(shí)的最優(yōu)解為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃的問題,屬于基礎(chǔ)題型.5．設(shè)與是單位向量，且其夾角為，若，，則在上的投影為（）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】根據(jù)投影的公式求解即可.【詳解】在上的投影為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了投影的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題型.6．對于平面、、和直線a、b、m、n，下列命題中真命題是（）A．若，，，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則【答案】C【解析】根據(jù)線線和線面與面面的平行與垂直的判定和性質(zhì)判斷即可.【詳解】A.根據(jù)線面垂直的垂直的判定定理可知,,必須是相交直線,所以A錯誤.B.根據(jù)直線和平面平行的判定定理可知,必須在平面外,所以B錯誤.C.根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知,兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,則交線平行,所以C正確.D.根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知,必須垂直于的交線才有.所以D錯誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行與垂直的判定與性質(zhì),需要根據(jù)題意找到滿足的條件,屬于基礎(chǔ)題型.7．已知雙曲線的漸近線與相切，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2【答案】A【解析】根據(jù)圓心到漸近線的距離等于半徑求解關(guān)于的關(guān)系進(jìn)而求得離心率即可.【詳解】由題,圓心到漸近線即的距離為半徑2.即.故離心率.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線中的基本量間的關(guān)系求離心率的方法,需要列出關(guān)于基本量的等式再進(jìn)行化簡求解,屬于基礎(chǔ)題型.8．如圖，給出的是求的值的一個(gè)程序框圖，則判斷框內(nèi)填入的條件是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知中程序的功能是計(jì)算的值，根據(jù)已知中的程序框圖，我們易分析出進(jìn)行循環(huán)體的條件，進(jìn)而得到答案．【詳解】模擬程序的運(yùn)行，可知程序的功能是計(jì)算的值，即，時(shí)，進(jìn)入循環(huán)，當(dāng)時(shí)，退出循環(huán)，則判斷框內(nèi)填入的條件是．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)程序的功能判斷出最后一次進(jìn)入循環(huán)的條件，屬于基礎(chǔ)題．9．已知函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，且在上為增函數(shù)，則（）A． B．3 C． D．6【答案】A【解析】利用降冪公式與誘導(dǎo)公式化簡,再根據(jù)圖像關(guān)于點(diǎn)對稱與在上為增函數(shù)求解即可.【詳解】,又因?yàn)閳D像關(guān)于點(diǎn)對稱,故,故.故,.又在上為增函數(shù),故,即,所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)的問題,需要根據(jù)題意列出關(guān)于參數(shù)的不等式,再根據(jù)整數(shù)取值即可.屬于中等題型.10．函數(shù)在處取得極值，則的值為（）A． B． C．4 D．3【答案】A【解析】求導(dǎo)后代入可得導(dǎo)函數(shù)為0,以及代入原函數(shù)可得極值計(jì)算即可.【詳解】由題意,,故..故.故.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了極值點(diǎn)的運(yùn)用,需要根據(jù)題意列出關(guān)于的等式進(jìn)行求解,屬于中等題型.11．設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱，且，則()A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】試題分析：設(shè)是函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線對稱為（），由已知（）在函數(shù)的圖像上，∴，解得，即，∴，解得，故選C．【考點(diǎn)】函數(shù)求解析式及求值12．?dāng)?shù)列中，且，則數(shù)列的前2022項(xiàng)和為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)提示求出關(guān)于的遞推公式,再根據(jù)累加法求解通項(xiàng)公式,進(jìn)而求得數(shù)列的前2022項(xiàng)和即可.【詳解】由題,,故.故,…累加可得,因?yàn)樗?故.故數(shù)列的前2022項(xiàng)和為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了構(gòu)造數(shù)列以及累加法求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法,需要根據(jù)題中給的信息找到構(gòu)造數(shù)列的方法進(jìn)行求解,同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和的方法,屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題13．某單位有職工750人，其中有中年職工250人，老年職工150人，其余為青年職工.為了了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本.若樣本中的青年職工為7人，則樣本容量為________.【答案】15【解析】根據(jù)分層抽樣的方法按比例抽取即可.【詳解】由題意可得,單位的青年職工人數(shù)為.故抽取的比例為.故樣本容量為.故答案為：15【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的方法,屬于基礎(chǔ)題型.14．如圖,在正三棱柱中,,異面直線與所成角的大小為,該三棱柱的體積為．【答案】【解析】試題分析：由線線角定義知，又為直角三角形，，則，故該三棱柱的體積為．【考點(diǎn)】（1）線線角的定義；（2）正三棱柱的性質(zhì)及體積公式．15．已知實(shí)數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】在上單調(diào)遞增，，即，由，得時(shí)，，綜上，，故答案為．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查分段函數(shù)的解析式與單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.分段函數(shù)的單調(diào)性是分段函數(shù)性質(zhì)中的難點(diǎn)，也是高考命題熱點(diǎn)，要正確解答這種題型，必須熟悉各段函數(shù)本身的性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，不但要求各段函數(shù)的單調(diào)性一致，最主要的也是最容易遺忘的是，要使分界點(diǎn)處兩函數(shù)的單調(diào)性與整體保持一致.16．已知，是拋物線上兩點(diǎn)，且，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則最大值為________.【答案】【解析】根據(jù)拋物線的幾何意義,再利用余弦定理與基本不等式求余弦的最小值再判斷即可.【詳解】由題得,,即故.即.因?yàn)?且余弦函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減,故.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的焦半徑公式與余弦定理的綜合運(yùn)用等,需要根據(jù)題意列出對于的余弦定理,再利用基本不等式分析最值,屬于中等題型.三、解答題17．已知的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，向量，，且.（1）求角A的大??；（2）設(shè)D是邊AC的中點(diǎn)，若，且的外接圓的面積為，求邊a.【答案】（1）（2）【解析】(1)根據(jù)可得對應(yīng)的邊的關(guān)系,再根據(jù)余弦定理求解角A的大小即可.(2)根據(jù)正弦定理可得,進(jìn)而求得的值,再根據(jù)余弦定理即可求解邊a.【詳解】（1）由得,,即故,又A是三角形的內(nèi)角,所以（2）由題意,的外接圓的直徑為2.在中,由正弦定理得,解得,故于是,在中,由余弦定理得,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行的運(yùn)用以及正余弦定理解三角形的方法,需要根據(jù)題意找到對應(yīng)的邊角關(guān)系列式,屬于中等題型.18．某農(nóng)戶考察三種不同的果樹苗A、B、C，經(jīng)引種試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，引種樹苗A的自然成活率為0.8，引種樹苗B、C的自然成活率均為0.9.（1）若引種樹苗A、B、C各10棵.①估計(jì)自然成活的總棵數(shù)；②利用①的估計(jì)結(jié)論，從沒有自然成活的樹苗中隨機(jī)抽取兩棵，求抽到的兩棵都是樹苗A的概率；（2）該農(nóng)戶決定引種B種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗中有75%的樹苗可經(jīng)過人工栽培技術(shù)處理，處理后成活的概率為0.8，其余的樹苗不能成活.若每棵樹苗引種最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農(nóng)戶為了獲利不低于20萬元，問至少引種B種樹苗多少棵?【答案】（1）①26②（2）該農(nóng)戶至少種植700棵樹苗，就可獲利不低于20萬元【解析】(1)①用每種的棵樹10乘以對應(yīng)的成活率再相加即可.②根據(jù)古典概型的方法求解即可.(2)設(shè)該農(nóng)戶種植B樹苗n棵,再根據(jù)題意求出獲利的解析式,再求解不等式即可.【詳解】解：（1）①依題意：,所以自然成活的總棵數(shù)為26.②沒有自然成活的樹苗共4棵,其中兩棵A種樹苗、一棵B種樹苗、一棵C種樹苗,分別設(shè)為,,b,c,從中隨機(jī)抽取兩棵,可能的情況有：,,,,,,抽到的兩棵都是樹苗A的概率為.（2）設(shè)該農(nóng)戶種植B樹苗n棵,最終成活的棵數(shù)為,未能成活的棵數(shù)為,由題意知,則有.所以該農(nóng)戶至少種植700棵樹苗,就可獲利不低于20萬元.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型的運(yùn)用與根據(jù)概率解決實(shí)際情況的問題,屬于基礎(chǔ)題型.19．如圖，在中，，，面BCD，，E，F(xiàn)分別是AC，AD上的動點(diǎn)，且.（1）求證：平面ABC；（2）是否存在，使得平面面ACD？如果存在，求出的值并求此時(shí)面BEF分三棱錐得到的上下兩部分幾何體體積之比；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，使得平面面ACD，體積比為【解析】(1)先證,再證明平面ABC即可.(2)由題意可知只需即可,再利用直角三角形中的關(guān)系列式求解即可.【詳解】（1）,.又,,平面ABC,,平面ABC（2）存在,使得平面面ACD.證明如下：要使平面面ACD,只需平面ACD,由（1）可知,故只需即可.當(dāng)時(shí),由三角形相似可得：,即所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的證明以及幾何體比例的性質(zhì)等.屬于中等題型.20．橢圓的離心率為，，是橢圓C的短軸端點(diǎn)，且，點(diǎn)M在橢圓C上運(yùn)動，且點(diǎn)M不與，重合，點(diǎn)N滿足，.（1）求橢圓C的方程；（2）求四邊形面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】(1)根據(jù)橢圓的基本量求解即可.(2)設(shè),,再設(shè)方程聯(lián)立求得的關(guān)系,再將四邊形面積表達(dá)成關(guān)于的解析式,再分析最值即可.【詳解】解：(1),,又,且,,,因此橢圓C的方程為.(2)設(shè),,,.直線……①直線……②由①,②解得：,又,,四邊形的面積,,當(dāng)時(shí),S的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)基本量的方法求解橢圓的方程,同時(shí)也考查了聯(lián)立直線與橢圓的方法求橢圓內(nèi)面積的問題,屬于中等題型.21．已知函數(shù)，.若函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)Q恰好在函數(shù)的圖象上.（1）證明：；（2）若函數(shù)在上存在極值，求k的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）4【解析】(1)根據(jù)題意先求得,再構(gòu)造函數(shù),再求導(dǎo)分析單調(diào)性求最值再證明即可.(2)由題可得在上有解,再構(gòu)造分析函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理求解函數(shù)在處的函數(shù)值大小再判定即可.【詳解】解：（1）由已知,得.設(shè)..當(dāng)x變化時(shí),,的變化情況如下表：x00單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增,即..（2）由已知,.則.函數(shù)在上存在極值,在上有解.即方程在上有解.令.,.函數(shù)在上單調(diào)遞減.由于,,故函數(shù)的零點(diǎn).方程在上有解,.的最大值為4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)表達(dá)式以及零點(diǎn)存在性定理求解與極值點(diǎn)有關(guān)的問題等.屬于難題.22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角為，且經(jīng)過點(diǎn)．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線，從原點(diǎn)O作射線交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為射線OM上的點(diǎn)，滿足，記點(diǎn)N的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求出直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)直線與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，求的值．【答案】（Ⅰ）(t為參數(shù))，；（Ⅱ）3.【解析】（Ⅰ）直接由已知寫出直線l1的參數(shù)方程，設(shè)N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由題意可得，即ρ＝4cosθ，然后化為普通方程；（Ⅱ）將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程中，得到關(guān)于t的一元二次方程，再由參數(shù)t的幾何意義可得|AP|?|AQ|的值．【詳解】（Ⅰ）直線l1的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）即（t為參數(shù)）．設(shè)N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），則，即，即ρ=4cosθ，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2-4x+y2=0（x≠0）.（Ⅱ）將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程中，得，即，t1，t2為方程的兩個(gè)根，∴t1t2=-3，∴|AP|?|AQ|=|t1t2|=|-3|=3．【點(diǎn)睛】本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查直角坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，訓(xùn)練了直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義的應(yīng)用，是中檔題．23．已知函數(shù)f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；(2)若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求證：f(ab)＞|a|·f.【答案】（1）{x|x≥3或x≤－5}．（2）證明見解析【解析】（1）分段討論當(dāng)x＜－3時(shí)，當(dāng)－3≤x≤1時(shí)，當(dāng)x＞1時(shí)，求解不等式即可；（2）利用分析法，要證f(ab)＞|a|f，只需證|ab－1|＞|b－a|，再兩邊平方證明即可.【詳解】解：（1）依題意，原不等式等價(jià)于|x－1|＋|x＋3|≥8.當(dāng)x＜－3