激光物理5-6.1-密度矩陣

推導(dǎo)激光的電磁場(chǎng)方程，又稱蘭姆自洽場(chǎng)方程求解蘭姆方程，必需知道介質(zhì)的宏觀極化強(qiáng)度。由于工作物質(zhì)是由大量的、處于不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)前粒子所組成．所以在求宏觀極化強(qiáng)度時(shí)，要接受量子統(tǒng)計(jì)中的密度矩陣方法。5、6章給出密度矩陣的定義、性質(zhì)及運(yùn)動(dòng)方程，并給出二能級(jí)系統(tǒng)的密度矩陣及其同介質(zhì)宏觀極化強(qiáng)度之間的關(guān)系。5.1量子力學(xué)的基本概念若矢量波函數(shù)是二維的,則右矢表示為(5.1.1)是矢量空間的一組基矢,左矢表示為(5.1.2)定義:(5.1.3)算符A作用于波矢的結(jié)果為(5.1.5)本征波矢滿足完備正交歸一化條件;當(dāng)運(yùn)用該組本征波矢作為基矢時(shí)，波函數(shù)按基矢綻開(kāi)(5.1.8)(5.1.9)歸一化條件(5.1.13)本征值an的幾率為(5.1.12)(5.1.15)則測(cè)量平均值<A>)5.2電偶極矩近似量子力學(xué)中的電偶極矩算符為5.2.1量子電偶極矩（5.2.2）若外界的擾動(dòng)使電子處在兩個(gè)能量本征態(tài)的疊加態(tài)，那么原子的波矢可以表示為(5.2.4)若考慮z方向的線偏振光與物質(zhì)相互作用時(shí)電偶極矩的期盼值為(5.2.5)留意能級(jí)波函數(shù)具有奇偶性,留意固有偶極矩的矩陣元為零及得到若適當(dāng)選取ua和ub的相位，使Dab為實(shí)數(shù)，這樣就有Dab=D*ba=D。將此結(jié)果代入式（5.2.7)，得到(5.2.8)(5.2.7)式中原子在a、b能級(jí)間的躍遷頻率；而(5.2.6)5.2.2電偶極矩近似當(dāng)外場(chǎng)與原子相互作用時(shí)，原子系統(tǒng)的哈密頓算符將發(fā)生變更。為(5.2.10)（5.2.19）其中：（5.6.5）5.2.275.4、單色場(chǎng)對(duì)有衰減的二能級(jí)原子系統(tǒng)的作用原子總存在自發(fā)輻射，其它能級(jí)對(duì)兩能級(jí)之間可能存在的躍遷，雜散輻射等。使原子的能量衰減。波函數(shù)其中：原子的哈密頓算符衰減算符滿足5.2.46.2.145.4.195.4.20將及哈密頓算符H的表達(dá)式代入到薛定諤方程中，得到二能級(jí)原子系統(tǒng)的薛定諤方程(5.4.21）5.5拉比強(qiáng)信號(hào)解令γa=γb=γ(5.5.2）(5.5.4）(5.5.5）(5.5.3）將（5.5.3）兩端微分，有將（5.5.2）（5.5.4）、（5.5.5）代入，有(5.5.6）一個(gè)二階常數(shù)系數(shù)齊次微分方程，它有eiμt這種形式的解。令（5.5.4）~（5.5.6）以及上式代入（5.5.2），得到其解為：將（5.5.4）（5.5.5）、（5.5.6）代入（5.5.3），有其解為(5.5.7）(5.5.8）可將C’a0(t)與C’bo(t)的通解表示為：假定初始時(shí)刻原子處于b態(tài)得到(5.5.9）A與B的解為：(5.5.10）其中：(5.5.11）(5.5.12）初始時(shí)刻原子處于下能態(tài)b態(tài)，在輻射場(chǎng)的作用下，t時(shí)刻已躍遷到上能態(tài)a能態(tài)的幾率為：(5.5.13）這就是拉比強(qiáng)信號(hào)解的結(jié)果(5.5.13）躍遷幾率的變更將包括在exp(-t)指數(shù)衰減曲線包絡(luò)內(nèi)。如圖（5-4）無(wú)阻尼的狀況在強(qiáng)信號(hào)作用下，初始時(shí)刻處于b態(tài)的原子，躍遷到b能態(tài)的幾率是等幅周期性變更的。如圖（5-3）拉比頻率強(qiáng)信號(hào)下的線性函數(shù)線寬功率加寬(5.5.15）(5.5.13）(5.5.16）第6章密度矩陣與自洽場(chǎng)理論每一個(gè)原子可看做一個(gè)系統(tǒng)，大量全同系統(tǒng)組成一個(gè)系綜。純粹系綜：系綜內(nèi)的系統(tǒng)處于用波函數(shù)所描述的相同的微觀態(tài)?；旌舷稻C：系綜內(nèi)的系統(tǒng)不是處于相同的微觀態(tài)。對(duì)于純粹系綜，力學(xué)量A的平均值為：量子統(tǒng)計(jì)系綜和力學(xué)量的平均值(5.1.5)6.1.密度算符與密度矩陣6.1.1算符的矩陣表達(dá)式量子力學(xué)中,系統(tǒng)的狀態(tài)是用態(tài)矢描述的;進(jìn)行某一物理量的測(cè)量,就是用相應(yīng)的算符作用在態(tài)矢上。在量子力學(xué)中可以選取不同的表象。選擇一種表象,意味著在矢量空間中選取一組滿足正交歸一化條件以及完備性的基矢,該組基矢可以是分立的,也可以是連續(xù)的。在該組基矢下,表示系統(tǒng)量子狀態(tài)的態(tài)矢以及作用在態(tài)矢上的算符,都可以用一組數(shù)量表示,即用矩陣表示。假設(shè)所選擇的基矢用|ui〉(i,j=1,2,...)表示,它是分立的,其所滿足的正交性及完備性為將(t)向基矢ui綻開(kāi)，則(6.1.3)(6.1.2)綻開(kāi)系數(shù)Ci(t)，相當(dāng)于態(tài)矢在|ui>上的投影,(6.1.4)力學(xué)量A的平均值為(6.1.6)(6.1.7)稱Aij為算符A在表象中的矩陣元素。對(duì)于共軛算符A+,其矩陣元Aij+為(6.1.8)當(dāng)一個(gè)算符是厄米算符(其本征值是實(shí)數(shù))時(shí),其對(duì)應(yīng)的矩陣為厄米矩陣,即有:(6.1.9)厄米算符的矩陣表達(dá)式中，對(duì)角元為實(shí)數(shù)，而以對(duì)角線為對(duì)稱的兩個(gè)元素互為共軛復(fù)數(shù)。6.1.2密度矩陣純態(tài)，定義密度算符ρ為ρ稱為密度矩陣,有上式可得到(6.1.12)密度矩陣的矩陣元算符A的期盼值可表示為：(6.1.11)密度矩陣的性質(zhì)（1）密度矩陣是厄米的（2）純態(tài)的狀況下,密度矩陣的對(duì)角元之和=16.1.146.1.15（3）純態(tài)的狀況下,密度矩陣是等冪的（4）、一個(gè)視察量的系綜平均值<P>為矩陣(P)或(P)的跡,即6.1.176.1.166.1.20純態(tài)的狀況下該結(jié)論可推廣到隨意次冪同時(shí)也有(5)在表象間是么正變換的條件下,密度矩陣的跡和視察量的系綜平均值并不變更設(shè)S為從“L”表象到“M”表象的變換矩陣，則6.1.3統(tǒng)計(jì)混合狀態(tài)下密度矩陣算符的推廣設(shè)系綜由N個(gè)相同的量子力學(xué)系統(tǒng)所組成，其中有N1，N2，Nm個(gè)系統(tǒng)處在態(tài)，且N1+N2+……+Nm=N,pk=Nk/N為出現(xiàn)的幾率。對(duì)與隨意的子狀態(tài),令其密度矩陣ρk為6.1.236.1.246.1.25其歸一化條件為(6.1.28)力學(xué)量A的平均值為：

6.1.26定義統(tǒng)計(jì)混合狀態(tài)的密度算符ρ為：

(6.1.27)統(tǒng)計(jì)混合狀態(tài)下的密度矩陣與純態(tài)下的密度矩陣的區(qū)分在于,密度矩陣是不等冪的,而且滿足:6.1.296.1.4密度矩陣元的意義6.1.30（1）密度矩陣的對(duì)角元素具有幾率的意義表示第k個(gè)子狀態(tài)的粒子處于|ui>態(tài)的幾率，ii表示系綜的粒子處在|ui>態(tài)的總幾率.若單位體積內(nèi)粒子數(shù)為N,那么Nii代表了處在|ui>態(tài)上粒子數(shù)密度非對(duì)角元通常被認(rèn)為是系綜各本征態(tài)間相干性的表現(xiàn)。(2)密度矩陣非對(duì)角元的意義6.1.32<A>不僅取決于密度矩陣的對(duì)角元,而且還取決于非對(duì)角元.各本征態(tài)|ui>中相應(yīng)的平均值|ui>與|uj>之間的干涉效應(yīng)對(duì)平均值的貢獻(xiàn)6.2密度矩陣的運(yùn)動(dòng)方程密度矩陣的運(yùn)動(dòng)方程表示密度矩陣隨時(shí)間的變更關(guān)系。與時(shí)間有關(guān)的薛定諤方程為設(shè)“L”表象中基矢為un(x)，令左乘u*l(x)，對(duì)整個(gè)空間積分，有：5.1.23(a)(b)對(duì)上式時(shí)間微分6.1.32同理并利用H的厄米性，H*mn=Hnm，6.2.1密度矩陣的運(yùn)動(dòng)方程:二能級(jí)原子系綜的密度矩陣(靜止原子情形)探討二能級(jí)原子系綜的密度矩陣及其運(yùn)動(dòng)方程的具體形式。激光有關(guān)的能級(jí)主要有兩個(gè)。探討靜止原子情形。1.孤立原子系統(tǒng)的狀態(tài)設(shè)二能級(jí)原子的兩個(gè)能級(jí)的能量本征值分別為Ea和Eb，相應(yīng)的本征函數(shù)為ua和ub,則孤立原子系統(tǒng)的狀態(tài)可用如下的波函數(shù)表示其中：原子的哈密頓算符5.2.46.2.146.2.35.2.192、存在損耗原子系統(tǒng)的狀態(tài)原子總存在自發(fā)輻射，其它能級(jí)對(duì)兩能級(jí)之間可能存在的躍遷，雜散輻射等。使原子的能量衰減。波函數(shù)其中：原子的哈密頓算符衰減算符滿足5.2.46.2.145.4.195.4.203、外場(chǎng)作用下原子的態(tài)其中H1是描述原子與輻射場(chǎng)相互作用的哈密頓算符，此時(shí)H與時(shí)間有關(guān)。原子的哈密頓算符左乘，對(duì)整個(gè)空間積分，有：5.4.20這是二能級(jí)原子系統(tǒng)在外場(chǎng)作用下幾率振幅隨時(shí)間的變更方程。知，可確定Ca(t)和Bb(t)，即可得同理，左乘，對(duì)整個(gè)空間積分，有：(c2)(c1)4、關(guān)于假設(shè)電場(chǎng)和原子的相互作用取偶極近似，那么就是電偶極子在外場(chǎng)中的能量5.2.27P為原子的電偶極矩。標(biāo)量近似.。>>原子線度d，可以認(rèn)為在原子體積中E是常數(shù)。于是式(c)中各微擾能的矩陣元為：5.2.9Daa、Dbb、Dab、Dba電偶極矩矩陣元（固有、感生）r是奇宇稱算符，假如a態(tài)和b態(tài)都具有確定的宇稱，必定有Daa=Dbb=0，另外，從式(5.2.9）的積分看出，Dab=D*ba。因?yàn)椴ê瘮?shù)可以相差一個(gè)相位因子，若適當(dāng)選取ua和ub的相位，使Dab為實(shí)數(shù)，這樣就有Dab=D*ba。所以Vab=Vba=-EDab=-EDba=-ED。式(c）可寫成(6.2.13a）(6.2.13b）5.二能級(jí)原子系綜的密度矩陣為了將上述方程表示成密度矩陣的形式，可做如下變換：以Ca*右乘式(6.2.13a)，然后減去以Ca左乘式(6.2.13a)的復(fù)數(shù)共輒式，得到Cb*右乘式(6.2.13b)-Cb左乘式(6.2.13b)的復(fù)數(shù)共輒式，(d1)(d2)以上（d1~d3)是單個(gè)原子幾率振幅隨時(shí)間變更所滿足的方程．Cb*右乘式(6.2.13a)-Ca左乘式(6.2.13b)的復(fù)數(shù)共輒式，(d3)(d4)又考慮統(tǒng)計(jì)混合系綜時(shí),為求得整個(gè)系綜的宏觀統(tǒng)計(jì)行為,可對(duì)式(d1）~(d2）中的各項(xiàng)取系綜平均值，即用按密度矩陣定義，可將二能級(jí)結(jié)構(gòu)的原子系綜的密度矩陣寫成(6.1.11),(6.1.31),(6.1.32)(6.2.16)式中0——原子在a、b能級(jí)間的躍遷頻率；

ab——兩個(gè)能級(jí)的平均衰減率。(6.2.17)6、有激發(fā)時(shí)的密度矩陣可寫成矩陣方程(6.2.20)考慮當(dāng)原子系綜在外界激勵(lì)作用下，它們的密度矩陣隨時(shí)間的變更規(guī)律。(6.2.7)(6.2.16a)λa(t0)dt0是單位體積中，在時(shí)間間隔(t0，t0+dt0)內(nèi)激發(fā)到a態(tài)的平均原子數(shù)，定義ρ(a,t)代表t時(shí)刻被激發(fā)到a態(tài)的單位體積的粒子數(shù)矩陣或稱為集居數(shù)矩陣(e1)t0時(shí)刻原子處于a態(tài)以后，t時(shí)刻（不存在激發(fā))的密度矩陣，它遵從運(yùn)動(dòng)方程(6.2.16）。初始條件為(e2)兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)用運(yùn)動(dòng)方程式(6.2.16)代入，有(e3)(e4)H、Γ提出積分號(hào)外同樣可以導(dǎo)出在有外界激勵(lì)的狀況下系綜處于狀態(tài)b的集居數(shù)矩陣(e5)(e6)由于在外界激勵(lì)作用下，原子可分別被激發(fā)到二能級(jí)的任一能級(jí)之上，因此描述系綜的總的集居數(shù)矩陣應(yīng)表為兩種能級(jí)狀態(tài)的集居數(shù)矩陣的線性疊加(e7)(e8)將式（6.2.21）具體寫出來(lái)，就是(6.2.21)(6.2.19)其中代表激發(fā)矩陣式（e5）+式（e6)，可得總的集居數(shù)矩陣的運(yùn)動(dòng)方程為(6.2.18)(6.2.18)在單位時(shí)間內(nèi)，由于外界激發(fā)而使得上能級(jí)的原子數(shù)得增加率（a），由于自發(fā)輻射或其它弛豫過(guò)程使該能級(jí)上得原子數(shù)目得衰減（-aaa），以及由于受激輻射而使得上能級(jí)數(shù)目的削減能級(jí)a的原子數(shù)隨時(shí)間的變更來(lái)源于密度矩陣元運(yùn)動(dòng)方程可以用微擾迭代法求解.若原子初始處在上能級(jí)上,則有(6.2.22)代入(6.2.18)中ρa(bǔ)b運(yùn)動(dòng)方程得一階近似將代入(6.2.18)中ρa(bǔ)a、ρa(bǔ)a運(yùn)動(dòng)方程得二階近似以此類推，可以得到(6.2.23)2.4二能級(jí)原子系綜的密度矩陣（運(yùn)動(dòng)原子情形）靜止原于的密度矩陣一般只適用于固態(tài)工作物質(zhì)。本節(jié)討掄二能級(jí)運(yùn)動(dòng)原子酌密度矩陣，其結(jié)論可以用于氣體工作物質(zhì)。必需留意運(yùn)動(dòng)原子的速度分布和位置變更所帶來(lái)的困難性。由于原子具有z方向的運(yùn)動(dòng)速度v，所以在t0時(shí)刻位置z處如被激發(fā)到a態(tài)的原子在時(shí)刻t已不在z處，這部分原子對(duì)z處t時(shí)刻的密度矩陣沒(méi)有貢獻(xiàn)。只有那些滿足條件z+z0+v(t-t0)的原子，即在t0時(shí)刻位置z0處被激發(fā)，以速度v運(yùn)動(dòng)并在時(shí)刻t恰好到達(dá)z的原子才對(duì)ρ(z,t)有貢獻(xiàn)。設(shè)ρ(a，z0，t0，v，t)表示在無(wú)外界激勵(lì)作用時(shí)，由軸向速率為v的原子系統(tǒng)組成的系綜在t時(shí)刻的密度矩陣。系綜內(nèi)的原子在t0時(shí)刻位于z0處并且處干a態(tài)(或在時(shí)刻t0被激發(fā)到a態(tài)．t0以后就不受到激發(fā)作用），則ρ(a,z0,t0,v,t)遵從運(yùn)動(dòng)方程（2.3.30）。用λa(z0，t0，v)表示在時(shí)刻t0位置z0旁邊單位時(shí)間單位體積內(nèi)向a態(tài)激發(fā)的、速度在v旁邊單位速度間隔內(nèi)的乎均原子數(shù)。ρ(z，v，t)表示速度在v旁邊單位速度間隔的原子所組成的系綜在t時(shí)刻位置z處的集居數(shù)矩陣，則有初始條件式(2.4.1)包含了對(duì)激發(fā)時(shí)間、激發(fā)地點(diǎn)的積分以及對(duì)狀態(tài)a、b的求和。其中δ函數(shù)保證只計(jì)及在t時(shí)刻能夠進(jìn)入考察位置z旁邊單位體積之內(nèi)的那些原子，z=z0+v(t-t0)。(2.4.1)將式（2.4.1）對(duì)t求導(dǎo)利用δ函數(shù)性質(zhì)及初始條件(2.4.2)、（2.4.3），并利用上式可寫成利用了式(2.4.1)（2.4.4）將它代人式(2.4.4)，由干H、Γ均不是t0、z0的函數(shù)，故提出積分號(hào)外，其他不能提出部分對(duì)dt0、dz0積分，即為ρ(z，v，t)。于是方程(2.4.4)可寫成密度矩陣應(yīng)遵守(2.3.30)上式即為運(yùn)動(dòng)原子的集居數(shù)矩陣的運(yùn)動(dòng)方程，式中的ρ均指ρ(z，v，t)。這一方程和靜止原于的式（2.3.41）或式（2.3.44）有完全相同的形式，所不同的是：①對(duì)于運(yùn)動(dòng)原子，ρ的變更率包括由時(shí)間推移干脆產(chǎn)生的變更率和由于原子運(yùn)動(dòng)造成的變更率兩部分，靜止原子因?yàn)槭遣粍?dòng)的，所以其次部分為零。