理論力學(xué)第三章 剛體力學(xué)3

§3.5剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)1、運(yùn)動(dòng)分析：（1）剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)可以看成是任一瞬時(shí)軸的“定”軸轉(zhuǎn)動(dòng)。常平架在工程與生活中經(jīng)?？梢杂龅酱祟?lèi)運(yùn)動(dòng)雷達(dá)跟蹤天線(xiàn)陀螺儀中的轉(zhuǎn)子行星齒輪系中動(dòng)錐齒輪玩具陀螺等（2）自由度S=3（4）本體極面，空間極面空間極面：轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸在空間(固定坐標(biāo)系中)描繪的曲面。本體極面：轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸在剛體內(nèi)(動(dòng)坐標(biāo)系中)描繪的曲面。（3）運(yùn)動(dòng)學(xué)方程潘索定理：本體極面在空間極面上作純滾動(dòng)2、速度，加速度(1)速度：(2)加速度：(3)剛體作一般運(yùn)動(dòng)時(shí)，將運(yùn)動(dòng)分解為剛體隨基點(diǎn)A的平動(dòng)＋剛體繞基點(diǎn)A的“定點(diǎn)”轉(zhuǎn)動(dòng)，則剛體上任一點(diǎn)P的速度為加速度為3、剛體繞兩相交軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合成

剛體繞某點(diǎn)O作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，相當(dāng)于剛體繞某軸作“定軸”轉(zhuǎn)動(dòng)，而該軸又繞另一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，這兩個(gè)軸相交于O點(diǎn)。

結(jié)論：當(dāng)剛體繞兩個(gè)相交軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的瞬時(shí)角速度等于它分別繞這兩個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的矢量和?！纠?】半徑為R的圓盤(pán)以不變的角速度繞水平軸AB轉(zhuǎn)動(dòng)，而軸AB又以不變的角速度繞豎直軸CD轉(zhuǎn)動(dòng)，求圓盤(pán)水平直徑一端M點(diǎn)的速度和加速度。解：建立平面轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系oxyz0【例10】高為h，頂角為2α的圓錐在一平面上滾動(dòng)而不滑動(dòng)，如已知此錐以勻角速度ω繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求圓錐底面上A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)加速度a1和向軸加速度a2的量值。解:分析1、在圓錐上建立o-xyz坐標(biāo)系，母線(xiàn)與ox重合，與圓錐一起運(yùn)動(dòng)。2、求3、求（轉(zhuǎn)動(dòng)加速度）3、求（向軸加速度）【例11】角A剛體的一般運(yùn)動(dòng)【例12】§3.6歐拉角

OyxN§3.7轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩設(shè)為剛體上任一質(zhì)點(diǎn)，該質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)o的動(dòng)量矩為整個(gè)剛體對(duì)同一點(diǎn)o的動(dòng)量矩為(1)ozxy動(dòng)坐標(biāo)系oxyz下面求動(dòng)量矩的分量表達(dá)式其中，物理意義？二、定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的物理量。1、對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的大小用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量描述，其定義為：回轉(zhuǎn)半徑即轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離平方乘積之和。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由剛體的質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸位置決定。剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等效質(zhì)點(diǎn)對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平行軸定理

敘述：剛體對(duì)某一軸線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于對(duì)通過(guò)質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體的質(zhì)量與兩軸間垂直距離平方的乘積。常用到的結(jié)果：

半徑為R的均質(zhì)圓盤(pán)繞過(guò)圓心且垂直圓面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是：

長(zhǎng)為的均質(zhì)細(xì)桿繞過(guò)中心且與桿垂直的軸線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：其中叫做軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，叫做慣量積2、對(duì)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的大小，由于轉(zhuǎn)軸的方向不斷變化，要用一個(gè)張量才能描述。和oxyzxyzP(dm)注意：若選動(dòng)坐標(biāo)系系，慣量系數(shù)均為常數(shù)(2)慣量橢球－用幾何方法求剛體對(duì)某瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ozxyQQ點(diǎn)的坐標(biāo)為：代入**得表示為矩陣形式：**橢球面方程中心慣量橢球：剛體的質(zhì)心(或重心)在O點(diǎn)計(jì)算出剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用幾何方法計(jì)算剛體對(duì)某瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如下：若已知橢球面方程，在動(dòng)系oxyz中描出橢球面，某瞬時(shí)軸與橢球面的交點(diǎn)Q到O點(diǎn)的距離即為R，再根據(jù)zoxyQ(3)慣量主軸及其求法(適當(dāng)選擇坐標(biāo)系消去慣量積)

慣量主軸：使慣量積為零的坐標(biāo)系(慣量橢球的三條相互垂直的主軸)則橢球面方程變?yōu)椋哼@里

主慣量－剛體對(duì)慣量主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量注意：1、剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，總有三個(gè)慣量主軸存在，且互相垂直；

2、過(guò)質(zhì)心的三個(gè)慣量主軸叫中心慣量主軸。

慣量主軸坐標(biāo)系中的若干物理量的簡(jiǎn)化表達(dá)式慣量張量：動(dòng)量矩：動(dòng)能：

慣量主軸的求法(均質(zhì)剛體)

幾何對(duì)稱(chēng)軸是慣量主軸幾何對(duì)稱(chēng)面的垂線(xiàn)是慣量主軸oxzy舉例：半徑為r，高為h的均勻圓柱體證明：(1)幾何對(duì)稱(chēng)軸是慣量主軸取z軸為對(duì)稱(chēng)軸，z軸為慣量主軸(2)幾何對(duì)稱(chēng)軸的垂線(xiàn)是慣量主軸取對(duì)稱(chēng)面oyz，x軸為慣量主軸若分別取對(duì)稱(chēng)面oxy和對(duì)稱(chēng)面oxz，同理可證得相應(yīng)的垂線(xiàn)z軸和y軸均為慣量主軸。oxzy說(shuō)明：(1)若，則為旋轉(zhuǎn)橢球，則在xy平面內(nèi)的各軸都是主軸；

(2)若，橢球變?yōu)榍蝮w，所有通過(guò)O點(diǎn)的軸都是主軸?！纠?3】均勻長(zhǎng)方形薄片的邊長(zhǎng)為與，質(zhì)量為，求此長(zhǎng)方形薄片繞其對(duì)角線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)薄片的厚度為t,密度為(1)其中，(2)將(2)式代入(1)式得xyo解：方法一直接用定積分計(jì)算動(dòng)坐標(biāo)系oxyz得方法二利用計(jì)算xyo得方法三取慣量主軸為坐標(biāo)軸xyo得結(jié)論：取慣量主軸為坐標(biāo)軸來(lái)計(jì)算薄片繞對(duì)角線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最簡(jiǎn)便。由剛體對(duì)定點(diǎn)o的動(dòng)量矩定理(1)建立剛聯(lián)于剛體的慣量主軸坐標(biāo)系oxyz(2)(3)其中，(4)§3.8剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)將(3),(4)代人(1)得歐拉動(dòng)力學(xué)方程聯(lián)合歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(5)(6)聯(lián)立方程(5),(6)消去得到關(guān)于的二階常微分方程，求解三個(gè)微分方程的剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，從而確定剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的機(jī)械能守恒選慣量主軸坐標(biāo)系作業(yè)-5定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)P1773.20；3.22；3.23（選作）1、剛體的各種運(yùn)動(dòng)第三章小結(jié)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)：1）剛體的質(zhì)心始終位于同一個(gè)平面上。2）剛體內(nèi)垂直于固定平面的直線(xiàn)上各點(diǎn)具有完全相同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。3）剛體內(nèi)平行于固定平面的各平面有相同的運(yùn)動(dòng)特征。

三個(gè)自由度兩個(gè)平動(dòng)自由度一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度只須研究質(zhì)心所在平面的運(yùn)動(dòng):質(zhì)心運(yùn)動(dòng)+繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)12、平面平行運(yùn)動(dòng)a.運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

如圖所示，取質(zhì)心所在的平面為研究對(duì)象，任取一點(diǎn)A為基點(diǎn)（一般取質(zhì)心）。則P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)隨基點(diǎn)A平動(dòng)繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)基點(diǎn)A可以任意取基點(diǎn)A的平動(dòng)量（）因基點(diǎn)而異；繞基點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動(dòng)的角量（）都相同。b.剛體上任一點(diǎn)P的速度和加速度

剛體