中考數(shù)學銳角三角函數(shù)綜合練習題及答案解析

中考數(shù)學銳角三角函數(shù)綜合練習題及答案解析一、銳三角函數(shù)1．如圖，山坡上有一棵樹AB，底部B點山腳點距離BC為6米山坡的坡角為．寧在山的平地F處量這棵樹的高，點C到角儀EF的水平距離CF=1米從處測得樹頂部A的仰角為45°，底部B的角為20°，樹AB的度．（參考數(shù)值：，cos20°，）【答案6.4米【解析】解：底點山腳C點距離BC為63米山坡的坡角30°DC=BC?cos30°=

3

米CF=1米DC=9+1=10米，米AEG=45°米在直角三角形中?tan20°=10×0.36=3.6米AB=AG-BG=10-3.6=6.4米答：樹高約為6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的長，然后求得DF的長，進而求得GF的長，然后在直角三角形BGF中可得BG的，從而求得樹高2．已知在平面直角坐標系中，點

，以線段

為直徑作圓，圓心為E，直

交

eE

于點D，接.（）證：直O(jiān)D是

eE

的切線；（）F為軸上任意一點，連接

交

eE

于點

G

，連接

BG

：①當

tan

時，求所有F點的坐標（直接出）；②求

的最大值

【答案】（）解析；2）

,0

，F(xiàn)(5,0)

；的大值為.CF【解析】【分析】（）接DE，明EDO=90°即；（）分“位AB上和F位于的長上結相三角形進行求解即可；②作GM于，證明

1

，得

BG1CF

，從而得解【詳解】（）明：連DE，：BC為徑

9090OAOBODOBOAEBEDEBDEBDODB即：EBOEDO

CB

軸

EBO直O(jiān)D為的切線（）如圖，當F位于AB時：ABC1

AFABBCAC設

，則NF4x1

1即1即

xFx，得：xx7AF

,0如圖，F(xiàn)位BA延長線上時：~ABC2設

AM

，則MF,AF2

CMCAAM10tanACF

FMx1210x7解得：

AF22即F(5,0)

②如，作GM

于點M

，

是直徑

~CGBMGCF

MG

半徑

41CF8的最大值為.CF【點睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性質和相似比計算線段的長；理解坐標與圖形性質；會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．3．已知：如圖，在四邊形ABCD中AB，，AB=10cm，，直平分A．點從點B出發(fā)，沿方勻速運動，速度為1cm/s；時，點Q從出發(fā)，沿DC方向勻速運動，速度為1cm/s；一個點停止運動，另一個點也停止運動．過點

四邊形OPEGOEG四邊形OPEGOEGOEGeq\o\ac(△,)OPCPCEeq\o\ac(△,)OECP作AB，交BC于，點作QF，分別交ADOD于，G連接OP，．運動時間為ts)（t＜，答下列問題：（）t為值時，點在

的分上？（）四邊形PEGO的積為2)，求S與t的數(shù)關系式；（）運動過中，是否存在某一時刻，四邊形PEGO的積大？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（）接，，運動過程中，是否存在某一時刻，使？存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】（）t=；（）

四邊P

t2

t，

；（）

t

時，四邊PEGO

取得最大值；（）

t

時，OEOQ.【解析】【分析】（）點在BAC的平分線上時，因為AB，AC，可得，此構建方程即可解決問題．（）據(jù)=S

=S++S）構建函數(shù)關系式即可．（）用二次數(shù)的性質解決問題即可．（）明EOC=，得EOC=tan，出可解決問題．【詳解】（）eq\o\ac(△,)ABC中，ACB=90°，AB=10cm，，

ECOC

，由此構建方程即

10

=6（）OD垂平分線段，OC=OA=3（），DOC=90°，CDABDCO，ACB，DOC，

ABBCOD

，

+（）+（）

CDOD

，CD=5（cm），（），，AB易知：

，，當點BAC的分線上時，EPAB，AC，PE=EC，

5t=8-，t=4．當為4秒時，點E在BAC的分線上．（）圖，連，．S

四

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)OPCeq\o\ac(△,)OEC=

4153188ttt522=

t2

t

．（）在．

St5)，3t=

時，四邊形的面積最大，最大值為．（）在．如，連接．OEOQ，EOC+，，EOC=QOG

44t44t

ECOC

，58tt35

，整理得5t，解得

t

或10舍棄）當

秒時，OQ．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數(shù)，多邊形的面積等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問.4．小紅將筆記本電腦水平放置在桌子，顯示屏OB與板OA所在水平線的夾角為時，感覺最舒適（如圖），側面示意圖為圖；使用時為了散熱，她在底板下面墊入散熱架＇后，電腦轉到AO＇＇置（如圖3）側面示意圖為圖．知，＇OA于CO＇．（）求CAO＇的度數(shù)．（）示屏的部＇原來升高了多少？（）圖4，入散熱架后要使顯示屏OB＇水平線的夾角仍保持，顯示屏＇＇繞點O＇順時針方向轉多少度？【答案】（）CAO′=30°；2）36﹣12

）；）顯示屏′B應點O按時針方向旋轉30°．【解析】試題分析：1）過解直角三角形即可得到結果；（）點作AO交的延長線于D，過解直角三角形求得BD=OBsin=12

，由C、O、三點共線可得結果；（）示屏′B應點O按時針方向旋30°，得EO′B′A=30°，是示屏O′B應繞點按時針方向旋轉．

試題解析：1）O于，，，sin′=；（）點作AO交的延長線于DsinAOB=120°，，BOD=24×′=30°，，′C=60°，′B′=120°，AOAO′C=180°，′B′+O﹣﹣=36﹣）；顯屏的頂部比原來升高了﹣（）示屏′B應點O按時針方向旋30°，理由：顯屏′B與平線的夾角仍保持EO，，′B，EOFO，顯屏′B應點按順時針方向旋轉．

=12

，BD=OBsinBOD，，O考點：解直角三角形的應用；旋轉的性質．5．已知eq\o\ac(△,Rt)中，是O的弦，斜邊AC交O于D且AD=DC，延長O于點．

（）的、、、、五點中，是否存在某兩點間的距離等于線段CE的？請說明理由；（）圖2，點作的切線，交AC的長線于點．①若CF=CD時求CAB的值；②若CF=aCD（＞），試猜想CAB的．（用含a的數(shù)式表示，直接寫出結果）【答案】（）；（）①

；

．【解析】試題分析：1）接AE、，圖，根據(jù)圓周角定理可ADE=ABE=90°，于AD=DC，據(jù)垂直平分線的性質可得AE=CE；（）接AE、，圖，由ABE=90°得AE是O的徑，根據(jù)切線的性質可得AEF=90°，而可證eq\o\ac(△,)ADE△AEF，后運用相似三角形的性質可得

．①當時，可得

，從而有

CD，在eq\o\ac(△,)DEC中用三角函數(shù)可得CED=

，根據(jù)圓周角定理可CAB=，可求出sinCAB的；當CF=aCDa＞），同即可解決問題．試題解析：1）．由：連接AE、，圖1，，ABE=90ADE=，，AE=CE（）接AE、，圖，ABE=90°AE是O的徑EF是的切線，AEF=90°，ADE=，DAE=EAFAEF，

，?AF．①當CF=CD時，，

=DC?3DC=

，DCEC=AE，EC=DC，sinCAB=sinCED==

=

；

②當CF=aCD（＞），

．CF=aCD，，（）CD，

=DC（a+2）（），AE=DC，EC=AE，EC=sin∠

=

，．考點：．的合題2探究型．存在型．6．如圖，在eq\o\ac(△,)中，，，BC=16cm，AD是斜邊BC上的高，垂足為，BE=1cm．M從B出沿BC方以1cm/s的速度運動，點N從點出發(fā)，與點同時同方向以相同的速度運動，以為在BC的上方作正方形．到點時停止運動，點到達點時停止運動．設運動時間為（）．（）為值時，點剛落在線段AD上？（）正方形MNGH與eq\o\ac(△,)ABC重疊部分的圖形的面積為，當重疊部分的圖形是正方形時，求出關的數(shù)關系式并寫出自變量的值范圍．（）正方形MNGH的邊NG所在直線與線段AC交點P，接，為何值時，CPD是腰三角形？【答案】（）；（）

；3）或（15﹣

）【解析】試題分析：1）出ED的距離即可求出相對應的時間t.

（）求出的值范圍，分為H在AB上時，此時BM的距離，進而求出相應的時間．同樣當在AC上時，求出MN的長度，繼而算出EN的長度即可求出時間，再通過正方形的面積公式求出正方形的面.（）和DC=PC兩情，分別由的長度便可求出t的值．試題解析：BAC=90°，B=60°，BC=16cm，，，，AD=4cm.（）當G剛好落在線段AD上，BE=3cmt=s=3s．（）當MH沒有到達AD時，此時正方形MNGH是長為1的正方形，令H點AB上，則HMB=90°B=60°，BM=cm.t=s.當?shù)竭_AD時那么此時的正方形MNGH的長隨著點繼續(xù)運動而增大，令G點在AC上，設，，AH=，x+x=x=4．當≤t≤4時S2．當4＜時，=（﹣）cm2S關的函數(shù)關系式為：

x，

.（）兩種情：①當DP=PC時易知此時點DC的中點∴t=9s故當t=9s的候eq\o\ac(△,)CPD為等腰三角形；②當DC=PC時DC=PC=12cmEN=16cm﹣﹣

cm=﹣

）t=（﹣故當t=（﹣

））時eq\o\ac(△,)CPD為腰角形．綜上所述，當t=9s或（6

）時eq\o\ac(△,)CPD為等腰角形．考點：雙動點題；2.銳角三角函數(shù)定義特角的三角函數(shù)值正形性質；

由實際問題列函數(shù)關系式6.等腰三角形的性質7.分類思想的應用7．如圖，矩形中A(60)C(0，3)、33)射線l過點且軸平行，點P、Q分別是和x軸的正半軸上的動點，滿足＝．(1)點B的坐標是，CAO＝

o，當點Q與重時，點P的標為；(2)設的坐標為eq\o\ac(△,，)與形OABC疊部分的面積為S，試求S與x的函數(shù)關系式和相應的自變量的值范圍．【答案】（）6，．30．，）2）

x

33xx332xx

3x

【解析】解：（）（62．30．（，）（）0≤x時，如圖，OI=x，，；

22由題意可知直線BC，可得

EFPEDC，EF=3+x，OQPODO333此時重疊部分是梯形，其面積為：S梯形EFQO

4EFOQ3x當3＜≤5時，如圖，1梯形EFQOHAQ梯形EFQO

43313x3xx2x。3232當5＜≤9時，如圖，1（OAx）2=

23

x。當x＞時，如圖，S

1OA2

．

綜上所述，與x的數(shù)關系式為：

x

33xx332xx3x

．（）由四邊形OABC是形，根據(jù)矩形的性質，即可求得點的標：四形是矩形，，A（6，0）、（，

3）點的標為：6，）②由切函數(shù)，即可求的數(shù)：

CAO

33=OA

，CAO=30°．③由角函數(shù)的性質，即可求得點P的標；如圖：當點Q與點A重時，過點作PE于E，（，

3，PE=3．

．OE=OAAE=6﹣，點P的坐標為（，

3）．（）別從當0≤x≤3時當3＜≤5時當5＜≤9時當＞時分析求解即可求得答案．8．如圖eq\o\ac(△,以)的一邊AB為直徑O，O與BC邊的交點恰為BC的點，過點D作的切線交AC邊點F.（）證：AC；

22（）若ABC=30°，的值【答案】證見解析(2)

.【解析】試題分析：1）接OD，據(jù)三角形的中位線定理可求出OD，根據(jù)切線的性質可證明DE，而得證．（）作OFBD，根據(jù)等腰三形的性質及三角函數(shù)的定義用OB表出、的長，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解．試題解析：證明連DE為O的切線ODDE為AB中點D為BC的中點OD‖ACDE(2)過O作OF則在eq\o\ac(△,)BFO中ABC=30°

OB

,BF=BD=DC,BF=FD，3FC=3BF=OB在eq\o\ac(△,)OFC中

1OBOFFC33OB2

39

.點睛：此題主要考查了三角形中位線定理及切線的性質與判定、三角函數(shù)的定義等知識點，有一定的綜合性，根據(jù)已知得出OF=

3，OB，是解題關2鍵．9．如圖，是O的徑E是O上一點，在的延長線上，ADCE交CE的長線于點，平分DAC（）證：是O的線；（）＝，＝60°，的長．

【答案】（）見解析；2

【解析】【分析】（）用角平線的性質得OAE，再利用半徑相等得AEO＝OAE等量代換即可推出OE，可解題，（）根據(jù)30°的三角函數(shù)值分別在eq\o\ac(△,)ABE中，AE＝AB·cos30°，在eq\o\ac(△,)中，AD=cos30°×AE即解題.【詳解】證明：如圖，連接，AE平，OAE＝DAE．OA＝，＝OAE．＝．OE．DCAC，OE．CD是O的切線．（）：AB是徑，＝ABE＝．＝30°在eq\o\ac(△,)ABE中，AE＝cos30°=6×

=，在eq\o\ac(△,)ADE中＝＝，

×.【點睛】本題考查了特殊的三角函數(shù)值的應用，切線的證明，中等難度，利用特殊的三角函數(shù)表示出所求線段是解題關.10．米秒千/小時60千?。塑嚦^限制速度．分

11．知拋物線＝

2x﹣x+2與x軸于點AB兩，交軸于點拋物線的對3稱軸與x軸交于H點分別以、OA為作矩形AECO．(1)求線AC的析式；(2)如，為直線AC上方拋物線上的任意一點，在對稱軸上有一動點，當四邊形AOCP面積最大時，求﹣的值．(3)如，eq\o\ac(△,)沿線AC翻折eq\o\ac(△,)ACD，eq\o\ac(△,)沿直線平eq\o\ac(△,)A'C．得點、在直線AC上是否存在這樣的點D，使eq\o\ac(△,)′ED為角三角形？存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】＝

+2點M坐為（﹣，），四邊形的面積最大，此時|PMOM有大值

；(3)存在，′坐標為：4）或（6，）（

，）．5【解析】【分析】（）x＝，則y2，＝，x＝或﹣，出點A、、坐，即可求解；（）接交稱軸于點，此時|PM﹣有大值，即可求解；（）在；分′D′A；AD′；ED′′三種情況利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】（）x＝，則y2，＝，x＝或﹣，（6，）B20）、（，2），函數(shù)對稱軸為：＝﹣2，點坐標為（﹣，

），點坐標為（，，則過點C的直線表達式為＝，將點A坐標代入上式，解得

，則：直線AC的表達式為：y

+2（）圖，過作x軸的垂線交于點H．

四邊形面eq\o\ac(△,)的積eq\o\ac(△,+)eq\o\ac(△,)ACP的積，四邊形AOCP面最時，只需eq\o\ac(△,)ACP的面積最大即可，設點P坐標為m，

2m2m+2），則G坐標為mm），3S

ACP

PG?（m2+2m﹣）m﹣m，當＝3時上式62取得最大值，則點P坐為（﹣3

）．連接交稱軸于點M，此時，﹣|最大值，直線的表達式為y

5，當x﹣時，y，：點坐為（﹣，

），PM﹣|的大值為：

(2))

2

=．（）在．AE，＝ADC＝，＝，≌DCM），＝DM，＝，設：EM＝，則：MC＝﹣．eq\o\ac(△,)DCM中由勾股定理得：MC＝DC+MD，：6﹣）2＝

2a2，解得：

，則：MC，點D作x軸的垂線交x軸于點N，EC于．eq\o\ac(△,)中

10DH?MCMD?，即：23

2，則：DH

6，，：點D的坐標為（，55

）；設eq\o\ac(△,)沿直線AC平了m個單位，則：點坐（6

，1010

），點D坐標為（

63m18，510

），而點坐為（﹣，），則

====+====+'D'

=

)5

=36，A

=

(

mm)22m101010

，

=

(

243m32m128))2m510510105

．eq\o\ac(△,)′ED為直角三角形，分三種情況討論：①當A'D'2

+AE2=

時，36+

2

432m128210

10，解得m=，此時D（

618m，510510

）為（，；②當A'D'2+ED='2時，

m

32m128mm10510

，解得：m=

，此時（

618m，510510

）為（－，2）；③當A'E

+

=

'D'

時，

2

432m128210

=36，得m=

或=

，此時（

618m，510510

19）為（－6，）（-，）．5綜上所述：坐為：（，）或（62）（

，）．5【點睛】本題考查了二次函數(shù)知識綜合運用，涉及到一次函數(shù)、圖形平移、解直角三角形等知識，其中（）圖是本題難點，其核心是確定平移后A′、的坐標，本題難度較大．12．知：如圖，直線y＝－＋分別交軸軸于、點，eq\o\ac(△,)折，使A點恰好落在OB的中點C處折痕為．(1)求AE的及的值；(2)eq\o\ac(△,)的積【答案】（）

，BEC=

；（）【解析】【分析】（）圖，作BE于點，由函數(shù)解析式可得點B，點A坐，繼而可得

A=，根據(jù)中點的定義以及等腰直角三角形的性質可得OC=BC=6，CF=BF=32，設AE=CE=x，EF=AB-BF-AE=12

2-3

2-x=9

2，eq\o\ac(△,)CEF中利用勾股定理求出x的值即可求得答案；（）圖，過E作OA于點，根據(jù)三角形面積公式則可得eq\o\ac(△,)

=

AD×AE，AD=y，則CD=y，，eq\o\ac(△,)OCD中利用勾股定理求出，而可求得答案.【詳解】（）圖，作BE于點，由函數(shù)解析式可得點（，）點A（0）A=，又點C是OB中，OC=BC=6，CF=BF=32，設AE=CE=x，EF=AB-BF-AE=12

2-3

2-x=9

2，在eq\o\ac(△,)CEF中，

+EF，x=（）+（），，解得：故可得BEC=

CFCE5

，；（）圖，過E作OA于點，則

eq\o\ac(△,)CDE

=

1AD?AE×sin45°=AD×AE，24設，CD=y，，在eq\o\ac(△,)OCD中OC2+OD，即2），解得：

，即AD=，

故

eq\o\ac(△,)CDE

=

AD×AE=．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，涉及了勾股定理、折疊的性質、三角形面積、一次函數(shù)的性質等知識，綜合性較強，正確添加輔助線、熟練應用相關知識是解題的關.13．知eq\o\ac(△,)ABC，＝90°點D是BC中點AD＝ACBC＝，A，兩點作O交于點，（）弦的長；（）圖1，圓心在上點O上動點，連接DM交AB于，求當ON等于多少時，三點、、組成的三角形是等腰三角形？（）圖2，圓心不AB上動O與DB相于點Q時過D作（垂足為）交O于，問：O變動時DP﹣DQ的變不變？若不變，請求出其值；若變化，請說明理由．【答案】（）（）ON等1或3﹣時，三點、EM組的三角形是等腰三角形（）變，理見解析【解析】【分析】（）據(jù)直角角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到AD的長；（）DE、，得當ED和EM為等腰三角形EDM的腰，根據(jù)垂徑定理得論得OEDM，易得eq\o\ac(△,)為邊三角形，CAD=60°，DAO=30°，，后3根據(jù)含30°的角三角形三邊的關系得AD=，；當MD=ME，為底邊，作DH，由于3，DAE=30°，到DH=，DEA=60°，，于是OE=DE=2，，又M=，MD=ME得到MDE=75°，則ADM=90°-75°=15°，可得到DNO=45°根據(jù)等腰直角三角形的性質得到3則

-1；（）AP、，，得DP則PDB=，根據(jù)圓周角定理得PDB，AQC=P，則PAQ=60°，CAQ=易證eq\o\ac(△,)AQC，到則DP-DQ=CQ-DQ=CD，eq\o\ac(△,)為邊角形CD=AD=2即可得到DP-DQ的值．

【詳解】解：（）＝，點是BC中點，43，＝

BC2；（）DE、，圖，DM，當ED和為腰三角形的兩腰，OE，又＝，ADC為等邊三角形，＝，＝30°，＝，在eq\o\ac(△,)ADN中＝

＝，在eq\o\ac(△,)ODN中＝

＝，當ON等于時三點、、組的三角形是等腰三角形；當MD＝，為邊，如圖3，DHAE，＝

3，＝，＝3，DEA＝，＝，ODE為等邊三角形，OE＝＝，＝，＝＝30°而MD＝，＝，ADM＝﹣75°，＝，為腰直角三角形，＝＝，ON＝3﹣；綜上所述，當ON等1或3﹣時，三點、E、組成的三角形是等腰三角形；（）當O變時DP﹣的值不變，﹣DQ＝3．由如下：連AP、，如圖，C＝CAD＝，而DPAB，DP，PDB＝C＝，

又＝，＝，＝，＝ADAQC＝P，APD，DPCQ，DPDQ＝﹣＝＝2

．【點睛】本題考查了垂徑定理和圓周角定理：平分弧的直徑垂直弧所對的弦；在同圓和等圓中，相等的弧所對的圓周角相等．也考查了等腰三角形的性質以及含的角三角形三邊的關系．14．eq\o\ac(△,)ABC中，＝，是AB邊中線，BC于E，結，點P在線CB上與B，不重合）（）果＝30°，①如1，等多少度；②如2，在段CB上，連結，將線段DP繞D逆針旋轉60°，得到線段，連結BF，全圖猜想CP、之的數(shù)量關系，并明你的結論；（）圖3，點P在線段CB的長線上，且＝（＜＜）連結DP，將線段DP繞點逆針旋轉2α得線段，連結，請直寫出DE、、三的數(shù)量