2022年江蘇高考高三一模南通大市數學試卷及答案

2022屆高三年級模擬試卷（十）

數學

（滿分：150分考試時間：120分鐘）

2022.2

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1.設集合力={-1,0,1},B={x|lg（x+2）>0},則AC8=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1}D.（-1,+0°）

2.已知復數z與（z+2/+8i都是純虛數，則z=（）

A.2B.-2C.2iD.~2i

3.已知甲、乙、丙三人均去某健身場所鍛煉，其中甲每隔1天去一次，乙每隔2天去一

n|p

次，丙每隔3天去一次.若2月14日三人都去鍛煉，則下一次三人都去鍛煉的日期是（）

A.2月25日B.2月26日C.2月27日D.2月28日

4.把函數y=sin（2x+E）圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函

數1x）的圖象；再將./U）圖象上所有點向右平移號個單位長度，得到函數g（x）的圖象，則g（x）

=（）

2兀5兀

A.—sin4xB.sinxC.sin（x+?。〥.sin（4xH—y）

5.某學校每天安排四項課后服務供學生自愿選擇參加.學校規(guī)定：（1）每位學生每天最

多選擇1項；（2）每位學生每項一周最多選擇1次.學校提供的安排表如下：

時間周一周二周三周四周五

口語、手工、U語、音樂、

音樂、閱讀、體閱讀、閱讀、閱讀、口語、

課后服務

育、編程編程、科技、體育、美術、

美術體育編程科技

若某學生在一周內共選擇了閱讀、體育、編程3項，則不同的選擇方案共有（）

A.6種B.7種C.12種D.14種

6.在"的展開式中，項的系數為

A.-10B.5C.35D.50

7.已知橢圓C：4+￡=13>Q0）的左、右焦點分別為尸2,過點Q且斜率為華

咪

兇的直線/與C在x軸上方的交點為A.若AF|=F|F2，則C的離心率是（）

2啦一市V5

A.?B.C.D.

TT

8.已知a,￡均為銳角，且a+4一/>sin/?—cosa,則（）

A.sin?>sin尸B.cosa>cos§

C.cosa>sin[iD.sina>cos0

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

1

9.下列函數最小值為6的是()

93

A?產B.y=6|smx|+2|sinv|

?+25

C.y=3*+32r

10.已知直線/與平面a相交于點P,則()

A.a內不存在直線與/平行B.a內有無數條直線與/垂直

C.a內所有直線與I是異面直線D.至少存在一個過/且與a垂直的平面

11.為了解決傳統(tǒng)的3D人臉識別方法中存在的問題,科學家提出了一種基于視頻分塊聚

類的格拉斯曼流形自動識別系統(tǒng).規(guī)定：某區(qū)域內的，/個點P,(為，y,z,)的深度z,的均值為

1m/1m

〃=一2霜?標準偏差為匕￡(3一爐,

m,=14深度ZiqW—36,|i+3司的點視

為孤立點.則根據下表中某區(qū)域內8個點的數據，有()

PiPlP2P3P4P5P6P7P8

Xi15.115.215.315.415.515.415.413.4

yi15.114.214.314.414.515.414.415.4

Zi2012131516141218

A.H=15-CPi是孤立點DP?不是孤立點

12.定義：在區(qū)間I上，若函數y=f(x)是減函數，且y=xf(x)是增函數，則稱y=f(x)在

區(qū)間I上是“弱減函數”.根據定義可得()

A.f(x)=|在(0,+8)上是“弱減函數”

B.f(x)=^在(1,2)上是“弱減函數”

C.若心)=卓在(m,+8)上是“弱減函數"，則m'e

jr2]

D.若f(x)=cosx+kx2在(0,-)上是“弱減函數”，則y

Z37r7T

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.過點P(l,1)作圓C：x2+y2=2的切線交坐標軸于點A,B,則冰PB=.

14.已知“ma,3?。是方程3x2+5x—7=0的兩根，則藍零=.

15.寫出一個同時具有下列性質①②③的三次函數f(x)=.

①f(x)為奇函數；②f(x)存在3個不同的零點；③f(x)在(1,+8)上是增函數.

16.在等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2,ZDAB=ZCBA=^,O為AB的中點.將

△BOC沿OC折起，使點B到達點B，的位置，則三棱錐B，ADC外接球的表面積為；

當B'D=^時,三棱錐B'ADC外接球的球心到平面B，CD的距離為.(第一空2分，

第二空3分)

2

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演

算步驟.

17.(本小題滿分10分)

在aABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=7,b=8,從下面兩個條件中任

選一個作為已知條件，試判斷aABC是否為鈍角三角形，并說明理由.

131

?cos;?cosB-7.

18.(本小題滿分12分)

設Sn是等比數列｛跖｝的前n項和，ai=l,且Si，S3,S2成等差數列.

(1)求｛an｝的通項公式;

(2)求使SnW3ali成立的n的最大值.

3

19.(本小題滿分12分)

如圖，在直四棱柱ABCDAIBICIDI中，AD〃BC,AD±AB,AA|=AD=2BC=2,AB

=yf2，點E在棱AQi上，平面BCiE與棱AAi交于點F.

(1)求證：BD±CiF；

4

(2)若BE與平面ABCD所成角的正弦值為弓，試確定點F的位置.

20.(本小題滿分12分)

V-'歷I—

已知雙曲線C：—=l(a>0,b>0),四點M](4,)，Ma(3>y[2),M3L2,一

坐),M4(2,坐)中恰有三點在C上.

(1)求C的方程；

(2)過點(3,0)的直線1交C于P,Q兩點，過點P作直線x=l的垂線，垂足為A.求證：

直線AQ過定點.

4

21.(本小題滿分12分)

對飛機進行射擊，按照受損傷影響的不同，飛機的機身可分為I,n,ni三個部分.要

擊落飛機，必須在I部分命中一次，或在n部分命中兩次，或在ni部分命中三次.設炮彈擊

中飛機時，命中I部分的概率是1,命中n部分的概率是1,命中m部分的概率是白，射擊

032

進行到擊落飛機為止.假設每次射擊均擊中飛機，且每次射擊相互獨立.

(1)求恰好在第二次射擊后擊落飛機的概率；

(2)求擊落飛機的命中次數X的分布列和數學期望.

5

22.(本小題滿分12分)

已知函數f(x)=：+Inx.

⑴試討論f(x)的單調性；

(2)若f(xi)=f(X2)=2(xi#X2),求證：a2<X|X?<ae.

然

6

2022屆高三年級模擬試卷（十）（南通）

數學參考答案及評分標準

1.B2.C3.B4.B5.D6.A7.A8.D9.BC10.ABD11.ABD12.BCD

13.—214.115.x3—x（答案不唯一，形如3a+%N0））16.4兀

17.ft?：若選①.

在△ABC中，由余弦定理/=42+62-2岫8$。，

13

得/=72+82-2X7X8X音=9,所以c=3.（4分）

因為c<a<6,所以8是AABC的最大角.（7分）

在△ABC中，由余弦定理〃=a2+c2—2accos8,

屏+c2—加72+32-821

=:--------------------=——<■（）

得cosB=-2ac-2X7X37u

所以B是鈍角，所以△/!以；是鈍角三角形.（10分）

若選②.

（解法1）在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2—2accosB,

得82=7?+/—2X7cX；,化簡得（c—5）（c+3）=0,解得c=5或c=-3（舍去）.（4分）

所以所以B是AABC的最大角.（7分）

因為COSB=3>0,所以B是銳角，

所以AABC不是鈍角三角形.（10分）

（解法2）在△ABC中，因為cosB=",所以sinB=y11-=邛^.

7X逑

在△ABC中，由正弦定理急=前石，得sinA="s；；§=-=乎分）

因為cosB=：>0,所以8是銳角.

又a<b,所以A<B,所以A是銳角.（6分）

因為sinA=^,所以cosA="\/l—si/A.

所以cosC=cos（兀一A—8）=—cos（A+B）=sinAsinB—cosAcos8=坐義^^

~2

x1=H>0,所以C是銳角.

綜上，AABC不是鈍角三角形.（10分）

18.解：（1）設等比數列｛詼｝的公比為q（qW0）,

（解法1）因為S1，S3,S2成等差數列，所以2s3=S1+S2,

所以2（。］+。2+。3）=。|+（。1+。2），

所以。2+2。3=。2+2。24=0.（2分）

因為〃220，所以夕=一3,

7

所以｛?。耐椆綖樗?（一2）"一|.（4分）

（解法2）因為$,S3,S2成等差數列,所以2s3=Sl+S2.

當q=l時，2s3WS1+S2，所以qWl.

,2ai（1—a3）a,（1—02）八

所以---；-4—=?.+—；~~幺—，（2分）

1—q\—q

解得9=一：或q=0（舍去），所以｛〃“｝的通項公式為4"=（一義）"」（4分）

11

1—k(——2)21

(2)由(1)得S.=1X--------=Q)1

L(得)

由S”W3a”,得'力W3T廠,

即（―T<8分）

當"為偶數時,（―1（1）""|<0,舍去.

當〃為奇數時，（一3）"一|=營，

所以〃一1<2,即“W3.

所以使S.W3如成立的n的最大值是3.（12分）

19.（1）證明：在直四棱柱A8CD4山Ci。中，A4i_L平面A8CO,

所以AAiLAD.

又ACA8,所以以｛&,AD,A4i｝為一組基底建立如圖所示的空間直角坐標系AY)Z

因為A3〃8C,AAi=AD=2BC=2,AB=y[2,

所以A(0,0,0),B(y[2,0,0),0(0,2,0),G(5，1,2).(2分)

設F(0,0,h),則礪=(一也,2,0),GF=(一血，一1,h—2).

所以前＞-GF=(一也)X(一鎮(zhèn))+2X(—1)+0*優(yōu)-2)=0,

所以礪±CtF,所以BO，GF.(4分)

(2)解：由(1),設E(0,m,2)(0W/nW2),

則就=(一啦,m,2).

8

設8E與平面ABCD所成角為仇由平面ABCD的一個法向量”=（0,0,1）,

24解得加=3，

得sin0=|cos(BE,〃〉|=

yj()+in25

所以七是棱4。的一個四等分點（靠近點4）.（8分）

如圖，在平面481GG內，連接GE并延長，交向4的延長線于點G,連接BG交A4

于點F.

因為4E〃8iCi，BiG.所以AiG=45.

又ABi=AB,AtG//AB,所以尸為44的中點.（12分）

20.（1）解：因為點也（一2,一坐）,M?2，坐送于原點對稱，所以也，血均在C上.

又琴—|>*一表=1，所以點Mi不在C上.

所以M2，M3,用4在c上.（2分）

f92

_-_-

居

i按-f23

ja-

得

所以

l解l

41b21所以雙曲線C的方程為全一步=1.（4分）

ll-

屆

弘/

⑵證明：①當/與x軸不重合時，設/：x=ty+3.

x=ry+3,

由,x2消x得（戶-3）y2+6/y+6=0.

『產01,

/一3/0,

所以V即

[/=(6/)2—24(F—3)>0,

設P(R,yi),。(及，”)，則A(l,yi),

6/6八

以+”=一^7^，6)'2=^5，(7分)

古鐘4c的七卬為，2一.?ny2-yir.,7I(ty2+2)

直線AQ的萬程為>一力一心_[(x-l)，即>=伏+2[。-1)+v,_),]J.

._6_.2

m,VI(0'2+2)少了2+2)1.-3,3

因為==工=-1,

y2-y\y2~y\—6/

所以直線AQ的方程為y=三誓（X—2）,

?2十'

所以直線AQ過定點（2,0）.（11分）

②當/與x軸重合時，直線AQ過定點（2,0）.

綜上，直線AQ過定點（2,0）.（12分）

21.解：（1）設“恰好在第二次射擊后擊落飛機”為事件A,分兩種情況：

①第一次命中n或m部分，第二次命中I部分的概率為（；+1）x|=卷；

②兩次恰好都命中n部分的概率為Wx|=1,

9

所以P(A)=5+|=(.(4分)

(2)X所有可能的取值為1,2,3,4.(6分)

根據已知，得P(X=1)=(,

P(X=2)=(,

尸(X=3)=l-P(X=l)-P(X=2)-P(X=4)=l—\—J=§,

P(X=4)=C；|X(1)2=；.

所以X的分布列為

X1234

21

P22

6434

(10分)

X的數學期望E(X)=1X*+2X(+3x|+4X(=g.(12分)

n1Y—Q

22.(1)解：凡0的定義域為(0,+°°),/(幻=一/+~=一丁.

①當aWO時，f(x)>0；(2分)

②當4>0時，由/Q)>0,得X>4；由/(X)<O,得0<X<4.

所以當aWO時，.共外在(0,+8)上單調遞增；

當”>0時，?x)在(0，。)上單調遞減，在①，+8)上單調遞增.(4分)

(2)證明：由⑴，不妨設0<即<4<》2冼證xiM〉/.

屋

設F(x)=j[x)一致)(0<x<a),

宗(y—Q)2

則F'(x)=/(x)+m/(以)=一’6—<0,所以F(x)在(0,a)上單調遞減.(6分)

標

因為0<制<“，所以尸(乃)>尸(a)=0,所以)勺3)=/te).

1屋,1

又一,X2e(??+°°),

X1

屋

由(1)得;7―，即彳述2>〃2，得證.(8分)

元]

再證x\X2<at.

(證法1)由⑴知，。是兀r)唯一極小值點，所