2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8講：圖形的變化

2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8講：圖形的變化

1.規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)

規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo).

2.坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

1、點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與這個點(diǎn)的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到x軸的距離與縱

坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距

離求坐標(biāo)時，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?

2、有圖形中一些點(diǎn)的坐標(biāo)求面積時，過已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，

是解決這類問題的基本方法和規(guī)律.

3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補(bǔ)”法去

解決問題.

3.常量與變量

（1）變量和常量的定義：

在一個變化的過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；數(shù)值始終不變的量稱為常量.

（2）方法：

①常量與變量必須存在于同一個變化過程中，判斷一個量是常量還是變量，需要看兩個方

面：一是它是否在一個變化過程中；二是看它在這個變化過程中的取值情況是否發(fā)生變化；

②常量和變量是相對于變化過程而言的.可以互相轉(zhuǎn)化；

③不要認(rèn)為字母就是變量，例如n是常量.

4.函數(shù)值

函數(shù)值是指自變量在取值范圍內(nèi)取某個值時，函數(shù)與之對應(yīng)唯一確定的值.

注意：①當(dāng)已知函數(shù)解析式時，求函數(shù)值就是求代數(shù)式的值；當(dāng)已知函數(shù)解析式，給出函

數(shù)值時，求相應(yīng)的自變量的值就是解方程；

②當(dāng)自變量確定時，函數(shù)值是唯一確定的.但當(dāng)函數(shù)值唯一確定時，對應(yīng)的自變量可以是

多個.

5.函數(shù)的圖象

函數(shù)的圖象定義

對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每一對對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平

面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形就是這個函數(shù)的圖象.

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注意：①函數(shù)圖形上的任意點(diǎn)（x,y）都滿足其函數(shù)的解析式；②滿足解析式的任意一對

x、y的值，所對應(yīng)的點(diǎn)一定在函數(shù)圖象上；③判斷點(diǎn)P（x,y）是否在函數(shù)圖象上的方法

是：將點(diǎn)P（X,的X、夕的值代入函數(shù)的解析式，若能滿足函數(shù)的解析式，這個點(diǎn)就在

函數(shù)的圖象上；如果不滿足函數(shù)的解析式，這個點(diǎn)就不在函數(shù)的圖象上..

6.全等三角形的判定與性質(zhì)

（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔

助線構(gòu)造三角形.

7.等邊三角形的判定與性質(zhì)

（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ),

它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件.同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形,

同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用.

（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成

含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形

等.

（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，?/p>

般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角

形出發(fā)，則想法獲取一個60°的角判定.

8.直角三角形的性質(zhì)

（1）有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形.

（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的

性質(zhì)：

性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）.

性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個銳角互余.

性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.（即直角三角形的外心位于斜邊

的中點(diǎn)）

性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.性質(zhì)5：在直角三角形

中，如果有一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；

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在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30

9.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平

方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為C,那么。2+廬=。2.

（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式。2+%2=02的變形有：a=^c2_b2,6=式項(xiàng)工及c=擰*.

（4）由于『+62=/>/，所以同理c>b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形

中的每一條直角邊.

10.等腰直角三角形

（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.

（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和

直角三角形的所有性質(zhì).即：兩個銳角都是45°,斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，

三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑及，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因?yàn)榈?/p>

腰直角三角形的兩個小角均為45°,高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三

角形，則兩腰相等）；

（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑廠=1,則外接圓的半徑R=&+1,所以r：R=l：

V2+1.

11.矩形的性質(zhì)

（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

（2）矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對角線：矩形的對角線相等；

⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點(diǎn)連線所

在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn).

（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于

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斜邊的一半.

12.正方形的性質(zhì)

（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

（2）正方形的性質(zhì)

①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；

②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角：

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形,

有四條對稱軸.

13.正方形的判定與性質(zhì)

正方形的判定沒有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定.

14.生活中的軸對稱現(xiàn)象

（1）軸對稱的概念：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么

就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，也稱軸對稱；這條直線叫做對稱軸.

（2）軸對稱包含兩層含義：

①有兩個圖形，且這兩個圖形能夠完全重合，即形狀大小完全相同；

②對重合的方式有限制，只能是把它們沿一條直線對折后能夠重合.

15.軸對稱的性質(zhì)

（1）如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

由軸對稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：

①如果兩個圖形的對應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對

稱；

②如果兩個圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線,

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就可以得到這兩個圖形的對稱軸.

（2）軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

16.軸對稱圖形

（1）軸對稱圖形的概念：

如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，

這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱.

（2）軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的

兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合；軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至

無數(shù)條.

（3）常見的軸對稱圖形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等.

17.鏡面對稱

1、鏡面對稱：

有時我們把軸對稱也稱為鏡面（鏡子、鏡像）對稱，如果沿著圖形的對稱軸上放一面鏡子，

那么在鏡子里所放映出來的一半正好把圖補(bǔ)成完整的（和原來的圖形一樣）.

2、鏡面實(shí)質(zhì)上是無數(shù)對對應(yīng)點(diǎn)的對稱，連接對應(yīng)點(diǎn)的線段與鏡面垂直并且被鏡面平分，即

鏡面上有每一對對應(yīng)點(diǎn)的對稱軸.

3、關(guān)于鏡面問題動手實(shí)驗(yàn)是最好的辦法，如手頭沒有鏡面，可以寫在透明紙上，從反面看

到的結(jié)果就是鏡面反射的結(jié)果.

18.關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

（1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：

橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

即點(diǎn)P（x,y）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x,-y）.

（2）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：

橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變.

即點(diǎn)尸（x,y）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-x,y）.

19.坐標(biāo)與圖形變化-對稱

（1）關(guān)于x軸對稱

橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

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(2)關(guān)于y軸對稱

縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).

(3)關(guān)于直線對稱

①關(guān)于直線對稱，P(a,b)nP(2w-a,b)

②關(guān)于直線^="對稱，P(a,b)0P(a,2n-h)

20.作圖-軸對稱變換

幾何圖形都可看做是由點(diǎn)組成，我們在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊

的對稱點(diǎn)開始的，一般的方法是：

①由已知點(diǎn)出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足；

②直線的另一側(cè)，以垂足為一端點(diǎn)，作一條線段使之等于已知點(diǎn)和垂足之間的線段的長，

得到線段的另一端點(diǎn)，即為對稱點(diǎn)；

③連接這些對稱點(diǎn)，就得到原圖形的軸對稱圖形.

21.利用軸對稱設(shè)計圖案

利用軸對稱設(shè)計圖案關(guān)鍵是要熟悉軸對稱的性質(zhì)，利用軸對稱的作圖方法來作圖，通過變換

對稱軸來得到不同的圖案.

22.剪紙問題

一張紙經(jīng)過折和剪的過程，會形成一個軸對稱圖案.解決這類問題要熟知軸對稱圖形的特點(diǎn)，

關(guān)鍵是準(zhǔn)確的找到對稱軸.一般方法是動手操作，拿張紙按照題目的要求剪出圖案，展開即

可得到正確的圖案.

23.軸對稱-最短路線問題

1、最短路線問題

在直線工上的同側(cè)有兩個點(diǎn)/、B,在直線Z,上有到/、8的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以

通過軸對稱來確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線心的對稱點(diǎn)，對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線上

的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn).

2、凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對稱變換來解

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決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn).

24.翻折變換（折疊問題）

1、翻折變換（折疊問題）實(shí)質(zhì)上就是軸對稱變換.

2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，

位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.

3、在解決實(shí)際問題時，對于折疊較為復(fù)雜的問題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找到

圖形間的關(guān)系.

首先清楚折疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件.解題時，我們常常設(shè)要求

的線段長為x,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適

當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案.我們運(yùn)用方程解決時，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)

出正確的未知數(shù).

25.圖形的剪拼

圖形的剪拼.

26.坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)

（1）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

P（x,y）=尸（-x,-y）

（2）旋轉(zhuǎn)圖形的坐標(biāo)

圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo).常

見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°.

27.幾何概率

所謂幾何概型的概率問題，是指具有下列特征的一些隨機(jī)現(xiàn)象的概率問題：設(shè)在空間上有一

區(qū)域G,又區(qū)域g包含在區(qū)域G內(nèi)（如圖），而區(qū)域G與g都是可以度量的（可求面積），

現(xiàn)隨機(jī)地向G內(nèi)投擲一點(diǎn)〃，假設(shè)點(diǎn)"必落在G中，且點(diǎn)〃落在區(qū)域G的任何部分區(qū)域

g內(nèi)的概率只與g的度量（長度、面積、體積等）成正比，而與g的位置和形狀無關(guān).具有

這種性質(zhì)的隨機(jī)試驗(yàn)（擲點(diǎn)），稱為幾何概型.關(guān)于幾何概型的隨機(jī)事件“向區(qū)域G中任意

投擲一個點(diǎn)"，點(diǎn)”落在G內(nèi)的部分區(qū)域g”的概率尸定義為：g的度量與G的度量之比,

即P=g的測度G的測度

簡單來說：求概率時，已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率.計算方法是長度比，面積比,

體積比等.

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28.列表法與樹狀圖法

（1）當(dāng)試驗(yàn)中存在兩個元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時，我們常用列表的方式，列出

所有可能的結(jié)果，再求出概率.

（2）列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果求出〃，再從中選出符合事件/或

8的結(jié)果數(shù)目m,求出概率.

（3）列舉法（樹形圖法）求概率的關(guān)鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果，列表法是一種，但當(dāng)

一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖.

（4）樹形圖列舉法一般是選擇一個元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹的枝丫形

式，最末端的枝丫個數(shù)就是總的可能的結(jié)果〃.

（5）當(dāng)有兩個元素時，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉.

一、選擇題（共10小題）

1.（2022?灤南縣二模）第一次：將點(diǎn)/繞原點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到同；

第二次：作點(diǎn)4關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)4；

第三次：將點(diǎn)4繞原點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到4；

第四次：作點(diǎn)4關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)4；

按照這樣的規(guī)律，點(diǎn)4儂的坐標(biāo)是（）

C.(3,-2)D.(-3,2)

2.（2022?館陶縣二模）如圖是一個鐘表，根據(jù)時針和分針的位置，鐘表中的時間可以是（

)

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B.9:30C.2:30D.12:30

3.（2021?遠(yuǎn)安縣二模）如圖是一個臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示

四個入球孔.若一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多次反射），則該球最后將落

入的球袋是（）

1號袋2號袋

4號袋3號袋

A.1號袋B.2號袋C.3號袋D.4號袋

4.（2021?商河縣校級模擬）如圖，A48c與ADE尸關(guān)于直線MN軸對稱，則以下結(jié)論中錯

誤的是（）

AD

AA

cF

N

A.AB/IDFB.NB=NE

C.AB=DED.所連的線段被MV垂直平分

5.（2021?金華模擬）將一張正方形紙片按如圖步驟，通過折疊得到圖④，在C4,C8上各

取一點(diǎn)連成的虛線，沿該虛線剪去一個角，剩余部分展開鋪平后得到的圖形可能是（）

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A.B.

6.（2021?海淀區(qū)校級模擬）下列圖形中,

7.（2020?長豐縣二模）如圖，矩形/8CD中，AB=4,對角線/C、8。交于點(diǎn)O,

ZAOD=\20°,E為8。上任意點(diǎn)，尸為ZE中點(diǎn)，則尸。+尸8的最小值為（）

A.25B.2+V3C.5D.3百

8.（2020?新都區(qū)模擬）平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（a,3）在第二象限，則點(diǎn)P關(guān)于直線機(jī)

（直線m上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是2）對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.（―Q,3）B.（〃,—3）C.（―Q+2,3）D.（―a+4,3）

9.（2020?南昌縣模擬）如圖所示的方格紙，己有兩個小正方形被涂黑，再將圖中其余小正

方形涂黑一個，使整個被涂黑的圖案構(gòu)成一個軸對稱圖形，那么涂法共有（）種.

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A.6B.5C.4D.3

10.（2019?常州模擬）點(diǎn)M（l,2）關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（-1,2）B.（-1,-2）C.（1,-2）D.（2,-1）

二、填空題（共5小題）

11.（2022?溫州一模）某電梯中一面鏡子正對樓層顯示屏，顯示屏中顯示的是電梯所在樓層

號和電梯運(yùn)行方向.當(dāng)電梯中鏡子如圖顯示時，電梯所在樓層號為一.

12.（2022?花溪區(qū)模擬）圖中陰影部分是由4個完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②,

③，④四個區(qū)域中的某個區(qū)域處添加一個同樣的正方形，使它與陰影部分組成的新圖形是軸

對稱圖形，則這個正方形應(yīng)該添加在區(qū)域—.（填序號）

13.（2021?江都區(qū)校級模擬）如圖，在RtAABC中，ZBAC=90°,ADLBC,垂足為。，

A4DB與A/I。*關(guān)于直線對稱，點(diǎn)8的對稱點(diǎn)是點(diǎn)若NC/B，=14。，則的度數(shù)

為

14.（2020?薛城區(qū)模擬）如圖，在矩形Z8C。中，48=8,8C=4,一發(fā)光電子開始置于4?

邊的點(diǎn)尸處，并設(shè)定此時為發(fā)光電子第一次與矩形的邊碰撞，將發(fā)光電子沿著尸R方向發(fā)射,

碰撞到矩形的邊時均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45。，當(dāng)發(fā)光電子與矩形的邊

碰撞2020次后，它與AB邊的碰撞次數(shù)是.

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15.（2014?射陽縣三模）已知點(diǎn)尸5+1,2a-3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在第一象限，則a的取值范

圍是一.

三、解答題（共7小題）

16.（2022?蘭州模擬）如圖1,在RtAABC中，NNCB=90。，AC=8cm,BC=6cm,點(diǎn)、D

為上的一定點(diǎn)，AD=2cm./C上有一動點(diǎn)￡,點(diǎn)尸為4E的中點(diǎn)，連接尸。，過點(diǎn)￡

作EG//ED,交N8于點(diǎn)G,設(shè)C,E兩點(diǎn)間的距離為xCVM（Q.x<8）,E,G兩點(diǎn)間的距

離為ycm.

小軍嘗試結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對因變量y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行探究，下面

是小軍的探究過程，請補(bǔ)充完整.

（1）列表：下表的已知數(shù)據(jù)是根據(jù)C,E兩點(diǎn)間的距離x進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測量，分別得

（2）描點(diǎn)、連線：在平面直角坐標(biāo)系xQv中，描出表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn)（x,y）,并畫

出函數(shù)y關(guān)于x的圖象；

（3）探究性質(zhì)：結(jié)合函數(shù)圖象，下列關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的描述正確的是—；（填寫序號）

①隨著自變量x的不斷增大，函數(shù)值y先不斷減小，然后不斷增大；

②該函數(shù)的圖象是軸對稱圖形；

③當(dāng)x=0時，'的值最小.

（4）解決問題：當(dāng)。尸=CE時，EG的長度大約是a”.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

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17.(2022?碑林區(qū)校級模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知A/JBC三

個定點(diǎn)坐標(biāo)分別為4-4,1),8(-3,3),C(-l,2).

(1)畫出MBC關(guān)于x軸對稱的4Z4G,點(diǎn)/,B,C的對稱點(diǎn)分別是點(diǎn)％、用、G,

直接寫出點(diǎn)4，B,,G的坐標(biāo)：4(,)，用(，)，C,(

)；

(2)畫出點(diǎn)C關(guān)于夕軸的對稱點(diǎn)C2,連接GCz，CC”C.C,并直接寫出的面積

是