課件ch9-2一階微分方程

一一 變量可分離的一階方一階方程Fx,yy'也可表示 y'f(x,若fx,y)gxhy)，

即dyfx,y)dyg(x)h(y)

變量可分離的一階方h(改寫為dyg(x)dx 兩邊h(dy

g(x)dx例 求微分方程

(1y2(1x2)

滿足條y(0)1的特解．dy(1y2)

2ydy2x解 (1x2)

1 1x兩邊積

2ydy 2xdx 1 1x

即ln(1y2ln(1x2ln 通解為1y2C(1x2代入y(0)1， C所求特解為1y22(1x2注 方程中的不定積分號(hào)不帶有任意常數(shù)在方程中，１ lnx視問題需要，有時(shí)ln例2求解微分

dy2xy的通解 分離變

dy2xdx,y兩端積分dy2yln

x21

yeC1ex或者yeC1

2yCex為所求通解2若積分后寫為lnyx2lnCyCex2例 ，所受空氣阻力與速度成正比，并降落傘下落速度為v(t)．降落傘在下降過程中，同時(shí)受到重力P與阻力R的作用．

R重力Pmg，阻力Rkv，

方向與v一致；方向與v相反

P從而降落傘所受外力 Fmg根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律Fma (a為加速度)，可mdvmg分離變量后可得

dtmg 兩邊積

（或者

tdtmg 1ln(mgkv)tC m mgkvektkm

vv0mg 0m vmgm

k

(C

) 初始條件為v(0)0，代入上式得Ckvmg(1ekt于是所求的特解 k例4.有高為1米的半球形容器,水從它的底部小孔流出,小孔橫截面積為1平方厘米(如圖). 容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過程中容器里解由力學(xué)知識(shí)得,水從孔口流QdV0.62 2gh流量系數(shù)孔口截面面積重力加S1cm2 由力學(xué)知dV 2ghdt, 設(shè)在微小的時(shí)間間[t,t

hh o

100水面的高度由h降至hdhr 1002(100h)2

dVr200hh2QdV0.622ghdVQdV0.622gh比較(1)和(2)得:(200hh2dh

2ghdt,(200hh2)dh 2ghdt,h即為未知函數(shù)的微分方程 可分離變hdt

t

)C2g2gth t

C

2g2g

14105,所求規(guī)律為t

2g2g

(7105 例5某車間體積為12000立方米,開始時(shí)空氣中含新鮮空氣,同時(shí)以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出,解設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開tCO2的含量為x(t在[t,tdt]內(nèi)CO2的通入2000dtCO2的排出量2000dtx(tCO2的改變量CO2的通入量CO2的排出量12000dx2000dt0.032000dtx(t), (x x0.03Ce6

x

t

0.1,C x0.030.07e6x|t600.03

6分鐘后,車間內(nèi)CO2的百分比降低 二二.形如dyP(x)yQ( 的方程，稱為一階線性方程其中P(x)、Q( 是連續(xù)的Q(x)稱為自由項(xiàng)當(dāng)Q(x) 時(shí)，dyP(x)y 稱為一階線性齊次方程當(dāng)Q(x) 時(shí)，稱為一階線性非齊次方程一階線性齊次方 dyP(x)y

dyP(x)dx兩邊積分所以通解為

dyyyP(x)

Px)dx得lnyPx)dxln例 求微分方解原方程化為

dy3y0dy3

的通解分離變量，得dyy兩邊積分，得

lny3xlnC，即通解 yCe3 (C為任意常數(shù)另解：(直接套 P(x)所求通解 3所求通解 yC (C為任意常數(shù)．一階線性非齊次dyP(x)yQ(x)P(x)令yu(x)

線性齊次dyP線性齊次dyP(xy

P(x) P(x)y'u'(x)e P(x) P(x)yy代入方程(1)u'(x)e

P(x)

P(x) P(x)

u(x)

[P(x)]P(x)u(x)e

Q(即即u'x P(x)

Q( 或u'(x)Q(x) P(x)dx，兩邊積分， u(x)Q(x)eP(x)dxdx方程dyPx)yQx)

的通解yy P(x)P(x)Q(x)dxC通解可化為

P(x)y

這種方法稱 常數(shù)變易(戲)P(x) P(x) Q(x) 結(jié)論一階階線性非齊次方程=對(duì)應(yīng)齊次線性方程的通解+例 求解初值問

y(1) P(x)3，Q(x)e3x代入通 ，3dx

3

3 y dxC e3 e3x[xy(1)0，得y(1)e3[1C0，

C故所求特解為

ye3x(x例 求微分方程xy'ycos 的通解解方程變形 y'1ycos Px1，Qxcosx 所以通解為

cos

1dx y

xdx

ex

dxCelnx

cosxelnxdxC x1cosxdxCx

1(sinxCx例 求方程y'程變

x

的通解dxx

1xy即dx1x

所以通解為 1dy 1 xe

ye

dyCy[yelnydyy(yC例10.如圖所示,平行與y軸的動(dòng)直線被曲yf(x)yx3(x0)截下的線段PQ之線段長在數(shù)值上等于陰影部分的面積數(shù)值,求曲線f(x).x x

f(x)dx (x3(x3f(yQyoPxyxxydxxx0

兩邊求導(dǎo)yy3x2

(解此微分方y(tǒng)y3x2yedxC3x2e Cex3x26x由y|x0 得C所求曲線為y3(2exx22x三三 齊次型微分方一階方

dyf(x,y)fx,ygy)，則稱此方程為齊次型方程x例 dyx x

1 1x x

y2sin 1(y)2siny x y x如何化為變量可分離的微分方

uyx作代換，化為變量可分離的方令uy， 則yxu，

uxdu 代入

得到新的方程uxdug(u) g(u)

或dug(u 兩邊積

dxg(u) 解出ux,C

所以yx,Cx例 解方

y2x2dyxydy 解原方程可化為

dy y

(y)2 xyx

yx令uy，則yx dyuxxuxdu

所 ， u

x

u分離變量 (11)du 兩邊積分

(1

1)du ulnuClnx即所以所給方程的通解為

lnxuuC，lnyyC．例 求方程(x2y2)dy2xydx0滿足y(0)1的特解解令v (y0)，則xvy，dxydvvy原方程可化為(v2y2y2)dy2vy2(ydvvdy) (y (v21)dy2vy分離變量得

dy2vdv v2 2vdv兩邊積分

yv2

得ln(v21)lnyln即v21C 所求通解y

x2y2又因y(0)1，得所以所求特解為

Cx2y2dyydx dyy1dx

!d(y1)(y1)dx dz z方程化為：dx

令y1dy yx d(y1)(y1)(x1)dx xy d(x (x1)(y1)例 求方程(xy1)dx(4yx1)dy 的通解 令xsh，ytk，代入原方程，得

dxds，dyd(sthk1)ds(4ts4kh1)dt 解方程

hk14kh1

得h1k于是令xs1，yt原方程化為(st)ds(4ts)dtd t

令u u 4sd t4s

2于是方程化 usduu1d 4u

或sdu4u 1，ds 4u1分離變量 4u1du兩邊積

4u24u1du

ds4u2 ln(4u21)arctan(2u)Clns2， lns2(4u21)arctan(2u)C， ln(4t2s2)所求通解為

s

Cln[4y2(x1)2]arctan(2y)Cx小結(jié):可化為齊次的方程定

形如dyf(axby )的微分方 a1xb1y解

令xXh,yYk，

（其中h和k是待定的常數(shù)dxdX dy注dY aXbYahbk f(a

X

Y

h

kc 其中h，k由方程

ahbkcahbkc

確定 例 求方程y'1

xy

的通解分析程實(shí)際上就是yxy xy 令uxy4，則du1dy， 原方程化為du1

dy1du， 分離變量得兩邊積分

2udu2udu2dx，得所求通解為

u22x(xy4)22xC例15.拋物線的光學(xué)性質(zhì)實(shí)例:車燈的反射鏡面應(yīng)該是 如圖設(shè)旋轉(zhuǎn)軸ox 光源在 L:yy(x設(shè)M(x,y)為L上任一點(diǎn) xMT為切線,斜率為 LMN為法線,斜率為1LOMNNMR分析:只需證明曲線為拋物tanOMNtanNMR 由夾角正 得 1

M tanOMN

y yxoyx1 tanNMR

xyL y得微分方

tan(-)={tan()-yy22xyy

yxy

)xx令u

y，uxdu

1 11分離變

dx(1(1u2)1令1u2t

dxCxt(t Cx積分lnt

Cu2u2平方化簡

Cu2C

2Cx代回uy,x所求曲線為拋物線

y22CxC 拋物2下一章的解析幾何得到所求旋轉(zhuǎn)軸為ox軸的旋轉(zhuǎn)拋物面方程為y2z22C(xC2四四.伯努利方程方 dyP(x)yQ(x)

(n0,

稱為伯努利方程(2)式兩端同乘以yn，得到(1n)yndy(1n)P(x)y1n(1n)Q(x)注意到 dy1n(1n)yndy，

令zy1n則(2)式化dz(1n)Pxz(1nQ所求通解為

y1n e(n1)P(x)

(1n)Q(x)e(1n)P(x)dxdxC 3y例 求方程y'yx3y

的通解解方程可化2

y3y'y3 1令zy3 因此原方程可化為

3 所以通解為

dz2z2 2dx

2

2x

2 y3z

xe

dxCe

xe

dxC2x

2

2

2e xe

e

CCe x 例 求方程(y3x2xy)y' 的通解解方程可化為

dxxyx2y3 dxyxy3x2

x2dx