中考總復(fù)習(xí)全等三角形-知識(shí)點(diǎn)講解與典型例題解析

中考總復(fù)習(xí)：等三角—知識(shí)講解【考綱求1.掌握全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對應(yīng)元素；2．索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式；3.善于發(fā)現(xiàn)和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對頂角等，靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚€(gè)三角形全等【知識(shí)絡(luò)【考點(diǎn)理考點(diǎn)一基概念1.等三角的定義夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.2.全等三形的性（1）全等三角形對應(yīng)邊相等；（2）全等三角形對應(yīng)角相等要點(diǎn)詮：

全等三角形的周長、面積相等；對應(yīng)的高線，中線，角平分線相等.3.全等三形的判方法（1）三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等SSS)；（2）兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（）兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS)；（4）兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等SAS)；）斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL).考點(diǎn)二靈運(yùn)用定三角形全等是證明線段相等，角相等的最基本、最常用的方法，這不僅因?yàn)槿热切斡泻芏嘀匾慕窍嗟?、線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)系起來．應(yīng)用三角形全等的判別方法注意以下幾點(diǎn)：1.條件足時(shí)直應(yīng)用判定理要點(diǎn)詮：在明與線段或角相等的有關(guān)問題時(shí)，常常需要先證明線段或角所在的兩個(gè)三角形全等.這種情況證明兩個(gè)三角形全等的條件比較充分，只要認(rèn)真觀察圖形，結(jié)合已知條件分析尋找兩個(gè)三角形全等的條件即可證明兩個(gè)三角形全等．

2.條件足，會(huì)加條件判定定要點(diǎn)詮：此問題實(shí)際是指條件開放題，即指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補(bǔ)充三角形全等的條件．解這類問題的基本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，即從求證入手，逐步分析，探索結(jié)論成立的條件，從而得出答案．3.條件較隱蔽，可通添加輔線用判定理要點(diǎn)詮：在明兩個(gè)三角形全等時(shí)，當(dāng)邊或角的關(guān)系不明顯時(shí)，可通過添加輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關(guān)系，使條件由隱變顯，從而順利運(yùn)用全等三角形的判別方法證明兩個(gè)三角形全等．常見的種助線添：①遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折②遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等構(gòu)造全等三角形利用的思維模式是全等變換中“旋轉(zhuǎn)③遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理；④過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊⑤截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段

與特定線段相等或是將某條線段延長使之與特定線段相等用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明作法，適合于證明線段的和、差、倍、分之類的題目．【典型題類型一全三角形1．如圖別是△ABC邊AB的高，P在延長線上BP=AC，QCQ=AB．證：（1）AP=AQ⊥AQ．【思路點(diǎn)撥題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題．【答案與解析】證

明：（1）∵BD、CE別是△ABC邊AB上的高，∴，∠2+∠CAE=90°．

∴∠1=∠2,∵在△AQC△PAB，∴△AQC≌．∴AP=AQ.(2)∵AP=AQ，∠QAC=∠P，∵，∴∠PAD+∠QAC=90°即∠PAQ=90°．∴AP⊥AQ．【總結(jié)升華】在確定全等條件時(shí)，注意隱含條件的尋找舉一反：【變式（2018州）如圖，在四邊形ABCD，∠BCD=90°，BC=DC延長ADE，使DE=AB．（1）求證：∠ABC=；（2）求證：．【答案與解析證明：在四邊形∠BCD=90

中，∵∠BAD=

∴∠B+∠ADC=180又∵∠CDE+∠ADC=180∴∠ABC=∠CDE，（2）連接由（1）證得∠ABC=∠CDE，在和中，，∴△ABC≌△EDC（SAS類型二靈運(yùn)用定2．如圖，已知AD△ABC的中線，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求證：BE＋CF【思路點(diǎn)撥將所求的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)或相關(guān)聯(lián)的三角形中進(jìn)行求解．【答案與解析證長使連CM

在△BDE△CDM，∴△BDE≌（SAS∴BE=CM.又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，，即∠EDF＝90°，＝90°．在△EDF△MDF∴△EDF≌△MDF（SAS）,∴EF＝MF（全等三角形對應(yīng)邊相等）,∵在△CMF中，三角形兩邊之和大于第三邊）,∴BE＋CF＞EF.【總結(jié)升華當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散

的條件集中.舉一反：【變式如圖所示，是△ABC中線，BE交于E，交AD，且證：AC=BF.【答案】證明：延長AD到H，使得DH=AD，連結(jié)BH，∵D點(diǎn)，∴BD=DC，在△ADC△HDB中，∴△ADC≌△HDB(SAS)∴AC=BH,∠H=∠HAC，∵EA=EF，∴∠HAE=∠AFE，

又∵∠BFH=∠AFE，∴BH=BF，∴BF=AC．3．如圖，在四邊ABCD，對角AC分∠，AB＞AD，試判斷大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【思路點(diǎn)撥解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角形中大邊對應(yīng)大角的關(guān)系．【答案與解析】AB-AD；證明：在取一點(diǎn)E使得，連結(jié)．∵AC分∠BAD，∴∠1=∠2．∵在△ACE△ACD，∴△ACE≌．∴CD=CE．∵在△BCE，BE＞CE-CB，即＞CE-CB，∴AB-AD＞CD-CB．

【總結(jié)升華可以延長ADEAE=AB及幾條線段的大小關(guān)系時(shí)，用“截長補(bǔ)短”法構(gòu)造全等三角形是常用的方法．舉一反：【變式如圖所示，已知△ABC，AD∠BAC平分線，M上任意一點(diǎn)，求證：MB－MC＜AB－AC．【答案】證明：∵AB＞AC，在截取AE＝AC，接．在△中，三角形兩邊之差小于第三邊在△AMC△AME，∴△AMC≌△AME（SAS

∴MC＝ME（全等三角形的對應(yīng)邊相等又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．4．如圖，在△ABC中∠ABC=60°，AD、CE分平分∠BAC、∠ACB，求證：．【思路點(diǎn)撥】在AC取連接，即可證得△eq\o\ac(△,，)AFO得AOE=；再證得COF=∠COD，則根據(jù)全等三角形的判定方法AAS可證△FOC≌△DOC，可得，即可得結(jié)論．【答案與解析】在取AF=AE，接，

∵AD分∠BAC、∴∠EAO=∠FAO，在△AEO△AFO，∵

AEAF∠EAO∠FAOAOAO∴△AEO≌△AFO（SAS∴∠AOE=∠AOF；∵AD、CE別平分∠、∠ACB，∴∠ECA+∠B）=60°則∠AOC=180°-∠ECA-；∴，角相等）則∠COF=60°，∴∠COD=∠COF，又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO，∴△FOC≌△DOC（ASA∴DC=FC，∵AC=AF+FC，∴AC=AE+CD．【總結(jié)升華本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及到三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．

類型三、綜合運(yùn)用5（2018安）如圖eq\o\ac(△,，)ABC直角三角形ABC=90°，四邊形平行四邊形E中BD分∠ABC，點(diǎn)FAB上，BF=BC．求證⊥AC．【思路點(diǎn)撥由等邊三角形的性質(zhì)可寫出結(jié)論．（2）要證明以上結(jié)論，需創(chuàng)造一些條件，首先可從△ABC中分出一部分使得與△的積相等過作AM∥FC于，連接DM，就可創(chuàng)造出這樣的條件，然后再證其它的面積也相等即可．【答案與解析】證明延長AB于點(diǎn)，連接AD∵四邊形BCDE是平行四邊形，∴ED∥BC，ED=BC∵點(diǎn)AC的中點(diǎn)，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB

∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠ADE=45°．又，∴BF=DE．∴在△AED△DFB，∴eq\o\ac(△,≌)AED△DFB（SAS∴AE=DF，即；（2）設(shè)與FD交點(diǎn)O∵由（1）知，≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DEO+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即⊥AC．

，

【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．舉一反：【變式如圖，△ABC△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,四邊形平行四邊形，連結(jié)AD于F于GBE.下列結(jié)論中；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB④CD·AE=EF·CG；一定正確的結(jié)論有)．A．1B．2個(gè)C．3DBAC

G

F

ED【答案】D.6．如圖，已知△ABC.（1）請你BC邊上別取兩點(diǎn)中點(diǎn)除外，連結(jié)

AD，出使此圖中只存在兩對面積相等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形；（2）請你根據(jù)使1)成立的相應(yīng)條件，證明．【思路點(diǎn)撥考查了三角形面積的求法，全等三角形的判定以及三角形三邊的關(guān)系．本題中通過構(gòu)建全等三角形將已知和所求條件轉(zhuǎn)化到相關(guān)的三角形中是解題的關(guān)鍵．【答案與解析】（1）令≠DE,有△ABD和△ACE，△ABE和ACD積相等.（2）取中點(diǎn)O，連結(jié)AO并延長到，使FO=AO，連結(jié)，CF．在△AD0△，又∠AOD=∠FOE，DO=EO,可證△ADO≌△FEO所以．

因?yàn)?，DO=EO，所以同理可證△ABD≌，所以延長AE交CF,在△ACG，AC+CG＞AE+EG在△EFG，＞EF,可推得＞AE+EG+EF,即＞AE+EF,所以＞AD+AE.【總結(jié)升華正確構(gòu)造全等和利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊的結(jié)論是關(guān)鍵舉一反：【變式在中,∠ACB=90°，AC=BC直線過點(diǎn)C，且⊥MN于D⊥MNE.(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)求證DE=AD+BE；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)求證DE=AD-BE；(3)當(dāng)直線繞轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，試問：DE、AD、BE怎樣的等量關(guān)系?請寫出這個(gè)等量關(guān)系