2022年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編 專題14 解直角三角形（學(xué)生版+解析版）

專題14解直角三角形

--選擇題

1.（2022?廣西貴港）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹的高度，在點(diǎn)A處測得樹頂C的仰角為45。，在

點(diǎn)B處測得樹頂C的仰角為60。，且4,8,0三點(diǎn)在同一直線上，若AB=16m,則這棵樹C￡）的高度是（）

A.8(3-G)mB.8(3+G)mC.6(3-拘mD.6(3+@m

2.（2022?廣西貴港）如圖，在4x4網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1,頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若AABC的頂

點(diǎn)均是格點(diǎn)，則cos/BAC的值是（）

3.（2022?福建）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中N43C=90。，ZC4B=60°,A2=8,點(diǎn)A對應(yīng)直

尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得EA8C移動到VA6C,點(diǎn)/V對應(yīng)直尺的刻度為0,則四

C.192D.16()73

4.（2022?廣西）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，A3的長為12米，AB與AC的夾角為a,則高8c

是（)

C.2-米12M

A.12sina米B.12cos。米D.-------米

sinacosa

5.（2022?貴州畢節(jié)）如圖，某地修建一座高BC=5m的天橋,已知天橋斜面AB的坡度為1：G，則斜坡A8

的長度為（）

A.10mB.logmC.5mD.56m

6.（2022?黑龍江牡丹江）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30。，小明在坡比為5回12的山坡上走1300米,

此時小明看山頂?shù)慕嵌葹?0°,求山高（）

12

A.（600—250豆）米B.（600g—250）米C.（350+3506）米D.500萬米

7.（2022?湖北十堰）如圖，坡角為a的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB,當(dāng)太陽光線與水平線成

45。角沿斜坡照下，在斜坡上的樹影BC長為m,則大樹4B的高為（）

水平地面

A.機(jī)（cosa-sina）B.ni（sina-cosa）C.ni（cosa-tana）D.——:----------

sinacosa

8.（2022?湖北荊州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,8分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在08

上，OC:3c=1:2,連接AC,過點(diǎn)。作OP〃A8交AC的延長線于尸.若尸（1,1）,則tanNOAP的值是（）

9.（2022?廣西玉林）如圖，從熱氣球A看一棟樓底部C的俯角是（）

B.ZACBC.ZBACD.ADAC

10.（2022?遼寧）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,分別以點(diǎn)A和C為圓心，以大于;AC的長為半

徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)例和M作直線MN分別交ARBC于點(diǎn)E,尸，則AE的長為（）

11.（2022?福建）如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC,其中AB=AC,ZABC=2T,BC=

44cm,則高AO約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin27°?0.45,cos27°?0.89,tan27°?（）.51）

A.9.90cmB.11.22cmC.19.58cmD.22.44cm

12.（2022?湖北武漢）由4個形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)4,

B,C都在格點(diǎn)上，回0=60。，則tanEIABC=（）

A1R1「后D6

3232

二.填空題

13.(2022?黑龍江綏化)定義一■種運(yùn)算；sin(a+^)=sinacos+cosasin/7,

sin（a-p}=sinacos/?-cosasin/?.例如：當(dāng)c=45。，/?=30。時，sin（45°+30°）=

去爭爭白絲”則sinl5。的值為--------

14.（2022?湖南）我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家趙爽在為天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》作注解時，用4個全等的直角三

角形和中間的小正方形拼成一個大正方形，這個圖被稱為"弦圖"，它體現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)的成就.如圖，已

知大正方形ABC。的面積是100,小正方形EFG”的面積是4,那么tan/AD尸=_.

4

4

B

15.（2022.遼寧）如圖，4為射線QN上一點(diǎn)，用為射線上一點(diǎn)，N與兒。=60。,。4=3,8人=1.以

為邊在其右側(cè)作菱形AB.C.D,,且NBAR=60°,C,D,與射線OM交于點(diǎn)號,得VC/也；延長交射線ON

于點(diǎn)外,以坊4為邊在其右側(cè)作菱形2GA，且/約42=60°，62與射線O”交于點(diǎn)名，得VC//,；

延長BQ交射線QN于點(diǎn),以邑4為邊在其右側(cè)作菱形A383G2，且=60°,QD,與射線OM交于

點(diǎn)兒，得△C3B3B4；.“，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則△。②叱與值與⑵的面積.

G

16.（2022?山東青島）如圖，已知413643=4<7,8。=16,4），友:,443。的平分線交"）于點(diǎn)區(qū)且

DE=4.將NC沿GM折疊使點(diǎn)C與點(diǎn)E恰好重合.下列結(jié)論正確的有：（填寫序號）

①雙）=8②點(diǎn)E到AC的距離為3③EM=￥@EM//AC

17.（2022?廣西桂林）如圖，某雕塑位于河段OA上，游客P在步道上由點(diǎn)。出發(fā)沿。B方向行走.已

知財。8=30。，MN=2O例=40m,當(dāng)觀景視角I3MPN最大時，游客P行走的距離OP是米.

18.（2022?貴州黔東南）如圖，校園內(nèi)有一株枯死的大樹AB,距樹12米處有一棟教學(xué)樓CD,為了安全,

學(xué)校決定砍伐該樹，站在樓頂。處，測得點(diǎn)8的仰角為45。，點(diǎn)A的俯角為30。，小青計算后得到如下結(jié)論：

①ABV18.8米；②CO28.4米；③若直接從點(diǎn)A處砍伐，樹干倒向教學(xué)樓CO方向會對教學(xué)樓有影響；

④若第一次在距點(diǎn)A的8米處的樹干上砍伐，不會對教學(xué)樓C。造成危害.其中正確的是.（填寫序

號，參考數(shù)值：73?1.7,V2?1.4）

三.解答題

19.（2022?遼寧錦州）某數(shù)學(xué)小組要測量學(xué)校路燈尸-M-N的頂部到地面的距離，他們借助皮尺、測角僅

進(jìn)行測量，測量結(jié)果如下：

測量項(xiàng)目測量數(shù)據(jù)

從A處測得路燈頂部P的仰角aa=58。

從D處測得路燈頂部P的仰角P0=31。

測角儀到地面的距離AB=DC=1.6m

兩次測量時測角儀之間的水平距離BC=2m

計算路燈頂部到地面的距離PE約為多少米？（結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù);

cos31°B0.86,tan31°a0.60,cos58°?0.53,tan58°?1.60)

20.（2022?山東臨沂）如圖是一座獨(dú)塔雙索結(jié)構(gòu)的斜拉索大橋，主塔采用倒“Y〃字形設(shè)計，某學(xué)習(xí)小組利用

課余時間測量主塔頂端到橋面的距離.勘測記錄如下表:

活動內(nèi)容測量主塔頂端到橋面的距離

成員組長：XXX組員：XXXXXXXXXXXX

測量工具測角儀，皮尺等

E

測量示意圖說明：左圖為斜拉索橋的側(cè)面示意圖，點(diǎn)A、C,D,B

在同一條直線上，EFYAB,點(diǎn)A,C分別與點(diǎn)B,D

ACDB關(guān)于直線EF對稱

測量數(shù)據(jù)NA的大小28°

AC的長度84m

CO的長度12m

請利用表中提供的信息，求主塔頂端E到A8的距離（參考數(shù)據(jù)：sin28。=0.47,cos28。=0.88,tan28°?0.53）.

21.（2022?山東聊城）我市某轄區(qū)內(nèi)的興國寺有一座宋代仿木樓閣式空心磚塔，塔旁有一棵唐代古槐，稱為

“宋塔唐槐"（如圖①）.數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機(jī)測量古槐的高度，如圖②所示，當(dāng)無人機(jī)從位于塔基2

點(diǎn)與古槐底D點(diǎn)之間的地面H點(diǎn),豎直起飛到正上方45米E點(diǎn)處時，測得塔AB的頂端A和古槐CD的頂

端C的俯角分別為26.6。和76。（點(diǎn)B,H,。三點(diǎn)在同一直線上）.已知塔高為39米，塔基B與樹底。的水

平距離為20米，求古槐的高度（結(jié)果精確到1米）.（參考數(shù)據(jù)：sin26.6°?0.45,cos26.6。。0.89,

tan26.6°a0.50,sin76°?0.97,cos76°?0.24,tan76°?4.01）

22.（2022?內(nèi)蒙古通遼）某型號飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算A8的長度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)

后一位，73?1.7).

23.(2022?湖南)計算：2cos45°+(%-3.14)°+1—亞|

24.(2022?湖南)閱讀下列材料：

在AABC中，NA、DB、NC所對的邊分別為“、b、J求證：—

sinAsinB

證明：如圖1,過點(diǎn)C作CD_LAB于點(diǎn)￡),則：在RtABCD中，CD=as\nB

在RiAACD中，CD=bsinAasinB=Z?sinA

sinAsinB

根據(jù)上面的材料解決下列問題：

(1)如圖2,在AABC中，NA、DB、NC所對的邊分別為。、b、c,求證：

smBsinC

(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境.如圖3,規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美

化，已知ZA=67。，28=53。，AC=80米，求這片區(qū)域的面積.(結(jié)果保留根號.參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.8,

sin67°?0.9)

25.(2022?黑龍江大慶)如圖，為了修建跨江大橋，需要利用數(shù)學(xué)方法測量江的寬度A8.飛機(jī)上的測量人

員在C處測得A,8兩點(diǎn)的俯角分別為45。和30。.若飛機(jī)離地面的高度CD為1000m,且點(diǎn)。，A,8在同

一水平直線上，試求這條江的寬度4B（結(jié)果精確到1m,參考數(shù)據(jù)：夜。1.4142,6^1.7321）

26.（2022?湖南郴州）如圖是某水庫大壩的橫截面，壩高8=20m,背水坡8C的坡度為彳=1：L為了對

水庫大壩進(jìn)行升級加固，降低背水坡的傾斜程度，設(shè)計人員準(zhǔn)備把背水坡的坡度改為=1:6,求背水坡

新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離.（參考數(shù)據(jù)：72?1.41，A/3?1.73.結(jié)果精確到0.1m）

27.（2022?海南）無人機(jī)在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛.如圖8所示，小明利用無人機(jī)測量大樓的高度，無人機(jī)在

空中P處，測得樓以＞樓頂。處的俯角為45。，測得樓A8樓頂A處的俯角為60。.已知樓A8和樓之間

的距離8c為100米，樓A8的高度為10米，從樓A8的A處測得樓CD的。處的仰角為30。（點(diǎn)A、B、C、

D、尸在同一平面內(nèi)）.⑴填空：ZAPD=度，ZADC=度；

⑵求樓CQ的高度（結(jié)果保留根號）；⑶求此時無人機(jī)距離地面BC的高度.

N

。

0一

呂

呂

呂

呂

0

呂

呂

43OOD

0--呂

0D0

C

28.（2022?遼寧）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要停靠到碼頭C,貨輪航行到A處時，測得碼頭C

在北偏東60。方向上.為了躲避A,C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30。方向繼續(xù)航行，當(dāng)它

航行到B處后，又沿著南偏東70。方向航行20海里到達(dá)碼頭C.求貨輪從A到8航行的距離（結(jié)果精確到

0.1海里.參考數(shù)據(jù):sin500=0.766,cos500=0.643,tan500=1.192).

北

29.（2022?四川遂寧）數(shù)學(xué)興趣小組到一公園測量塔樓高度.如圖所示，塔樓剖面和臺階的剖面在同一平面,

在臺階底部點(diǎn)A處測得塔樓頂端點(diǎn)E的仰角ZGAE=50.2°,臺階AB長26米，臺階坡面AB的坡度/=5:12,

然后在點(diǎn)B處測得塔樓頂端點(diǎn)E的仰角AEBF=634°,則塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為多少米.

（參考數(shù)據(jù)：lan50.2°=1.20,tan63.4°?2.00,sin50.2°=0.77,sin63.4°a0.89）

30.（2022?四川廣安）八年級二班學(xué)生到某勞動教育實(shí)踐基地開展實(shí)踐活動，當(dāng)天，他們先從基地門口A

處向正北方向走了450米，到達(dá)菜園8處鋤草，再從B處沿正西方向到達(dá)果園C處采摘水果，再向南偏東

37。方向走了300米，到達(dá)手工坊。處進(jìn)行手工制作，最后從。處回到門口A處，手工坊在基地門口北偏西

65。方向上.求菜園與果園之間的距離.（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：sin65°=0.91,cos65°=0.42,tan65°=2.14,

sin370=0.60,cos370=0.80,tan370=0.75

31.（2022?內(nèi)蒙古呼和浩特）“一去紫臺連朔漠，獨(dú)留青冢向黃昏”，美麗的昭君博物院作為著名景區(qū)現(xiàn)已成

為外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地.如圖，為測量景區(qū)中一座雕像A8的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在。處

用測角儀測得雕像頂部A的仰角為30。，測得底部8的俯角為10。.己知測角儀CD與水平地面垂直且高度為

1米，求雕像A8的高.（用非特殊角的三角函數(shù)及根式表示即可）

32.（2022?貴州銅仁）為了測量高速公路某橋的橋墩高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在同一水平地面C、。兩處實(shí)地

測量，如圖所示.在C處測得橋墩頂部A處的仰角為60。和橋墩底部B處的俯角為40。，在。處測得橋墩頂

部4處的仰角為30。，測得C、。兩點(diǎn)之間的距離為80m,直線A3、在同一平面內(nèi)，請你用以上數(shù)據(jù)，

計算橋墩AB的高度.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin40°?0.64,cos40°?0.77,tan40°?0.84,>73?1.73）

33.（2022?貴州遵義）如圖1所示是一種太陽能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構(gòu)成如圖2,A3是燈桿，

8是燈管支架，燈管支架8與燈桿間的夾角NBDC=60。.綜合實(shí)踐小組的同學(xué)想知道燈管支架CO的長

度，他們在地面的點(diǎn)E處測得燈管支架底部。的仰角為60。，在點(diǎn)尸處測得燈管支架頂部C的仰角為30。，

測得AE=3m,EF=8m（A,E,尸在同一條直線上）.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解答下列問題：⑴求燈管支架底

部距地面高度AD的長（結(jié)果保留根號）;（2）求燈管支架CD的長度（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：小\.73）.

34.（2022?山東煙臺）如圖，某超市計劃將門前的部分樓梯改造成無障礙通道.已知樓梯共有五級均勻分布

的臺階，高AB=0.75m,斜坡AC的坡比為1：2,將要鋪設(shè)的通道前方有一井蓋，井蓋邊緣離樓梯底部的

最短距離ED=2.55m.為防止通道遮蓋井蓋，所鋪設(shè)通道的坡角不得小于多少度？（結(jié)果精確到1）

（參考數(shù)據(jù)表）

計算器按鍵順序計算結(jié)果（己精確到0.001）

12ndFl5卜］EEEBg11.310

0.003

i2ndF1iMFirnrnmM14.744

BCOCD(ZDCD(DCDS0.005

35.（2022?湖北恩施）如圖，湖中一古亭，湖邊一古柳，一沉靜，一飄逸、碧波蕩漾，相映成趣.某活動小

組賞湖之余，為了測量古亭與古柳間的距離，在古柳A處測得古亭B位于北偏東60。，他們向南走50m到

達(dá)。點(diǎn)，測得古亭8位于北偏東45。，求古亭與古柳之間的距離AB的長（參考數(shù)據(jù)：72^1.41,6=1.73,

結(jié)果精確到1m）.

36.（2022?吉林）動感單車是一種新型的運(yùn)動器械.圖①是一輛動感單車的實(shí)物圖，圖②是其側(cè)面示意

圖.△8C。為主車架，AB為調(diào)節(jié)管，點(diǎn)A,B,C在同一直線上.已知BC長為70cm,I3BC。的度數(shù)為58。.當(dāng)

AB長度調(diào)至34cm時，求點(diǎn)4到C。的距離AE的長度（結(jié)果精確到1cm）.（參考數(shù)據(jù):$沿58。=0.85,郎58。=0.53,

tan580=1.60)

圖1

37.（2022?山西）隨著科技的發(fā)展，無人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活，如代替人們在高空測量距離和角度.某

校"綜合與實(shí)踐”活動小組的同學(xué)要測星42,CD兩座樓之間的距離，他們借助無人機(jī)設(shè)計了如下測量方案:

無人機(jī)在4B,C。兩樓之間上方的點(diǎn)。處，點(diǎn)。距地面AC的高度為60m,此時觀測到樓AB底部點(diǎn)A處的

俯角為70。，樓C。上點(diǎn)E處的俯角為30。，沿水平方向由點(diǎn)。飛行24到達(dá)點(diǎn)F,測得點(diǎn)E處俯角為60。，

其中點(diǎn)A,B,C,D,E,F,。均在同一豎直平面內(nèi).請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓AB與CQ之間的距離AC的長

（結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù)：sin70°?0.94,cos70°?0.34,tan70°?2.75,^^1.73）.

38.（2022?河南）開封清明上河園是依照北宋著名畫家張擇端的《清明上河圖》建造的，拂云閣是園內(nèi)最高

的建筑.某數(shù)學(xué)小組測量拂云閣。C的高度，如圖，在A處用測角儀測得拂云閣頂端。的仰角為34。，沿

AC方向前進(jìn)15m到達(dá)8處，又測得拂云閣頂端。的仰角為45。.已知測角儀的高度為1.5m,測量點(diǎn)4,B

與拂云閣。C的底部C在同一水平線上，求拂云閣。C的高度（結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù)：sin34°?0.56,

cos34°B0.83,tan34°?0.67).

39.（2022?四川宜賓）宜賓東樓始建于唐代，重建于宜賓建城2200周年之際的2018年，新建成的東樓（如

圖1）成為長江首城會客廳、旅游休閑目的地、文化地標(biāo)打卡地.某數(shù)學(xué)小組為測量東樓的高度，在梯步4

處（如圖2）測得樓頂。的仰角為45。，沿坡比為7：24的斜坡AB前行25米到達(dá)平臺8處，測得樓頂。

的仰角為60。，求東樓的高度。E.（結(jié)果精確到1米.參考數(shù)據(jù)：6拉L7,

圖1圖2

40.（2022?湖南岳陽）喜迎二十大，"龍舟故里"賽龍舟.丹丹在汩羅江國際龍舟競渡中心廣場點(diǎn)P處觀看200

米直道競速賽.如圖所示，賽道AB為東西方向，賽道起點(diǎn)A位于點(diǎn)尸的北偏西30°方向上，終點(diǎn)8位于點(diǎn)P

的北偏東60。方向上，A8=200米，則點(diǎn)尸到賽道43的距離約為米（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù):

1.732).

41.（2022?湖北荊州）荊州城徽“金鳳騰飛"立于古城東門外.如圖，某校學(xué)生測量其高AB（含底座），先在

點(diǎn)C處用測角儀測得其頂端4的仰角為32。，再由點(diǎn)C向城徽走6.6根到E處，測得頂端A的仰角為45。，

已知8,E,C三點(diǎn)在同一直線上，測角儀離地面的高度CO=EF=15w,求城徽的高A8.（參考數(shù)據(jù):

sin32°?0.530,cos32。。0.848,tan32°?0.625)

42.（2022?廣西賀州）如圖，在小明家附近有一座廢舊的煙囪，為了鄉(xiāng)村振興，美化環(huán)境，政府計劃把這片

區(qū)域改造為公園.現(xiàn)決定用爆破的方式拆除該煙囪，為確定安全范圍，需測量煙囪的高度A8,因?yàn)椴荒苤?/p>

接到達(dá)煙囪底部8處，測量人員用高為1.2m的測角器在與煙囪底部B成一直線的C,。兩處地面上，分別

測得煙囪頂部4的仰角/3'仁4=60。,487571=30。，同時量得CO為60m.問煙囪A8的高度為多少米？（精

確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：加￡1.414,6=1.732）

43.（2022?內(nèi)蒙古包頭）如圖，48是底部8不可到達(dá)的一座建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，測角儀器的高

，歸=CG=1.5米.某數(shù)學(xué)興趣小組為測量建筑物AB的高度，先在H處用測角儀器測得建筑物頂端A處的

仰角NADE為a,再向前走5米到達(dá)G處，乂測得建筑物頂端4處的仰角4CE為45。，已知

7

tana=§,AB_L3H,H,G,8三點(diǎn)在同一水平線上，求建筑物A8的高度.

44.（2022?湖北武漢）小紅同學(xué)在數(shù)學(xué)活動課中測量旗桿的高度，如圖，己知測角儀的高度為1.58米，她

在A點(diǎn)觀測桿頂E的仰角為30。,接著朝旗桿方向前進(jìn)20米到達(dá)C處,在。點(diǎn)觀測旗桿頂端E的仰角為60。,

求旗桿所的高度.（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（參考數(shù)據(jù)：V3?1.732）

E

^1130°2460。

水平線

BC

45.（2022?江蘇泰州）小強(qiáng)在物理課上學(xué)過平面鏡成像知識后，在老師的帶領(lǐng)下到某廠房做驗(yàn)證實(shí)驗(yàn).如圖，

老師在該廠房頂部安裝一平面鏡MN,MN與墻面AB所成的角回MNB=118。，廠房高AB=8m,房頂AM與水

平地面平行，小強(qiáng)在點(diǎn)M的正下方C處從平面鏡觀察，能看到的水平地面上最遠(yuǎn)處。到他的距離是多

少？（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：sin34°=0.56,tan34°=0.68,tan56°=1.48）

46.（2022?山東威海）小軍同學(xué)想利用所學(xué)的“銳角三角函數(shù)”知識測量一段兩岸平行的河流寬度.他先在

河岸設(shè)立A,B兩個觀測點(diǎn)，然后選定對岸河邊的一棵樹記為點(diǎn)M.測得A8=50機(jī)，ZMAB=22a,NMBA

=67°.請你依據(jù)所測數(shù)據(jù)求出這段河流的寬度（結(jié)果精確到

參考數(shù)據(jù)：sin22°1,cos22°55:5—,tan22°,sin67°,cos67°,tan67°.

47.（2022?黑龍江綏化）如圖所示，為了測量百貨大樓頂部廣告牌的高度，在距離百貨大樓30m的

A處用儀器測得N94C=30。；向百貨大樓的方向走10m,到達(dá)8處時，測得NEBC=48。，儀器高度忽略不

計，求廣告牌的高度.（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）

（參考數(shù)據(jù)：百=1.732,sin48°?0.743,cos48°?0.669,tan48°?1.111）

48.（2022?湖南長沙）為了進(jìn)一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù).某小區(qū)物業(yè)公司決定對小區(qū)環(huán)

境進(jìn)行優(yōu)化改造.如圖，AB表示該小區(qū)一段長為20m的斜坡，坡角NBAO=30。，于點(diǎn)。.為方便

通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為15。.（1）求該斜坡的高度80；（2）求斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)

A之間的距離.（假設(shè)圖中C,A,。三點(diǎn)共線）

49.（2022?廣西梧州）今年，我國"巔峰使命"2022珠峰科考團(tuán)對珠穆朗瑪峰進(jìn)行綜合科學(xué)考察，搭建了世界

最高海拔的自動氣象站，還通過釋放氣球方式進(jìn)行了高空探測.某學(xué)校興趣小組開展實(shí)踐活動，通過觀測

數(shù)據(jù),計算氣球升空的高度A8.如圖，在平面內(nèi)，點(diǎn)8,C,。在同一直線上，ABJ_C8垂足為點(diǎn)B,Z4CB=52°,

4408=60°,CD=200m,求AB的高度.（精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：sin52°?0.79.cos52°?0.62,

tan52°?1.28,6=1.73)

50.（2022?湖北鄂州）亞洲第一、中國唯一的航空貨運(yùn)樞紐一一鄂州花湖機(jī)場，于2022年3月19日完成首

次全貨運(yùn)試飛，很多市民共同見證了這一歷史時刻.如圖，市民甲在C處看見飛機(jī)A的仰角為45。，同時另

一市民乙在斜坡CF上的。處看見飛機(jī)A的仰角為30。，若斜坡CF的坡比=1：3,鉛垂高度。G=30米（點(diǎn)

E、G、C、B在同一水平線上）.求：

（1）兩位市民甲、乙之間的距離CD；（2）此時飛機(jī)的高度A8,（結(jié)果保留根號）

51.（2022?四川廣元）如圖，計劃在山頂A的正下方沿直線CD方向開通穿山隧道EF.在點(diǎn)E處測得山頂A

的仰角為45。，在距E點(diǎn)80m的C處測得山頂A的仰角為30。，從與F點(diǎn)相距10m的D處測得山頂A的仰

角為45。，點(diǎn)C、E、F、。在同一直線上，求隧道EF的長度.

52.（2022?四川眉山）數(shù)學(xué)實(shí)踐活動小組去測量眉山市某標(biāo)志性建筑物的高CO.如圖，在樓前平地A處測

得樓頂C處的仰角為30°,沿AO方向前進(jìn)60m到達(dá)B處，測得樓頂C處的仰角為45。，求此建筑物的高.（結(jié)

果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：72?1.41，6“1.73）

DBA

專題14解直角三角形

--選擇題

1.（2022?廣西貴港）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹的高度，在點(diǎn)A處測得樹頂C的仰角為45。，在

點(diǎn)8處測得樹頂C的仰角為60。，且A,8,。三點(diǎn)在同一直線上，若A8=16m,則這棵樹CO的高度是（）

A.8（3->/3）mB.8（3+V3）mC.6（3-\/3）mD.6（3+6）m

【答案】A

【分析】設(shè)CC=x,在RZV1OC中，ZA=45°,可得CQ=AQ=x,BD=16-x,在四△BCD中，用N8的正切函

數(shù)值即可求解.

【詳解】設(shè)CD=x,在即△4OC中，乙4=45°,

二CD=AD=x,

：.BD=16-x,

在RfZ\BCD中,NB=60°,

AtanB=^,

BD

即：；7^二百，

\6-x

解得x=8（3-月）,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)，根據(jù)直角三角形的邊的關(guān)系，建立三角函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?廣西貴港）如圖，在4x4網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1,頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若A43C的頂

點(diǎn)均是格點(diǎn)，則cos4AC的值是（）

B

Vio小4

Rjr-2----D.-

555

【答案】c

【分析】過點(diǎn)C作A8的垂線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：過點(diǎn)C作A8的垂線交A8于一點(diǎn)。，如圖所示,

?.?每個小正方形的邊長為1,

AC=?BC=M,AB=5,

設(shè)AD=x,則或)=5-x,

在RfAAC。中，DC1=AC1-AD-,

在Rt^BCD中，DC。=BC2-BD2,

...10-(5-x)2=5-解得x=2,

AD22s/5

ZBAC=故選：C.

cosAC~45~~5~

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是能構(gòu)造出直角三角形.

3.（2022?福建）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中NA8C=90。，ZC4B=60°,AB=8,點(diǎn)A對應(yīng)直

尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動到VAEC，，點(diǎn)A'對應(yīng)直尺的刻度為0,則四

A.96B.966C.192D.16073

【答案】B

【分析】根據(jù)直尺與三角尺的夾角為60。，根據(jù)四邊形ACCA'的面積為A4'-ACsin60。=2ABsin60。,A4',

即可求解.

【詳解】解：依題意ACC'A'為平行四邊形，

VZABC=90°,ZC4B=60°,AB=8,AA'=12.：.AC=2AB

平行四邊形ACC'A'的面積=A4'?ACsin60。=2ABsin60°-=2x8xl2x—=96百故選B

2

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?廣西）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，A3的長為12米，AB與AC的夾角為a,則高8c

1212

A.12sina米B.12cosa米C.-米D.-------米

sinacosa

【答案】A

【分析】在m△AC8中，利用正弦定義，sina=4f)代入AB值即可求解.

AB

Be

【詳解】解：在幻A4CB中，ZACB=90°,Asina=—,

AB

.*.BC=sina,AB=12sina(*),故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握直角三角形邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?貴州畢節(jié)）如圖，某地修建一座高BC=5m的天橋，已知天橋斜面AB的坡度為1:6，則斜坡A8

的長度為（）

A.10mB.105/3mC.5mD.5Gm

【答案】A

【分析】直接利用坡度的定義得出AC的長，再利用勾股定理得出AB的長.

Be5?

【詳解】?:i=l:6,BC=5m,=--7=—/=,解得：AC=50n,

ACAC73

則AB=>JBC2+AC2="+（54『=10機(jī).故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形和勾股定理的實(shí)際應(yīng)用.由坡度的定義得出AC的長是解答本題的關(guān)鍵.

6.（2022?黑龍江牡丹江）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30。，小明在坡比為5：12的山坡上走1300米，

此時小明看山頂?shù)慕嵌葹?0。，求山高（）

12

A.（600—250百）米B.（6006-250）米C.（350+3506）米D.500白米

【答案】B

【詳解】解:如答圖，：BE：AE=5：12,...可設(shè)BE=5k,AE=12k,

VAB=1300米，

...在Rt^ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2,

即爐）解得

（12+（542=130（）2,k=100

...AE=1200米，BE=500米.

設(shè)EC=x米,

VZDBF=60°,.,.DF=75x米.

乂：NDAC=30。，.\AC=V3CD.

.*.1200+x=V3（500+73X）,解得x=600-2506.

，DF=GX=600G-750.

/.CD=DF+CF=600>/3-250（米）.

二山高CD為（600石-250）米.故選B.

D

CE12A

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用（仰角俯角和坡度坡角問題）；勾股定理；銳角三角函數(shù)定義；特殊

角的三角函數(shù)值；待定系數(shù)法的應(yīng)用.

7.（2022?湖北十堰）如圖，坡角為a的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹48,當(dāng)太陽光線與水平線成

45。角沿斜坡照下，在斜坡上的樹影8c長為機(jī)，則大樹AB的高為（）

tnm

C./n(cosa-tantz)D.-----------------

sinacosa

【答案】A

【分析】應(yīng)充分利用所給的。和45。在樹的位置構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而利用三角函數(shù)求解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作水平線與A5的延長線交于點(diǎn)。，則AO_LCD,

:,乙BCD二a,ZACD=45°.

在RmCDB中，CD=mcosa,BD=/?isina,

在Rt^CDA中，A￡>=CDxtan45°=/?7xcosaxtan450=wcos（z,

.\AB=AD-BD=Cnicosa-msina）-m（cosa-sina）.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用.需注意構(gòu)造直角三角形是常用的輔助線方法，另外，利用三角函

數(shù)時要注意各邊相對.

8.（2022?湖北荊州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)。在08

上，OC:BC=\:2,連接AC,過點(diǎn)0作O尸〃AB交4c的延長線于P.若則tanNQ4P的值是（）

D.3

【答案】C

【分析】由尸（1,1）吁知，。2與x軸的夾角為45。，又因?yàn)镺P〃AB,則為等腰直角形，設(shè)OC=x,0B=2x,

用勾股定理求其他線段進(jìn)而求解.

【詳解】點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）,

則OP與x軸正方向的夾角為45。，

又?:OP//AB,

則N8AO=45。，為等腰直角形，

,OA=OB,

設(shè)OC=x,則OB=2OC=2x,

則OB=OA=3xf

X

...tanZ/Oc4APn=-O-C-=—=-1.

OA3x3

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理和銳角三角函數(shù)的求解，根據(jù)尸點(diǎn)坐標(biāo)

推出特殊角是解題的關(guān)鍵.

9.（2022?廣西玉林）如圖，從熱氣球4看一棟樓底部C的俯角是（）

A.ZBADB.Z4CBC.Z.BACD.ADAC

【答案】D

【分析】根據(jù)俯角的定義可直接得出結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)俯角的定義，朝下看時，視線與水平面的夾角為俯角，

ND4c為對應(yīng)的俯角，

故選D.

【點(diǎn)睛】題目主要考查對俯角定義的理解，深刻理解俯角的定義是解題關(guān)鍵.

10.（2022?遼寧）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=S,分別以點(diǎn)A和C為圓心，以大于;AC的長為半

徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N,作直線MN分別交A。8c于點(diǎn)E,F,則AE的長為（）

791525

A.-B.一C.—D.—

4444

【答案】D

【分析】根據(jù)矩形A8CD可知AWC1為直角三角形，根據(jù)勾股定理可得AC的長度，在放AADC中得到

AnI

cosZCAD=—,乂由題知MN為AC的垂直平分線，于是NMQ4=90。AO=-AC,于是在RAAOE中,

AC2.

利用銳角三.角函數(shù)即可求出AE的長.

【詳解】解：設(shè)與AC的交點(diǎn)為。,

???四邊形ABC。為矩形,

:.ZADC=90°,AB=DC=6,BC=AD=3,

.?.AAOC為直角三角形,

?.-0）=6,AD=8,

AC=ylATr+DC2=^82+62=10>

——

AC105

乂由作圖知MN為AC的垂直平分線,

.?.NMCM=90。，A。」4c=5,

2

...在RrAAOE中,

cosZEAO=—

AE

,/cosZCAD=cosZEAO?

54

??一f

AE5

AE=—

4

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，垂直平分線，勾股定理，掌握定理以及性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

11.（2022?福建）如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC,其中A8=AC,ZABC=2T,BC=

44cm,則高AO約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin27°?0.45,cos270?0.89,tan270?0.51）

A.9.90cmB.11.22cmC.19.58cmD.22.44cm

【答案】B

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及8c=44cm,可得OC=gBC=22cm,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及

ZABC=27°,可得NACB=NABC=27。，在中，由A￡>=tan27OxCt),求得4。的長度.

【詳解】解：?.?等腰三角形ABC,AB=AC,AO為BC邊上的高，

DC=-BC,

2

■:8c=44cm,

:.DC=—BC=22cm.

2

?.?等腰三角形48C,AB=AC,ZABC=2T,

：.ZACB=ZABC=27°.

為8c邊上的高，ZACB=27°,

在心AADC中，

AD=tan27°xCD,

Vtan270?0.51,QC=22cm,

/.AD~0.51x22-11.22cm.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查J'等腰三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵.

12.(2022?湖北武漢)由4個形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)4

B,C都在格點(diǎn)上，/。=60。，則tan/ABC=()

駕

【答案】C

【分析】證明四邊形ADBC為菱形，求得/A8c=30。，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解.

【詳解】解：連接AO,如圖：

A

E

OD

???網(wǎng)格是有一個角60。為菱形,

.?.△40。、4BCE、4BCD、A/IC。都是等邊三角形,

：.AD=BD=BC=AC,

...四邊形A。8c為菱形，且/Z)BC=60。,

，ZABD=ZABC=30,>,

???tanNA8C=tan30°二也.故選：C.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，證明四邊形AOBC為菱形是解題的關(guān)鍵.

二.填空題

13.(2022?黑龍江綏化)定義一種運(yùn)算；sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin/?,

sin(a-y?)=sinacosP-cosasin/?.例如：當(dāng)a=45°,￡=30。時，sin(45°+30°)=

顯速+叵xL=G6,則0nl5。的值為

22224

【答案】V6-V2

4

【分析】根據(jù)$皿。-/7)=$皿&8$￡-8$0^“代入進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：sinl50=sin(45o-30°)

=sin45°cos30°-cos45°sin30°

立

X73一V21

22------X一

22

在V42

4一&

卡

一

4

故答案為:

4

【點(diǎn)睛】此題考查了公式的變化，以及銳角三角函數(shù)值的計算，掌握公式的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

14.（2022?湖南）我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家趙爽在為天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》作注解時，用4個全等的直角三

角形和中間的小正方形拼成一個大正方形，這個圖被稱為"弦圖