2023年人教版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第一部分考點指導(dǎo)第三章函數(shù)及其應(yīng)用第六節(jié)對數(shù)、對數(shù)函數(shù)

第六節(jié)對數(shù)、對數(shù)函數(shù)

【考試要求】1.理解對數(shù)的概念及其運算性

質(zhì)，知道用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對

數(shù)或常用對數(shù).【高考考情】考點考法：高考命題常以考查對

2.通過具體事例，了解對數(shù)函數(shù)的概念.能數(shù)的運算性質(zhì)為主，考查學(xué)生的運算能力；對

用描點法或借助計算工具畫出具體對數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用是考查熱點，常以選擇

的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊題或填空題形式出現(xiàn).

點.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算

3.知道對數(shù)函數(shù)y=log“x與指數(shù)函數(shù)尸

a'(a>0,a*1)互為反函數(shù).

o...-,拓迪旅理」思推激活,一

【歸納?知識必備】

1.對數(shù)的概念

(1)本質(zhì)：是求指數(shù)的運算；

⑵指、對關(guān)系式：

①a'=AMx=logW(a〉0,且aW1).

A

②a"'"'=N；1ogaa=x(a>0,且aWLA>0).

2.對數(shù)的運算法則：若a>0,且aWl,粉0,小0,則(1)log“(楸)=log/^log/V；(2)log.-

=logJ/-log/；(3)1og“M=〃log/(AWR).

3.換底公式川

log..,Z>=~^'(a>0,且a#l；c>0,且cWl；b〉0).

logca

注解1換底公式的推論：①log/?log廬=1；

②logb”=flog”,

dIII

4.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

『log/a>l0<a<l

y

X=1.=1

y=\OQaX

圖象\(1,0)

0(1.0)xox

y=logaX

定義域(0,+8)

值域R

過定點(1,0),即A=1時，尸0

當(dāng)x>l時，y〉0;當(dāng)X>1時，y<0;

性質(zhì)

當(dāng)時,。0當(dāng)時,y>0

在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

【智學(xué)?變式探源】

1.必修一P160T5(l)2.必修一P126T3

1.(改變條件)已知JQ(y1y=log2X,x>2},A—{^|y=ln(2—x)},則"C/V等于()

A.(2,+8)B.(一8,2)

C.(1,2)D.0

［解析］選C.［仁{y\y=logzM^>2}={y|y>l),

N={^|y=ln(2—x)}={x|矛<2},"CJV=(1,2).

2.(改變結(jié)論)若log力?log〃c?loge3=2,則a的值為

【解析】由已知可得產(chǎn)?看?詈=2,即詈=2,

lga1g6lgclga

所以lg3=21ga,所以a2=3,a=y[i.

答案：小

【慧考?四基自測】

3.基礎(chǔ)知識4.基本方法5.基本應(yīng)用6.基本能力

3.(對數(shù)運算)21og510+logO25=.

【解析】21og510+log50.25=log5100+log50.25=log,,25=2.

答案：2

4.(待定系數(shù)法)對數(shù)函數(shù)/Xx)過點(9,2),則(2)=.

【解析】設(shè)f(x)=log“x(a>0且aWl),log“9=2,

所以才=9,所以a=3（舍a=—3）,

所以f（x）=log3X,

所以'I?=l°g（=—L

答案：一1

5.（單調(diào)性的應(yīng)用）已知a=log52,8=1。映3,c=<,則下列判斷正確的是（）

乙

A.c<b<aB.b<a<c

C.a<c<bD.a<b<c

【解析】選C.a=log52Vlogs/=；=logs2:Vlog83=b,即aVcVb.

3

6.（解對數(shù)不等式）若叼<1（a0且@￡1）,則實數(shù)a的取值范圍是

3

【解析】當(dāng)O〈a<l時，logq<log?a=l,

所以0<a<|；

3

當(dāng)a>l時，logq<log,a=l,所以a>l.

所以實數(shù)a的取值范圍是（0,|]U（l,+8）.

答案：（0，|jU（1,+8）

。、力點探究?悟法/怩,一Q

?考點一對數(shù)式的化簡與求值|自主練透

1.（2022?紹興模擬）已知x,y為正實數(shù)，則（）

A.1g（/?y）=（1g%）2+lgy

B.lg（*?5）=lgx+glgy

Inx+lnr

C.e=x+y

D.einx''ny=xy

2.(2021?開封模擬)若2=1,且!W,則z的值可能為()

A.3B.y[lQC.7D.10

3.★(命題?新視角)數(shù)列〃=1+<+-+-通常被稱為“調(diào)和級數(shù)”，是級數(shù)理論中最

23n

早被人們研究的級數(shù)之一.著名數(shù)學(xué)家歐拉在1734年就曾給出證明：當(dāng)〃足夠大時，In

(〃+1)+其中7為歐拉一馬歇羅尼常數(shù)，其值約為0.57,在本題的計算中可以忽略不計.據(jù)

此，"u與凡之比的近似值為(參考數(shù)據(jù)：1g2仁0.30)()

A.1.50B.1.35C.1.20D.1.05

【解析】1.選B.x,y為正實數(shù)，1g(/?y)=lgf+igy=21gx+lgy,故A錯誤；

lg(x?近)=lgx+lgy[y=lgx+Jlgy,故B正確；

e"=燈，故C錯誤;

e—?小‘=陰""'=燈，故D錯誤.

2.選D.設(shè)2'=5"=z°=k則a=log4，Z?=log5^c=logzA,

所以，+T+[1/=1og*2+1og*5=1ogA(2X5)=1ogxl0=-=log*z,所以z=10.

ablog2A-log5Ac

3HuIn51291n29

3.選B.由題思，-——=———=-lg2?=1.35.

In10021n102

，規(guī)律方法

對數(shù)運算的一般思路

(1)拆：首先利用累的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式，使基的底數(shù)最

簡，然后利用對數(shù)運算性質(zhì)化簡合并.

(2)合：將對數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對

數(shù)真數(shù)的積、商、累的運算.

教師

專用【加練備選】

19

(2022?臨汾模擬)已知4、=3=力,且一+-=2,則m=()

xy

A.2B.4C.6D.9

【解析】選C.因為4'=3'=而，則x=logMy=log3/z?,

所以1+~=/—+合一=log,B4+21og..^

xylog"log3zz?

=log?(4X3')=2,

所以/=4X3'=36,

又加>0,所以加=6.

，考點二對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用|講練互動

[典例1]⑴(多選題)若函數(shù)f(x)=a*T,g(x)=log)x|,其中a>0,且aWl,則函數(shù)f{x},

g(x)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是()

⑵已知函數(shù)/'(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x?0時，f(x)=ln(x+1),則函數(shù)f(x)的

大致圖象為()

(3)已知f(x)=logjx|(a>0,且aWl)滿足f(—5)=1,則函數(shù)g(x)=logj*—11的減區(qū)間為

【解析】⑴選AD.易知g(x)=log為偶函數(shù).當(dāng)OVaVl時,f(x)=/'單調(diào)遞減，g(x)

=logjx|在(0,+8)上單調(diào)遞減，此時A選項符合題意.當(dāng)a>l時，/?(舊：魯會單調(diào)遞增,

g(x)=log在(0,+8)上單調(diào)遞增，此時D選項符合題意.

(2)選C.先作出當(dāng)*20時，f(x)=ln(x+1)的圖象，顯然圖象經(jīng)過點(0,0),再作此圖象

關(guān)于y軸對稱的圖象，可得函數(shù)f(x)在R上的大致圖象，即選項C中的圖象符合題意.

(3)因為f(—5)=1,所以log“5=l,即a=5,所以g(x)=logs|*—11,圖象如圖所示,

根據(jù)圖象可得，函數(shù)g（x）的減區(qū)間為（一8,1）.

答案：（一8,1）

，一題多變

本例⑶條件不變，求函數(shù)為（X）=llog^l的增區(qū)間.

【解析】因為a=5,所以力（x）=|logsxl,函數(shù)為（x）的圖象如圖所示:

根據(jù)圖象可得，函數(shù)方5）的增區(qū)間為（1,+8）.

，規(guī)律方法

對數(shù)函數(shù)的圖象識別及應(yīng)用

自主完善，老師焉尋

（1）在識別函數(shù)圖象時，要善于利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊點（與坐標(biāo)軸的交點

等）；

（2）一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）、值域

（最值）、零點時，常利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

提醒：對數(shù)函數(shù)圖象進行左右平移時，一定要畫出相應(yīng)的漸近線.

，對點訓(xùn)練

1.如圖，若G,C2分別為函數(shù)y=/og,x和y=/og,x的圖象，則（)

A.0<a<b<lB.0<b<a<l

C.a>b>lD.b>a>l

【解析】選5作直線y=l,則直線與C”&的交點的橫坐標(biāo)分別為a,b易知0<b<a〈l.

2.函數(shù)y=2/og（l—x）的圖象大致是（）

【解析】選6函數(shù)y=2/og4(l—x)的定義域為(-8,i),排除/，B；又函數(shù)y=2/og(l—

x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，排除〃

3.函數(shù)y=|/o9(x+l)|的值域為,單調(diào)減區(qū)間為.

【解析】函數(shù)y=|"Z儂(x+l)|的圖象如圖所示，由圖象知，其值域為[0,+8),單調(diào)減區(qū)

間是(-1,0].

答案：[0,+8)(-1,0]

蜀【加練備選】

如圖，直線x=t與函數(shù)f(x)=/ogx和g(x)=/o隊X—1的圖象分別交于點A,B,若函數(shù)y

=f(x)的圖象上存在一點C,使得aABC為等邊三角形，則t的值為()

J(x)=log3jr

/x)=log3x-l

3m+3

4年

C.3m+3

D.3^3+3

【解析】選C由題意A(t,log-iV),B(t,—1),|AB|=1,

設(shè)C(x,1。芻x),因為aABC是等邊三角形,

所以點C到直線AB的距離為手，

所以t-x邛,x=t一坐,中點坐標(biāo)公式得

logt+log^—Y,1

=32=I"口

而I"+_也__L用吻I3m+3

所以t—2—，解得t—彳.

?考點三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用I多維探究

高考考情：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用是高考命題熱點，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，重

點考查比較大小、解不等式等問題，難度中檔.

,角度1比較大小

2

［典例2］(2020?全國卷III)設(shè)b=/o既3,c=鼻，則()

O

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

112

【解析】選4因為a=wlog2"<-log^=~=c,

o3o0

112

b=-7<?^3：!>-7o^25=-=c,所以2<(:<：13.

ooO

?角度2解方程或不等式

［典例3］(1)方程/。9(x—1)=2—1儂(x+1)的解為.

⑵已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在［0,+8)上單調(diào)遞增，/1力=0,則不等式

彳1%《>0的解集為.

【解析】(1)原方程變形為log?(x—l)+log2(x+l)=log2(V—1)=2,即7-1=4,解得x

=±m(xù)，

又X>1,所以x=#.

答案：*=乖

⑵因為F(x)是R上的偶函數(shù)，所以它的圖象關(guān)于y軸對稱.因為f(x)在［0,+8)上單調(diào)遞

增，所以f(x)在(一8,0］上單調(diào)遞減，由用=0,得=0,函數(shù)的大致圖象如圖

所示.

所以>0=log]X<—1或log!,

88

解得x>2或0<x1,

所以xd(o,2U(2,+°°).

答案：(o,習(xí)u(2,+8)

?角度3對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

［典例4］(1)若函數(shù)/1(才)=1。&(*一且入一3M在區(qū)間(一8,—2］上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值

范圍是()

A.(―°°,4)

B.(-4,4］

C.(一8,-4)U［-2,+8)

D.［-4,4)

(2)(2021?洛陽模擬)已知函數(shù)/'5)=1。82(1+4')一k，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)f(x)在(-8,0］上為增函數(shù)

B.函數(shù)/'(x)的值域為R

C.函數(shù)/'(x)是奇函數(shù)

D.函數(shù)/'(*)是偶函數(shù)

【解析】(1)選D.由題意得寸一ax-3a〉0在區(qū)間(-8,—2］上恒成立且函數(shù)_/=f—ax—3a

在(一8,—2］上單調(diào)遞減，則］》一2且(一2)2—(—2)a—3a>0,解得實數(shù)a的取值范圍是［一

4,4).

(2)選D.根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=log2(l+4”)—x,其定義域為R,有/'(—x)=log(l+/)+x

5

v

=log2(l+4)—x—f{x),所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則D正確，C錯誤，對于A,/(—1)=log2-

乙

>1=f(o),f(x)不是增函數(shù)，A錯誤，對于B,f(x)=log2(l+4*)—X=log2(/+2”),設(shè)￡

+2*22,當(dāng)且僅當(dāng)*=0時等號成立，則方的最小值為2,故/'(x)eiogz2=l,即函數(shù)

的值域為［1,+8),B錯誤.

，規(guī)律方法

1.比較對數(shù)式大小的方法I自主完善，老而稻導(dǎo)

⑴能化為同底的化為同底對數(shù)式，利用單調(diào)性比較大小:

⑵不能化為同底，一般引入“1,0,-1”等中間量比較大小;

(3)底數(shù)與“1”的大小不確定時，要分類討論.

2.形如logax〉b的不等式，應(yīng)化為log/x>6=log“a"的形式，用y=logj的單調(diào)性求解.

3.求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，一定要注意定義域及復(fù)合函數(shù)的

構(gòu)成.

d多維訓(xùn)練

1.(2022?上饒模擬)已知a=logs3,Z?=logl69,<?=0.3"1,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

【解析】選D.a=lv,b=-1~,

log35log34

因為log35>log34>log33=L

所以a<b<\,a—2<0,

所以0.3'7>0.3°=1,所以c>b>a.

2.已知函數(shù)/<x)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)=

log,fU的單調(diào)遞增區(qū)間為()

2

A.(一8,—3],[o,3]

B.[—3,0],[3,+°°)

C.(—8,—5),[0,1)

D.(—1,0],(5,+00)

【解析】選C.因為y=log|X在(0，+8)上為減函數(shù)，所以要求y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間,

且f(x)>0.由題圖可知，使得函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減且滿足fG)>0的x的取值范圍是

(—8,—5)和［0,1).

因此，函數(shù)gG)=log|f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-5),［0,1).

3.(多選題)(2。22?濟南模擬)已知實數(shù)陽必2滿足如"="=^,則下列關(guān)系式中可能成

立的是()

A.x>