2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題9

專題9.2直線與圓的位置關(guān)系(知識(shí)點(diǎn)講解)

【知識(shí)框架】

【核心素養(yǎng)】

1.考查圓的方程，凸顯數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng).

2.考查直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng).

3.與圓錐曲線相結(jié)合考查，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)應(yīng)用的核心素養(yǎng).

【知識(shí)點(diǎn)展示】

圓的方程

1.圓的定義：在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓.

2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(1)若圓的圓心為C(〃M,半徑為r,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x—a)2+(y-份2=

(2)方程(x-a)2+(i)2=產(chǎn)表示圓心為CQ萬半徑為r的圓.

3.圓的一般方程

(1)任意一個(gè)圓的方程都可化為：x2+y2+Dx+Ey+F=0.這個(gè)方程就叫做圓的一般方程.

(2)對(duì)方程：/+V+6+4+/=0.①若。2+￡2—4/>0,則方程表示以(一g,-g)為圓心,

|VD2+￡2-4F為半徑的圓；

②若。2+七2-4尸=0,則方程只表示一個(gè)點(diǎn)(一今，-1)；

③若+后2-4/<0,則方程不表示任何圖形.

4.點(diǎn)A(x0,%)與。C的位置關(guān)系

(l)|AQ<r。點(diǎn)A在圓內(nèi)=(4一。)2+(%—〃尸〈產(chǎn).

222

(2)|AC1=r。點(diǎn)A在圓上o(x(~a)+(y-h)=r；

(3)|AQ>/?。點(diǎn)4在圓外=(與一4)2+(%一切2>/

二.圓的方程綜合應(yīng)用

1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-a)2+(y-0)2=/

2.圓的一般方程.：x2+y2+Dx+Ey+F=O(￡>2+E2-4F>0).

1Axo+Byo+C|

3.點(diǎn)6(%,%)到直線/：Ax+5.v+C=0的距離:

dA?+B2

三.直線與圓相切

1.直線與圓相切：直線與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

2.幾何法：圓心到直線的距離等于半徑，即△=/"；

3.代數(shù)法：△=(),方程組有一組不同的解.

四.直線與圓相交及弦長(zhǎng)

1.直線與圓相交：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；

2.幾何法：圓心到直線的距離小于半徑，即d<r；

3.代數(shù)法：△>(),方程組有兩組不同的解.

五.圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)兩圓的圓心分別為G、C2,圓心距為d=|GG|，半徑分別為火、r(R>r).

(1)兩圓相離：無公共點(diǎn)；d>R+r,方程組無解.

(2)兩圓外切：有一個(gè)公共點(diǎn)；d=R+r,方程組有一組不同的解.

(3)兩圓相交：有兩個(gè)公共點(diǎn)；R-r<d<R+r,方程組有兩組不同的解.

(4)兩圓內(nèi)切：有一公共點(diǎn)；d=R-r,方程組有一組不同的解.

(5)兩圓內(nèi)含：無公共點(diǎn)；UWd<R-r,方程組無解.特別地，d=0時(shí)，為兩個(gè)同心圓.六.常用結(jié)論

1.圓的三個(gè)性質(zhì)

(1)圓心在過切點(diǎn)且垂直于切線的直線上;

(2)圓心在任一弦的中垂線上;

(3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線.

2.以4(為，yi),8(及，》)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-xi)(x—X2)+(y-yi)(y—”)=0.

3.當(dāng)兩圓相交(切)時(shí)，兩圓方程(f,V項(xiàng)的系數(shù)相同)粗減便可得公共弦(公切線)所在的直線方程.

2

4.直線與圓相交時(shí)，弦心距d,半徑r,弦長(zhǎng)的一半步滿足關(guān)系式d=￡±

5.圓的切線方程常用結(jié)論

(1)過圓f+./nr2上一點(diǎn)P(xo，yo)的圓的切線方程為Xftr+voy=r.

(2)過圓(x—a)2+(y—6)2=/上一點(diǎn)P(x0,加)的圓的切線方程為Q(口西

(3)過圓/+尸=，外一點(diǎn)Wo.四)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為松土加后？.

【?？碱}型剖析】

題型一：求圓的方程

例1.(2020?山東高考真題)己知圓心為(-2,1)的圓與＞軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.(x+2)2+(y-l)2=lB.(x+2)2+(y-l)2=4

C.(x-2)2+(y+l)2=lD.(x-2)2+(y+l)2=4

【答案】B

【分析】

圓的圓心為(-2,1),半徑為2,得到圓方程.

【詳解】

根據(jù)題意知圓心為(-2,1),半徑為2,故圓方程為：(x+2)、(y_l)2=4.

故選：B.

例2.(重慶.高考真題(文))圓心在y軸上，半徑為1,且過點(diǎn)(1,2)的圓的方程是()

A.f+(y-2『=1B.f+(y+2『=l

C.(x-l)2+(y-3)2=lD.x2+(y-3)2=l

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)圓心的位置及半徑可寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后將點(diǎn)。，2)代入圓的方程即可求解.

【詳解】

因?yàn)閳A心在y軸上，所以可設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(O,b),則圓的方程為x2+(yd)2=],又點(diǎn)(1,2)在圓上,

所以1+(2-與:1,解得。=2.

故選：A

例3.(2022?全國(guó)?高考真題(文))過四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為.

【答'案】(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2y+(y—l)-=5或卜-g[='^或

【解析】

【分析】

設(shè)圓的方程為r+y2+Dx+或+尸=0,根據(jù)所選點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組，解得即可；

【詳解】

解：依題意設(shè)圓的方程為『+y2+Dx+Ey+F=0,

F=0F=0

若過(0,0),(4,0),(-1,1),貝1卜16+4。+尸=0,解得，。二-生

l+l-D+E+F=0E=-6

所以圓的方程為x2+y2-4x-6y=0,即(x—2?+(y—3『=13；

F=0F=0

若過(0,0),(4,0),(4,2),則T6+4D+F=0，解得。=-4,

16+4+4D+2￡+F=0E=-2

所以圓的方程為V+y2-4x-2y=0,B|J(x-2)2+(y-l)2=5：

F=0

F=0

Q

若過(0,0),(4,2),(-1,1),則，l+l-O+E+F=0解得,

16+4+4D+2E+F=0

Q14

所以圓的方程為丁+丫:一三》-1'：。,三；若過(T，l),(4,0),(4,2),則

J16

k=--

。+石+/=5

1+1-01z-

16+40+尸=0,解得，D=-—

5

16+4+4。+2￡+b=0

E=-2

所以圓的方程為》2+丫2-￡x-2)，一￡=0,即(x-1J+(y-l)2=詈;

故答案為：(刀-2)2+()」3)2=13或(》—

【規(guī)律方法】

求圓的方程，主要有兩種方法：

(1)幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理.如：①圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直

線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線.

(2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量.一般地，與圓心

和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式.不論是哪種形式，都要確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三

個(gè)獨(dú)立等式.

題型二：圓的方程綜合應(yīng)用

例4.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))當(dāng)圓C:Y+y2-4x+6y-3=0的圓心到直線/："ir+y+〃Ll=0的距離最大

時(shí)，機(jī)=()

A.-B.-C.--D.--

4343

【答案】C

【解析】

【分析】

求出圓心坐標(biāo)和直線過定點(diǎn)，當(dāng)圓心和定點(diǎn)的連線與直線/垂直時(shí)滿足題意，再利用兩直線垂直，斜率乘積

為-1求解即可.

【詳解】

解：因?yàn)閳AC:x2+y2-4x+6)，-3=0的圓心為C(2,-3),半徑R=4,

又因?yàn)橹本€/:爾+y+mT=0過定點(diǎn)A(-l,l),

43

故當(dāng)C4與直線/垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)有&AC?勺=T，即-彳(-附=-1,解得機(jī)=-：

故選：C.

例5.(2016?天津?高考真題(文))已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)例(0,石)在圓C上，且圓心到直

線2x-y=0的距離為地，則圓C的方程為.

5

【答案】(x-2)2+y2=9.

【解析】

【詳解】

石_

24_4正（后故圓的方程為）2

試題分析：設(shè)C（a,0）（a>0）,則忑=亍=a=2,r=+=3,C5-22+y=9.

【總結(jié)提升】

涉及圓的方程問題，常用到圓的以下幾何性質(zhì)：

①圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；

②圓心在任一弦的垂直平分線上.

題型三：直線與圓相切

例6.（2020?全國(guó)?高考真題（理））若過點(diǎn)（2,1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x-y-3=0的距

離為（）

A.—B.—C,D,拽^

5555

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為（“M）M>0,可得圓的半徑為“，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)

（2,1）在圓上，求得實(shí)數(shù)。的值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線2x-y-3=0的距離.

【詳解】

由于圓上的點(diǎn)（2,1）在第一象限，若圓心不在第一象限，

則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，

設(shè)圓心的坐標(biāo)為（a,a）,則圓的半徑為a,

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x—力+仃―.由題意可得（2-“y+（l-a）:",

可得/_6a+5=0,解得。=1或。=5,

所以圓心的坐標(biāo)為（1,1）或（5,5）,

圓心04）到宜線2X-7-3的距離均為412xi：-3|=半;

|2x5-5-3|_2>/5

圓心（05）到直線2x-,-3?0的距離均為4=

3―甘

圓心到直線2x-y-3=0的距離均為"=甲=述；

V55

所以，圓心到直線2x-y-3=0的距離為平.

故選：B.

例7.【多選題】（2021.全國(guó).高考真題）已知直線/:奴+與，-產(chǎn)=0與圓。：/+^=/,點(diǎn)43份，則下列

說法正確的是（）

A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線/與圓C相切B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相離

C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線/與圓C相離D.若點(diǎn)4在直線/上，則直線/與圓C相切

【答案】ABD

【解析】

【分析】

轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為合+從,嚴(yán)的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即

可得解.

【詳解】

圓心c（o,o）到直線/的距離〃=

Va2+b2

若點(diǎn)A（a,6）在圓C上，則/+從=/，所以"=方十寸=巾

\Ja~+b'

則直線/與圓C相切，故A正確;

若點(diǎn)A（a,6）在圓C內(nèi)，則/+〃＜，，所以"=,,＞卜|,則直線/與圓C相離，故B正確;

yja-+b-

2

若點(diǎn)A（a,幼在圓C外,則/+/＞戶,所以d=「，＜巾

\ja~+b~

則直線/與圓C相交，故C錯(cuò)誤；

若點(diǎn)4（。力）在直線/上，貝4/+從一，=0即a2+b2^r2,

=卜|,

所以d=777^直線/與圓C相切，故D正確.

故選：ABD.

例8.(2020?浙江?高考真題)設(shè)直線/：y=h+>0)與圓Y+9=1和圓(x-4)2+V=1均相切，貝ijk=

b=_____

用26

【答案】

33

【解析】

【分析】

由直線與兩圓相切建立關(guān)于％,b的方程組，解方程組即可.

【詳解】

2221

設(shè)Ct-.x+y=\,C2：(x-4)+/=1,由題意，GC到直線的距離等于半徑，即=，器M

所以|旬=|必+4，所以左=0(舍)或者6=-2%,

解得k=也力=-巫.

33

故答案為：B；-空

33

【規(guī)律方法】

判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的方法

(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系.

(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程之后利用4判斷.

(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.

提醒：上述方法中最常用的是幾何法.

題型四：直線與圓相交及弦長(zhǎng)

例9.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))過圓C:(x-l)?+y2=i外一點(diǎn)p作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,8.若△■BW

為等邊三角形，則過。(2,1)的直線/被尸點(diǎn)軌跡所截得的最短弦長(zhǎng)為.【答案】2五

【解析】

【分析】

先根據(jù)/APC=30。，可得尸點(diǎn)軌跡方程為圓，再數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)/與CD垂直時(shí)，/被圓所截得的弦長(zhǎng)最短，

結(jié)合垂徑定理計(jì)算即可

【詳解】

由題意知c(l,o),連接尸C,因?yàn)椤饕?為等邊三角形，所以/"C=30。，所以|CH=—^=2,所以尸點(diǎn)

sin30

軌跡的方程為(x-iy+y2=4.因?yàn)?2-1『+12=2<4,所以點(diǎn)。(2,1)在圓(x—1)2+產(chǎn)=4的內(nèi)部.連接CD,

結(jié)合圖形可知，當(dāng)/與CO垂宜時(shí)，/被圓(x-l)2+V=4所截得的弦長(zhǎng)最短，最短弦長(zhǎng)為

2yl4-5=2^/4^2=2收

故答案為:272

例10.(2022?天津?高考真題)若直線"一'+加=°(〃?>°)與圓(“一1)2+(丫一1)-=3相交所得的弦長(zhǎng)為加，則

【答案】2

【解析】

【分析】

計(jì)算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關(guān)于根的等式，即可解得〃?的值.

【詳解】

圓(x-l)2+(y-l)2=3的圓心坐標(biāo)為(U),半徑為

|1-1+7/7

圓心到直線x-y+m=0(加>0)的距離為七尸=正，由勾股定理可得因?yàn)闄C(jī)>0,

解得m=2.

故答案為：2.

【規(guī)律方法】

1.弦長(zhǎng)的兩種求法

(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程.在判別式d>0的前提下,

利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng).

(2)幾何方法：若弦心距為d,圓的半徑長(zhǎng)為八則弦長(zhǎng)/=2產(chǎn)二?.

題型五：圓與圓的位置關(guān)系

例11<2022?廣西桂林?模擬預(yù)測(cè)（文））圓G:/+V-I4x=0與圓6:（x-3）2+（y-4/=15的位置關(guān)系為（）

A.相交B.內(nèi)切C.外切D.相離

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)兩圓的位置關(guān)系的判定方法，即可求解.

【詳解】

由G：f+y2_]4x=0與圓C2：（x-3）2+（y-4）2=15,

可得圓心G（7,0），G（3,4）,半徑4=7,4=后,

則|CC2|=J（7-3）2+（O-4）2=40,且旦一4=7-715,/?,+^=7+715,

所以R2-K<|GG|<6+舄，所以兩圓相交.

故選：A.

例12.（2022?全國(guó)?高考真題）寫出與圓x?+y2=i和。-3）2+（丫-4）2=16都相切的一條直線的方程

【答案】3+5；或尸7與》一2片5或x=T

442424

【解析】

【分析】

先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.【詳解】

圓一+丁=1的圓心為。（0,0）,半徑為1,圓。-3）2+（、-4）2=16的圓心。1為（3,4）,半徑為4,

兩圓圓心距為爐不=5,等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，

如圖，

當(dāng)切線為/時(shí)，因?yàn)樾?§，所以勺=-1設(shè)方程為y=-9+?>0）

d=J"=1535

。到/的距離廣屋，解得f==,所以/的方程為y=-=x+=,

3+而444

當(dāng)切線為，”時(shí)，設(shè)直線方程為乙+y+P=0,其中p>0,k<0,

k=-

J1+公725

由題意，解得，,，y=一X--------

伙+4+p」2424

J1+F

當(dāng)切線為〃時(shí)，易知切線方程為x=-1,

常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差的絕對(duì)值的關(guān)系，一般不用代數(shù)法.

2.兩圓公共弦長(zhǎng)的求法

兩圓公共弦長(zhǎng)，先求出公共弦（兩圓方程相減即得公共弦方程）所在直線的方程，轉(zhuǎn)化為直線與圓相交的

弦長(zhǎng)問題.

3.公共弦長(zhǎng)要通過解直角三角形獲得.

題型六：直線、圓的綜合應(yīng)用

例13.（2020?全國(guó)?高考真題（理））已知。x2+y2-2x-2y-2=0,直線/：2x+y+2=0,2為/上的

動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作。M的切線尸A尸8,切點(diǎn)、為A,B,當(dāng)|*W|-|43|最小時(shí)，直線A8的方程為（）

A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.2x+y+l=O

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意可判斷直線與圓相離，根據(jù)圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)AP,反M共圓，且根據(jù)

|PMHAB)=4S.M=4|即可知，當(dāng)直線MP口時(shí)，|同邪|相最小,求出以MP為直徑的圓的方程,根據(jù)

圓系的知識(shí)即可求!1；直線AB的方程.

【詳解】

圓的方程可化為(x-l)2+(y—l)2=4點(diǎn)M到直線/的距離為d=為＞2,所以直線/與圓相

V22+l2

禺?

依圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)A,P,a”四點(diǎn)共圓，且所以1PMi.|48|=4'哂=4x^x\PA\x\AM\=4\PA\,

而網(wǎng)=J|M/f-4,

當(dāng)直線時(shí)，|陰皿=石，歸人,“=1，此時(shí)歸何卜|明最小.

11f

Iz、11y=—xd—X=-1

=；x-l即y=：x+：，由｛22解得，A.

222卜中+2=03=。

所以以MP為直徑的圓的方程為(x—l)(x+l)+y(y—l)=O,即x2+/-y-l=O,

兩圓的方程相減可得：2x+y+l=0,即為直線A8的方程.

故選：D.

例14.(2022.全國(guó).高考真題)設(shè)點(diǎn)A(-2,3),B(0,a),若直線AB關(guān)于V=。對(duì)稱的直線與圓(x+3)2+(y+2)2=l

有公共點(diǎn)，則。的取值范圍是.

「13'

【答案】【解析】

【分析】

首先求出點(diǎn)A關(guān)于了=。對(duì)稱點(diǎn)4的坐標(biāo)，即可得到直線/的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得

到不等式，解得即可；

【詳解】

解：4(-2,3)關(guān)于丫=。對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為砥-2,24-3),8(0,a)在直線y=a上，

所以A'B所在直線即為直線/,所以直線/為丫=胃工+。，即(a-3)x+2y-2?=0；

一2

圓C:(x+3)2+(y+2)2=l,圓心C(-3,-2),半徑/?=1，

|-3(tz-3)-4-2a|

依題意圓心到直線/的距離d=、=3=；41，

J(a-3)-+22

i-71313

即（5—5〃）4（a-3）+22,解得34a4^,即ae；

故答案為：g弓

例15.（2022.河南嘟州四中高三階段練習(xí)（文））已知圓C:x2+y2-4x-2），+l=0,點(diǎn)尸是直線y=4上的

動(dòng)點(diǎn)，過P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則|A4的最小值為.

【答案】—

33

【解析】

【分析】

根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，結(jié)合三角形面積S酗冊(cè)"“=2|%與金地形”BC=gk8||CP|,化簡(jiǎn)可得|鉆|=醬,

進(jìn)而得到恒回=、1-向,根據(jù)|AB|最短時(shí)，|CP|最短求解即可

【詳解】

圓C:*2+y2-4x-2y+l=0,即（x-2）?+（y-l7=4,

由于B4,PB分別切圓C于點(diǎn)A,B,則|剛=|P3|,

CAA.PA,CB1PB,所以S四邊形叱=25次.=|小照，

因?yàn)閨。卜|出=廠=2,所以際邊形”8c=2附又PCLAB,所以跖??=；|4圳CP|,

1..41PAiI

所以附=jM|CP|,即1”|=曲=4,1—同，

所以|A6|最短時(shí)，|C“最短，

點(diǎn)c到直線y=4的距離即為|CP|的最小值，

所以10^=3,所以|用的最小值為4產(chǎn)1=￥

例16.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知線段A8的端點(diǎn)8的坐標(biāo)是(5,1),端點(diǎn)A在圓0:(x-lp+(y-3了=4

上運(yùn)動(dòng).

(1)求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡G的方程;

(2)設(shè)圓G與曲線G的兩交點(diǎn)為M，N,求線段MN的長(zhǎng)：

⑶若點(diǎn)C在曲線C?上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在x軸上運(yùn)動(dòng)，求|A0+|C。的最小值.

【答案】(l)(x-3)2+(y-2)2=l(2)|MN|=竽

(3)729-3

【解析】

【分析】

⑴設(shè)4a,%),P(x,y),可得］：［；；］：，代入圓G：(x-l)2+(y-3)2=4化簡(jiǎn)即可；

⑵