2023屆高中數(shù)學(xué)題型全面歸納12

2023屆高中數(shù)學(xué)題型全面歸納第十二章計(jì)數(shù)原理

第一節(jié)計(jì)數(shù)原理與簡(jiǎn)單排列組合問(wèn)題

考綱解讀

1.理解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.

2.會(huì)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

3.理解排列、組合的概念.

4.能用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式.

命題趨勢(shì)探究

1.本節(jié)為高考必考內(nèi)容，一般有「2道選擇題或填空題.

2.題目主要以實(shí)際應(yīng)用題形式出現(xiàn).

3.試題的解法具有多樣性，一般根據(jù)計(jì)數(shù)重復(fù)或遺漏來(lái)設(shè)計(jì)錯(cuò)誤選項(xiàng)，在解答選擇題

時(shí)可通過(guò)正向（分類(lèi)相加）和反向（總數(shù)減去對(duì)立數(shù)）互相檢驗(yàn)，也可以通過(guò)排除法篩選

正確選項(xiàng).

知識(shí)點(diǎn)精講

基本概念

1.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理

產(chǎn)有〃類(lèi)方法]

完成一件事②任兩類(lèi)無(wú)公共方法（互斥）「共有所

每類(lèi)中每法可單獨(dú)做好這件事J

mx+m2+---+mn種不同方法.如圖12-1所示.

—I。。1卜

r4o00n1|--I°02I

--------1.>/77inO、

.__I?Io00D/?0

??如+利+/+…+勿0DD0D

,AHIh,

-UTO：°"Ji.mfi，

圖12-1

2.分步乘法計(jì)數(shù)原理

「①必須走完A步，才能完成任務(wù)'

完成一件事，②前一步怎么走對(duì)后一步怎么上共有V

〔走無(wú)影響（獨(dú)立）

=mlxm2x---xmn種不同方法.如圖12-2所示.

D—?DD1iDD2—?00/?--0Dn

?iff]

仍。/7%0詞球

ulru0石0D茄乂…乂加』「「D『

D

圖12-2

曲W個(gè)原理及其區(qū)別.

分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和“分類(lèi)”有關(guān)，如果完成某件事情有0類(lèi)辦法，這。類(lèi)辦法之間

是互斥的，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時(shí)，就用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理.

分步乘法計(jì)數(shù)原理和“分步”有關(guān)，是針對(duì)“分步完成”的問(wèn)題.如果完成某件事情有

〃個(gè)步驟，而且這幾個(gè)步驟缺一不可，且互不影響（獨(dú)立），當(dāng)且僅當(dāng)依次完成這〃個(gè)步驟

后，這件事情才算完成，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時(shí)，就用分步乘法計(jì)數(shù)原理.

當(dāng)然，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，并不一定是單一應(yīng)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理或分步計(jì)數(shù)原理，有時(shí)

可能同時(shí)用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.即分類(lèi)時(shí)，每類(lèi)的方法可能運(yùn)用分步完成；而分步后，每步的

方法數(shù)可能會(huì)采取分類(lèi)的思想求方法數(shù).對(duì)于同一問(wèn)題，我們可以從不同的角度去處理，從

而得到不同的解法（但方法數(shù)相同），這也是檢驗(yàn)排列組合問(wèn)題的很好方法.

3.排列與排列數(shù)

從。個(gè)不同元素中取出MaWn）個(gè)（不同）元素，按照一定的順序排成一列，叫做從〃

個(gè)不同元素中取出0個(gè)元素的一個(gè)排列.從〃個(gè)不同元素中選取〃個(gè)元素血的排列個(gè)數(shù)

共有A；.

A：=;??（?-1）.（/?-2）??…（n-w+1）（必個(gè)連續(xù)正整數(shù)之積,“為最大數(shù)）.

A：=-1卜（〃-2卜…=n\

n\

A；=

（〃一/%）!

規(guī)定0!=l.

注排列數(shù)公式的兩種不同表達(dá)形式本質(zhì)是一樣的，但作用略有不同，

A；=〃("-1)…(〃-加+1)常用于具體數(shù)字計(jì)算；而在進(jìn)行含字母算式化簡(jiǎn)或證明時(shí)，多用

'(〃-%)!

可重排列與無(wú)重排列的區(qū)別.

例如：用1,2,3,4,5這五個(gè)自然數(shù)，可排成

有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)——5X5X5X5=54

無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)——5X4X3X2=⑷

區(qū)別：

不可重復(fù)排列：用過(guò)的數(shù)字不可再用，用一個(gè)少一個(gè).

可重復(fù)排列：用過(guò)的數(shù)字還可再用，每次可用數(shù)字不減少。

再例如：4封不同的信，全部投入5個(gè)信箱.

①任意投(投過(guò)的信箱可再投入)——5X5X5X5=54.

②每箱至多一封信(投過(guò)的信箱不可再投入)一一5X4X3X2=4，

4.組合與組合數(shù)

從"個(gè)不同元素中取出，(旋而個(gè)(不同)元素，并成一組，叫做從打個(gè)不同元素中取出

⑷個(gè)元素的一個(gè)組合.從〃個(gè)不同元素中取出。個(gè)元素的組合數(shù)共有C：.

心A：2)…(〃-加+1)

Cw=—\m=---------------------?------------------

Agm\

_n\

注同樣，公式C：=…(/i+1)常用于具體數(shù)字計(jì)算，

ml

C；=---常用于含字母算式的化簡(jiǎn)或證明.

(1)排列和組合的區(qū)別.

組合：取出的元素地位平等，沒(méi)有不同去向和分工.

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同.

注排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問(wèn)題，它們之間

的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問(wèn)題，需要考

慮順序的是排列問(wèn)題.排列是在組合的基礎(chǔ)上對(duì)入選的元素進(jìn)行排隊(duì)，因此，分析解決排列

組合綜合問(wèn)題的基本思維是“先組合，后排列”.例如：從10個(gè)人中抽出4人參加某項(xiàng)活

動(dòng)有C：。種方案；從10個(gè)人中抽出4人分別參加4項(xiàng)活動(dòng)有A：。種方案.

(2)一切排列數(shù)、組合數(shù)、階乘及它們展開(kāi)式的因數(shù)都是正整數(shù).

常見(jiàn)的有0!=1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120,6!=720.

C：=C：=1，C；=C：T=〃,c^=C；：-2=^y^.A；=〃，A：=〃（〃-l）.

（3）公式（性質(zhì)）.

①n[=n[n-1）!=n[n-1）?（/?-2）!.

②禺=C：，如或。=/。=華型?

2x1

③c：+c/=c:，如C；+C；=C：o（口訣:相鄰組合數(shù)相加，加一元（L91）取大

（M1>2Z7,取加1）.

④C+c工+c;%+…+c;=c*

題型歸納及思路提示

題型161分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

思路提示

要明確完成一件事所包含的內(nèi)容是如何進(jìn)行的，若需分類(lèi)按加法數(shù)原理，若需分步按

乘法計(jì)數(shù)原理.分類(lèi)時(shí)要做到“不重不漏”，分步時(shí)要做到“步驟完整”.有些計(jì)數(shù)問(wèn)題既需

要分類(lèi)，又需要分步，此時(shí)要綜合運(yùn)用兩個(gè)原理.

例12.1現(xiàn)有3名老師，8名男生和5名女生共16人，有一項(xiàng)活動(dòng)需派人參加.

（1）若只需1人參加，有多少種不同選法？

（2）若需老師，男生，女生各1人參加，有多少種不同選法？

（3）若需1名老師和1名學(xué)生參加，有多少種不同選法？

解析（D有3類(lèi)選人的方法：3名老師中選1人，有3種方法；8名男生中選1人，有8

種方法；5名女生中選1人，有5種方法；由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，共有3+8+5=16（種）選法.

（2）分3步選人：第一步選老師，有3中方法；第二步選男生，有8種方法；第三步選女

生，有5種方法；由分步計(jì)數(shù)原理，共有3X8X5=120（種）選法.

（3）可分兩類(lèi)：每一類(lèi)又分兩步.第1類(lèi)：選1名教師和1名男生，因有兩步，故3X8=24

（種）選法；第2類(lèi)：選1名教師和1名女生，因有兩步，故有3X5=15（種）選法.再

由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，共有15+24=39（種）選法.

評(píng)注在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，并不一定是單一地應(yīng)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理或分步計(jì)數(shù)原理，有時(shí)可

能同時(shí)用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.即分類(lèi)時(shí)，每類(lèi)的方法可能運(yùn)用分步完成，而分步后，每步的

方法數(shù)可能會(huì)采取分類(lèi)的思想求取.

變式1有5張卡片，正反面分別寫(xiě)有數(shù)字。與1,2與3,4與5,6與7,8與9,現(xiàn)從中

任取三張，排成一列，問(wèn)共可擺出____個(gè)不同的三位數(shù).

解析用分步計(jì)數(shù)原理.由題意可分三步完成該事情.

第1步選一個(gè)數(shù)字放在百位上，有9種不同的方法（0不可以）；

第2步再選一個(gè)數(shù)字放在十位上，有8種不同的方法（因?yàn)榘傥簧险加靡粡埧ㄆ?個(gè)數(shù)字

不能用）；

第3步選一個(gè)數(shù)字放在個(gè)位上，只有6種不同的方法.

共有9x8x6=432（種）不同的結(jié)果.

變式2晚會(huì)原有節(jié)目單由7個(gè)節(jié)目排成，現(xiàn)要新添3個(gè)不同的節(jié)目，且不改變?cè)泄?jié)目的

相對(duì)順序，則這3個(gè)節(jié)目有多少種不同的安排方法？

解析共7+3=10（個(gè)）節(jié)目，其中7個(gè)定序，先排出10-7=3（個(gè)）非定序元素即可，

共43。=720（種）排法.

例12.2（1）若8名學(xué)生爭(zhēng)奪3項(xiàng)體育比賽的冠軍（每名學(xué)生參數(shù)項(xiàng)目不限），則冠軍獲得

者有種不同情況（每個(gè)項(xiàng)目沒(méi)有并列冠軍）.

（2）8名學(xué)生從3項(xiàng)體育項(xiàng)目中選擇參數(shù)，若每一名學(xué)生只能參加一項(xiàng)，則有種

不同的參賽方法.

分析正確理解任務(wù)完成的標(biāo)志，（1）即把3個(gè)冠軍名額全部分給8個(gè)學(xué)生（可以一名學(xué)生

奪得多個(gè)冠軍）；（2）即為8名學(xué)生都報(bào)完比賽項(xiàng)目（可以多名學(xué)生報(bào)一個(gè)項(xiàng)目）.

解析（1）第1個(gè)冠軍名額的去向有8種，第2個(gè)冠軍名額和第三個(gè)冠軍名額同樣各有8個(gè)

可能去向，故冠軍獲得者共有8X8X8=83（種）不同的情況.

（2）第一位學(xué)生報(bào)項(xiàng)目的方法有3種，同樣，其他每一位學(xué)生都有3種報(bào)取項(xiàng)目的選擇方

法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，故應(yīng)有3X3X3X3X3X3X3X3=38（種）不同的參賽方法.

變式1將3個(gè)信封投到4個(gè)郵箱，最多的投法有一種.

解析第1封信投到信箱中有4種投法，第2封信投到信箱中也有4種投法，第3封信投

到信箱中也有4種投法，只要把這三封信投完，就做完此件事情，依分步計(jì)數(shù)原理知共有

4x4x4=64種方法.

評(píng)注（1）本類(lèi)題要與排列題分開(kāi)，每封信的投法互相獨(dú)立，不影響其余信的投法（并且

不同的信可以投到同一信箱中），完成此事只需將信一封封地投出去即可.

（2）正確理解分類(lèi)和分步計(jì)數(shù)原理是基礎(chǔ)，解決有關(guān)問(wèn)題應(yīng)優(yōu)先考慮是否能運(yùn)用這兩個(gè)基

本原理.

變式2現(xiàn)有6名同學(xué)聽(tīng)取同時(shí)進(jìn)行的5個(gè)課外知識(shí)講座，每個(gè)同學(xué)可自由選擇其中一個(gè)講

座，不同的選法有（）種.

A.56B.65

5x6x5x4x3x2

C.--------------------------D.6X5X4X3X2

2

解析分6步，每步由一名同學(xué)選一個(gè)講座，都有5種選法，故只有5x5x5x5x5x5=56種方

法.故選4

變式3已知集合￡{1,2,3},廬式2,3,4}.

（1）映射/1:4-8共有多少個(gè)？

（2）映射夕丘4共有多少個(gè)？

解析由映射的定義可知，（1）/：任意xe/f唯一確定的故從4到5共有

4x4x4=43（個(gè)）不同的映射；

（2）g：任意XWBT唯一確定的yeA,故從B到A共有3x3x3x3=34（個(gè)）不同的映射；

例12.3同室4人各寫(xiě)一張賀卡，先集中起來(lái)，然后每人從中拿出一張別人送出的賀卡，則

4張賀卡的不同的分配方式有（）.

A.6種B.9種C.11種D.23種

分析將同室4人分別記為a,6,c,"，然后利用4個(gè)取卡的情況分步來(lái)確定.

解析解法一：第一步，4個(gè)人中的任意一人（例如a）取一張，則由題意知共有3種取法；

第二步：由第一人取走的賀卡的供卡人取，也有3種取法；第三步：由剩余的兩人中的

任一人取，只有1種取法；第四步：最后一人取，只有1種取法，由分步計(jì)數(shù)原理，共

有3X3X1X1=9（種）.

解法二：設(shè)4張賀卡分別記為4B,C,〃由題意，某人（不妨設(shè)4卡的供卡人）取卡的

情況有3種，據(jù)此將卡的不同分配方式分為3類(lèi)，對(duì)于每一類(lèi)，其他人依次取卡分步進(jìn)

行，為了避免重負(fù)或遺漏現(xiàn)象，我們用“樹(shù)圖”表示如下：設(shè)a,b,c,"代表4個(gè)人，A,B,C,D

分別代表這4個(gè)人寫(xiě)的賀卡，則有如圖12-3所示的樹(shù)狀圖.

bd

D—?C—―

4C----?B----?A

圖12-3

所以共有9種不同的分配方式.故選B.

評(píng)注本例提供的第一種解法用了分步計(jì)數(shù)原理，關(guān)鍵是要弄清楚分步時(shí)每步的順序，例

如a先取走?？?，則下一步應(yīng)由c取，否則由6,c,d中一人取，就很難斷定是有3種還

是2種取法了.

第二種解法可以看作兩個(gè)原理的交替應(yīng)用，用樹(shù)圖表示一目了然，便于分析計(jì)數(shù)，避免

了重復(fù)或遺漏.在以后的學(xué)習(xí)中，用樹(shù)圖來(lái)直觀地分析問(wèn)題是常用的，請(qǐng)同學(xué)們重視.

變式1（2017?浙江）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人

組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有種不同的選法.（用數(shù)字

作答）

【答案】660

【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題

【解析】【解答】解：第一類(lèi)，先選1女3男，有C63c2」40種，這4人選2人作為隊(duì)長(zhǎng)和

副隊(duì)有A42=12種，故有40x12=480種，

第二類(lèi)，先選2女2男，有C62c22=15種，這4人選2人作為隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)有A/=12種，故

有15x12=180種，

根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理共有480+180=660種，

故答案為：660

【分析】由題意分兩類(lèi)選1女3男或選2女2男，再計(jì)算即可

變式23個(gè)人踢理子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開(kāi)始踢，經(jīng)過(guò)5次傳遞后，

健子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有（）.

A.6種B.8種C.10種D.16種

分析任務(wù)的完成與分布流程有關(guān)，可以使用樹(shù)狀圖求解.

解析如圖12-24所示，若甲第一次將鍵子傳給乙，可以有5種情況完成任務(wù).同理，甲傳

給丙，也有5種情況，綜上，共有10種傳法.故選C.

/甲

―?甲

—＞甲

第1次第2次第3次第4次第5次

圖12-24

例12.4某外語(yǔ)組有10人，每人至少會(huì)英語(yǔ)、法語(yǔ)中的一門(mén).其中7人會(huì)英語(yǔ)，5人會(huì)法語(yǔ).

從中選擇會(huì)英語(yǔ)和法語(yǔ)的各一人派往兩地參加會(huì)議，有多少種不同的方法？

分析對(duì)于較為復(fù)雜的分類(lèi)與分步問(wèn)題，應(yīng)做到不重不漏，本題應(yīng)抓住公共元素的處理方

法.

解析由集合知識(shí)可知，既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)法語(yǔ)的有7+5-10=2（人），僅會(huì)英語(yǔ)的有7-2=5（人），

僅會(huì)法語(yǔ)的有5-2=3（人）.易知此題的任務(wù)是派遣適合條件的兩人.

解法一：按僅會(huì)英語(yǔ)的5人的派遣情況分成兩類(lèi).

第1類(lèi)：僅會(huì)英語(yǔ)的5人中有1人選中，則有5種方法，而會(huì)法語(yǔ)的則有5種方法，從

而由分步計(jì)數(shù)原理，有5X5種方法.

第2類(lèi)：僅會(huì)英語(yǔ)的5人中沒(méi)有人被選中，則會(huì)英語(yǔ)的必須從既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)法語(yǔ)的2人

中選，從而有2種選法.而會(huì)法語(yǔ)的只能從兩種語(yǔ)言均會(huì)的剩余1人或僅會(huì)法語(yǔ)的3人中

選，共有1+3=4（種），由分步計(jì)數(shù)原理得，此時(shí)共有2X4種方法.

由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，共有5><5+2X4=33（種）方法.

解法二：按僅會(huì)法語(yǔ)的3人的選派情況分成以下兩類(lèi).

第1類(lèi)：僅會(huì)法語(yǔ)的3人恰被選中1,則由分步計(jì)數(shù)原理，共有3X7種方法.

第2類(lèi)：僅會(huì)法語(yǔ)的3人均未被選中，則由分步計(jì)數(shù)原理得，共有2X6種方法.

從而由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，共有3X7+2X6=33（種）方法.

解法三：按既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)法語(yǔ)的2人的選派情況分成3類(lèi).

第1類(lèi)：2人均未被選派，則有3X5種方法.

第2類(lèi)：2人均被選派，則有2種方法.

第3類(lèi)：2人中恰有1人被選派，則又分為兩類(lèi).

若另一人只會(huì)英語(yǔ)，則有2X5種方法.

若另一人只會(huì)法語(yǔ)，則有2X3種方法.

由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得，共有3X5+2+2X5+2X3=33（種）方法.

評(píng)注在應(yīng)用分類(lèi)和分步計(jì)數(shù)原理解決較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意：

（1）認(rèn)真審題，分析題目的條件、結(jié)論，特別要理解題目中所講的“事情”，即任務(wù)是什

么，完成這件事情的含義和標(biāo)準(zhǔn)是什么.

（2）明確完成這件事情是分類(lèi)還是分步，還是既要分類(lèi)又要分步，并搞清分類(lèi)或分步的具

體標(biāo)準(zhǔn)是什么.

（3）注意兩個(gè)原理的實(shí)質(zhì)：分類(lèi)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理（即加法），分步用分步計(jì)數(shù)原理（即乘

法）.

變式1用三種顏色染如圖12-4-1所示的矩形塊，要求每塊染一種顏色且相鄰不同色.

（1）共有多少方法？

（2）每種顏色染兩塊有多少種方法？

圖12_4_1

解析記三色為1,2,3.

（1）逐塊確定，易得共3x2x2x2x2x2=96（種）方法.

（2）第一塊3種方法，第二塊2種方法，不妨設(shè)第一塊用顏色1,第二塊用顏

色2,此時(shí)如圖12-25所示.

12

圖12-25

按第三塊分類(lèi):

分三步，故共有3x2x（l+2+2）=30（種）方法.

評(píng)注涂色問(wèn)題往往從某一塊出發(fā)進(jìn)行分步涂色，用分步計(jì)數(shù)原理.本題中的三色改成三種

不同花，同一解法.

變式2（2016年全國(guó)II高考）如圖124-2,小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)

合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路

徑條數(shù)為（）

(A)24(B)18(C)12(D)9

圖12-4-2

【分析】從E到F最短的走法，無(wú)論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段

方向相同，每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，由組合

數(shù)可得最短的走法，同理從F到G,最短的走法，有C313種走法，利用乘法原理可得結(jié)

論.

【解答】解：從E到F,每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段，

從E到F最短的走法，無(wú)論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同,

每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有C42=6種走

法.

同理從F到G,最短的走法，有C3.3種走法.

...小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為6x3=18種走法.

故選：B.

題型162排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算

思路提示

盡量用性質(zhì)計(jì)算；推導(dǎo)、證明和化簡(jiǎn)約分用階乘形式，計(jì)算用乘積形式.

例12.5（1）證明：A：1卜…?（〃一加+1）=

-----——(n.mG<〃).

("〃?)!

(2)已知加,〃wN*,且

n\

證明：①C：、1%

A,”加！（〃一加）！

④c;+C"+…+c；］=

解析（DA；為從〃個(gè)（〃￡N*）不同元素中取出山（=/?,勿￡N*）個(gè)（不同）元素，按

照一定順序排成一列的不同排列的個(gè)數(shù)（即排列數(shù)）.

如表12-1所示，需要〃步完成排列任務(wù).

表12-1

位置1位置2...位置m

A種方法kl種方法...z?-研1種方法

第一步（為位置1選擇一個(gè)元素）有〃種選法.

第二步（為位置2選擇一個(gè)元素）有n-1種選法.

第。步（為位置必選擇一個(gè)元素）有廣加1種選法.

依分步計(jì)數(shù)原理，得A：…（〃一〃?+1）=

(〃一加)…n\

+1)

(?-(n-w)!

（2）①C；為從0個(gè)不同元素中任取〃個(gè)（不同）元素并成一組的不同組合的個(gè)數(shù)（即組

合數(shù)），當(dāng)0GN*,底n時(shí),從〃個(gè)不同元素中取吸個(gè)（不同）元素按照一定的順序排成

一列，可以分成兩步完成，第一步從A個(gè)不同元素中任取〃個(gè)元素并成一組，第二步把

取出的⑷個(gè)元素按照一定的順序排成一列，依分步乘法原理得A；=C>A>

A?

即C：=d,又A：=n'，

A：

〃I

故C：=--一.當(dāng)斤0,c：=l.

Yli

n\1,c：」一=1也成立.

0M0!?加

n\n\

②CT

[n_(〃一/%)]!ml(n-m)!

故C；二c「

③C7+Cm+,=___—___+_______________

(w4-l)!(??—w-1)!

(加+1)〃！(n-m)nl

=---------------1----------------

(w+1)!(?-7/7)!(加+1)!(〃-m)!

=(〃+l)!=c"

一(加+1)!(〃二加)!一山

④由c：+C：+1=c：：；+C：+I=c鬻,則c：+c：+1

+c；k=G：；+c3=c霜，依此類(lèi)推，

故C；：+Ck+???《：+”w+Itn

cm+nm+nL/w+zj+1

評(píng)注題目④中的求和應(yīng)用，$n(i)c^+c^+--+c^=Co]

(ii)C；o+C：+???+l=C；+C：+…+C；o-C+

C44---FC；)=C=]-C：0.

變式1組合數(shù)?：（〃＞廠21,〃/€2）恒等于（）.

A.--C：：；B.（〃+l）（r+l）C；二；

n+l

f-1

C.及rC1；D.巴C1；

r

解析解法一：特殊值法.

2

尸1時(shí)，C；=n,選項(xiàng)4=上，選項(xiàng)8=2（〃+1）,選項(xiàng)C=〃，選項(xiàng)。=”,則排除選項(xiàng)N和

n+\

B;

-2時(shí)，。：=迪心，選項(xiàng)C=2〃（〃-1）,排除C,故選。.

2

解法一：推演法.

〃！(r-l)!(n-r)!nYI

《>0,。;>0,島=一,即；故選。.

C〃_]r!(/?-r)!(〃一1)!rr

變式2解方程A；“=100A；(〃€N*).

解析由排列數(shù)公式可知，工=2〃（2〃-1）（2〃-2）,4=〃（〃-1）,

故原方程可化為4（2"-1）=100,解得“=13.

例12.6（1）乘積加（加+1）（加+2）…（加+20）可表示為（）.

A.A：°B.A；：C.A，D.A%。

⑵式子冽（加+1）5+2）二（加土20）可表示為（）

20!

A.A：%B,C；%C.21C%°D,21c3。

解析（1）原式=（加+20）（加+19）…[（加+20）-21+1]

=A：3o，也可以觀察，一共有21個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積，可以直接表示為A；%,?故選口

A21A21

⑵原式=-^=21321=2icy20.故選D.

20!21!，n+2°

評(píng)注公式A：=〃（〃-l）…（〃-加+1）的構(gòu)成特點(diǎn)是：公式右邊第一個(gè)因數(shù)是A,其后每

個(gè)因數(shù)都比它前面一個(gè)因數(shù)少1,最后一個(gè)因數(shù)是hml,共有E個(gè)因數(shù)相乘，組合數(shù)C：

公式也有相似特點(diǎn).

使用時(shí)要注意三個(gè)問(wèn)題：第一個(gè)因數(shù)是什么、最后一個(gè)因數(shù)是什么、一共有多少個(gè)連續(xù)

相乘的正整數(shù)，防止我們?cè)?A"，比較復(fù)雜時(shí)用錯(cuò)公式.

應(yīng)用公式時(shí)，要注意正用、逆用和活用等.

變式1市內(nèi)某公共汽車(chē)站有6個(gè)候車(chē)位（成一排），現(xiàn)有3名乘客隨便坐在某個(gè)座位上候

車(chē)，則恰好有2個(gè)連續(xù)空座位的候車(chē)方式的種數(shù)為（）

A.48B.54C.72D.84

解析選c先把3名乘客進(jìn)行全排列，有Al=6種排法，排好后，有4個(gè)空，再將1

個(gè)空位和余下的2個(gè)連續(xù)的空位插入4個(gè)空中，有A3=12種排法，則共有6X12=72種候

車(chē)方式.

題型163計(jì)數(shù)原理與排列組合問(wèn)題的結(jié)合

思路提示

要注意可重排列與不可重排列的區(qū)別；選擇適當(dāng)?shù)慕忸}策略，即加法與減法；應(yīng)注意

不重不漏.

例12.7如圖12-6所示，電路中共有13個(gè)開(kāi)關(guān)（電阻略），每個(gè)開(kāi)關(guān)可任選“開(kāi)”或“關(guān)”

一種狀態(tài)，且相互獨(dú)立.

圖12-6

（1）燈亮，有多少種整體狀況；

（2）燈滅，有多少種整體狀況.

分析每個(gè)開(kāi)關(guān)有“開(kāi)”或“關(guān)”兩種狀況，逐個(gè)確定這13個(gè)開(kāi)關(guān)的“開(kāi)”、“關(guān)”狀態(tài)共

有*=8192（個(gè)）整體狀態(tài)，只要求出（1）與（2）中一值，用減法即可求出另一值.

解析（1）燈亮，第一步4通到G第二步C通到。，第三步。通到￡,第四步￡通到3,算

出每步方法數(shù)，再相乘得整體通（即燈亮）方法數(shù).

第一步：先算幺到C不通方法數(shù)，即上、中、下三路都不通，上路不通的方法數(shù)=2,一（上

路通的方法數(shù)）=2,一（2?-1）=5,中路不通的方法數(shù)=1,下路不通的方法數(shù)=2?-1=3.

故A到C不通的方法數(shù)為5X1X3=15.

4到C通的方法數(shù)=2'—15=256—15=241,

C到。通的方法數(shù)=22—1=3,。到￡通的方法數(shù)=1,E到B的方法數(shù)=2。-1=3.

故燈亮即四步都通，整體狀況有241X3X1X3=2169（種）.

（2）燈不亮有213-2169=8192-2169=6023（種）.

評(píng)注串聯(lián)求通：把各段通數(shù)相乘，得總通數(shù).串聯(lián)求不通：先求通，再用減法，得串聯(lián)不

通數(shù).并聯(lián)求通：先求不通數(shù)，再用減法，得并聯(lián)通數(shù).并聯(lián)不通：把各支路不通數(shù)相乘.

變式1直線(xiàn)方程4廣爐0,從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)中每次取兩個(gè)不同的數(shù)作4和8,共可

確定（）條直線(xiàn).

A.20B.19C.18D.16

AA

解析由直線(xiàn)方程“x+8y=0得，y=-gx,故看成有多少個(gè)不同的g值48不同屬排列

BB

問(wèn)題《=20,去掉重復(fù)!=20-2=18.故選C.

2412

變式2一個(gè)A棱錐的所有頂點(diǎn)共可確定條直線(xiàn)，這些直線(xiàn)可確定對(duì)異面

直線(xiàn).

解析①共〃+1個(gè)頂點(diǎn)可確定C*=器辿條直線(xiàn)，②每對(duì)異面直線(xiàn)由一條側(cè)棱與底面與

它無(wú)公共點(diǎn)的直線(xiàn)確定，共=〃（〃一對(duì).

例12.8如圖12-7所示，有4種不同顏色供選，要求每塊一種顏色，相鄰兩塊

不同色，共有多少種染色方法？

解析如圖12-8所示，記4種顏色為1,2,3,4,可以從￡開(kāi)始染，有4種染法，4與后相

鄰，4￡不同色，所以/有3種方法，8與4E均相鄰，8有2種染法，最后剩C。，此

時(shí)要注意分類(lèi)討論，如圖12-8所示，。與“同色時(shí)，。有2種染法；＜7與4不同色時(shí)，D

有1種染法，即共有3種方法.綜上共有4X3X2X3=72種染色方法.

評(píng)注利用計(jì)數(shù)原理求解染色問(wèn)題，一般有“區(qū)域”染色和“線(xiàn)段端點(diǎn)”染色兩類(lèi)，其中

區(qū)域染色問(wèn)題，常用的原則有“最多相鄰優(yōu)先”，但要注意最后2~3個(gè)區(qū)域的分類(lèi)討論.

變式1如圖12-9所示，用4種不同顏色給圖中A,B,C,D,E,F共6個(gè)點(diǎn)染色，要求每個(gè)點(diǎn)染

一種顏色，且圖中每條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)不同色，則不同的染色方法共有（）種.

A.288B.264C.240D.168

解析按所用顏色分兩類(lèi).

第一類(lèi)：三色涂完，必然兩兩同色，即尸或N尸同色，有2彳=48（種）.

第二類(lèi)：四色涂完，有肯定不同色，有封種涂法，再?gòu)?,居C中選一位置涂第四色,

有3種，若選的是8,則NRCE或或同色，故我,（7共3種涂發(fā)，所以

w???3=216（種），故共有48+216=264（種）染色方法.故選民

變式2用4種不同顏色為正方體的六個(gè)面著色，要求有公共棱的兩個(gè)面不同色，則共有

（）種不同的著色方法.

A.24B.48C.72D.96

分析根據(jù)正方體的幾何特征知，相同顏色只能涂對(duì)面，即上下可同色，左右可用色，前

后可同色.

解析按所用顏色分兩類(lèi)

第一類(lèi)：選取其中三種顏色涂色，有*種涂色方法.

第二類(lèi)：4色涂完，在同一公共點(diǎn)的平面有㈤選色方法，另外在剩下的三個(gè)平面選一個(gè)

平面涂第四種顏色，其余兩個(gè)平面顏色與對(duì)面顏色相同，及確定.有《m。；=/：。；,故共有

a+/：C；=96種.故選D.

變式3用紅、黃、藍(lán)三色之一去涂如圖12-10所示的標(biāo)號(hào)「9的9個(gè)小正方形，使任意有

公共邊的小正方形不同色，且3,5,7的方塊同色，則共有種不同涂色方法.

圖12-9圖12-10

解析如圖12-26所示，第一步，“3”，“5”，“7”定一色，有C；=3（種）染發(fā)如取紅色.

第二步染“1”，“2”，“4”塊，按“2”，“4”同色、異色分類(lèi).

“2”，“4”同色C；,“1”定色G，共2x2=4種染色

圖12-26

“2”,“4”異色4,“1”定色C；，有4=2種染色

共6種染色

第三步，染“6”，“8”，“9”塊，同理共有6種染色方法

故共有3x6x6x=108（種）不同染色方法.

變式4在五邊形ABCDE中，五個(gè)頂點(diǎn)各染紅、黃、綠三色之一，相鄰頂點(diǎn)不同色，共有種

不同染法.

解析如圖12-27所示，第一步染4有C；=3種染法，如取N為紅;

第二步按&E同色與否分類(lèi).51同色如取5=E黃，

A為紅

CD

圖12-27

C為紅,。為綠

=共2、2種染法.

'c為綠，。為紅

研不同色心取5為黃嗎，E為綠'。為綠”為黃=共-2士6的染法.

故共有C；（2X2+2X3）=30（種）不同染法.

例12.9某市汽車(chē)牌照前面兩個(gè)英文字母（不可重復(fù)）后面四個(gè)數(shù)字（可重復(fù)）組成，最多

有多少個(gè)牌照？

解析任務(wù)：第一步，確定前面兩個(gè)英文字母26*25=團(tuán)6；第二步：確定后面四個(gè)數(shù)字

10x10x10x10=1（）4.所以最多可有26*25x104=6.5x106（個(gè)）牌照.

變式1某通信公司推出一組手機(jī)號(hào)碼，號(hào)碼的前7位數(shù)固定，從xxxxxxxOOOO到

xxxxxxx9999共10000個(gè)號(hào)碼。公司規(guī)定：凡卡號(hào)的后4位帶有數(shù)字4或7的一律作為

優(yōu)惠卡，則這組號(hào)碼中優(yōu)惠卡有（）個(gè).

A.2000B.4096C.5904D.8320

解析總數(shù)減去對(duì)立數(shù)=1000-后四位既無(wú)4也無(wú)7=1000-84=5904.故選C.

變式2用數(shù)字0,1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字組成的四位數(shù)中有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有（）個(gè).

A.192B.182C.174D.274

解析總數(shù)減去對(duì)立數(shù)=3x4x4x4-無(wú)重復(fù)四位數(shù)=192-3^=174.故選C.

變式3用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有

個(gè)（用數(shù)字作答）.

解析從反面著想，因?yàn)橹皇浅霈F(xiàn)“2”或只是出現(xiàn)“3”的四位數(shù)有2個(gè)，則數(shù)字2,3至少都

出現(xiàn)一次的四位數(shù)有2<2=14個(gè).

例12.10設(shè)集合/={1,2,3,4,5},選擇/的兩個(gè)非空子集/與8,要使8中最小的元素大

于A中的最大元素，則Z與8的不同的選擇方法共有（）種.

A.50B.49C.48D.47

分析關(guān)鍵在于選擇分類(lèi)的依據(jù).選擇/口8的元素個(gè)數(shù)x為分類(lèi)依據(jù)是最佳選擇，顯然，

依題意x=2,3,4,5.或選擇B中的最小元素為分類(lèi)依據(jù).

解析解法一：令4口8中有x個(gè)元素，則x=2有C；種選法.x=3有2xC；種選

法.X=4有3XC；種選法.x=4有4XC；種選法，則不同的選擇方法共有

C；+2xC；+3xC；+4xC；=49.故選B.

解法二：當(dāng)8中的最小元素為2時(shí)，則/中的最大元素只能為1,23x1=8種；當(dāng)B

中的最小元素為3時(shí)，則”中的最大元素只能為1或2,有22xQ2-1）=12種；當(dāng)6中的

最小元素為4時(shí)，則N中的最大元素小于或等于3,有2x（23-1）=14種；當(dāng)8中的最大

元素為小于或等于4時(shí)，有1x3—1）=15種;，共有8+12+14+15=49.故選B.

評(píng)注解法一中可以理解組合問(wèn)題隔板法，應(yīng)為48集合中元素大小順序一定.解法二中應(yīng)

注意排除可能出現(xiàn)空集的問(wèn)題.

變式1/=｛1,2,3,4,5｝,48是/的兩個(gè)子集，Z中有3個(gè)元素，8中至少有兩個(gè)元素,

且6中所有的元素不大于/中的最小元素，這樣的46有組.

解析以N中最小元素x分類(lèi)討論，依題意x=2,3,4.

X=2,B：C；d：。：,有。；。：=6（組）

X=3,同理有C；（C；+2）=12（組）

X=4,有C；（C：+C：+C：）=11（組）

故共有6+12+11=29（組）

變式2/=｛1,2,3,4｝,從/中取出4個(gè)不同的子集，滿(mǎn)足條件：①其中必有①和/；②4個(gè)

子集中的任意兩個(gè)子集/與8,必有Z胃8或6屋/.則4個(gè)子集共有種選法.

解析依題意，任取一種選法：0=｛。｝=｛凡6仁｛〃也5/｝稱(chēng)之為“0,1,2,4”類(lèi)，則共有3

類(lèi)：“0,1,2,4”類(lèi)，"0,1,3,4”類(lèi)，“0,2,3,4”類(lèi).

“0,1,2,4”類(lèi)有=12（種）選法；“0,1,2,4”類(lèi)有。；。；=12（種）選法;

“0,2,3,4”類(lèi)有。：0=12（種）選法.故共有12+12+12=36（種）選法.

例12.11用1?9填如圖12-11所示的“九宮圖”，每格一數(shù)，不同格不同數(shù)，其中“3”,

“4”已填好，要求每行從左至右，每列從上到下都遞增，共有種不同填格法.

126

34347

589

圖12-11

圖12-12

解析依題意，1,2,9位置固定，如圖12-12所示,5,6,7,8任意分兩組分散9上方和左方

兩格，有種分法，如取5,8在9左邊，6,7在9上方，只能如圖所示，C；=6,故有6

種不同方法.

變式1在1,2,3,4,5的排列中滿(mǎn)足＜。2＞。3，。3＜44＞%排列有（）

個(gè).

A.10B.12C.14D.16

解析”2,“4中必有“5”，分兩類(lèi).

12,04為4,5,M，＜74為3目=/?+（1*3*544/5*5^）=12+2團(tuán)=16.故選〃

變式2用4個(gè)數(shù)字（只含0和1）排成一個(gè)四位數(shù)字表示一個(gè)信息，則與信息0110至多

有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息有（）個(gè).

A.10B.llC.12D.15

解析解法一：至多有兩個(gè)位置上的數(shù)字相同的信息，分3種情況：沒(méi)有一個(gè)位置上的

信息相同，為C：個(gè)；有一個(gè)位置上的信息相同，為C：個(gè)；有兩個(gè)位置上的信息相同，為C：

個(gè)，共有C：+C；+C：=ll（個(gè)）.故選民

解法二：總數(shù)減去對(duì)立數(shù).0,1組成四位號(hào)碼，共2x2x2x2=16個(gè)，減去（與0110三位相同

的加上與0110四位相同的）=16-4-1=11.故選史

最有效訓(xùn)練題49（限時(shí)30分鐘）

1.3封不同的信任意投入4個(gè)不同的信箱，隨意投的投法數(shù)和每箱至多1信的投法數(shù)依次為

（）.

A.3\團(tuán)B.43,4C.34,43D.團(tuán)⑷

2.從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)

數(shù)為（）.

A.24B.18C.12D.6

3.（2017新課標(biāo)H理）安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1

人完成，則不同的安排方式共有

A.12種B.18種C.24種D.36種

4.如圖12-13所示，一個(gè)環(huán)形花壇，分為48,。,。四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選擇，要

求在每塊里種一種花，且相鄰兩塊種不同的花，則不同種法共有（）種.

A.96B.84C.60D.48

5.有五張卡片，它的正反面分別寫(xiě)。與1,2與3,4與5,6與7,8與9,將它們?nèi)我馊?/p>

張并排放在一起蛆成三位數(shù)，共可組成個(gè)不同的三位數(shù)？

6.在書(shū)柜的某一層上原有6本書(shū)，如果保持原有的書(shū)相對(duì)順序不變，在插進(jìn)去3本不同的

書(shū)，那么共有種不同的插入方法（用數(shù)字作答）.

7.若?！?6=?！?,〃eN*,則〃的值______.

8.某人連續(xù)射擊8次有四次命中，其中有三次連續(xù)命中，按"中"與"不中"報(bào)告結(jié)果，不

同的結(jié)果有多少種.

9.圓周上共有15個(gè)不同的點(diǎn)過(guò)其中任意兩點(diǎn)連一弦這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有多少個(gè)？

10.某人用四種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），在如圖12-14中的6個(gè)點(diǎn)48,C,

4,4,0上各裝一個(gè)燈泡，要求同一條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡

都至少用一個(gè)的安裝方法，共有種.

圖12-14

最有效訓(xùn)練49

1.B解析3封不同的信任意投入4個(gè)不同的信箱，隨意隨意投法為43種，每個(gè)信封至

多1封信的投法為數(shù)為團(tuán)，故選B.

2.B解析若從“0,2”中選擇數(shù)字0,與從“1,3,5”中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位

數(shù)，其中為奇數(shù)的有C；C；=6種，若從“0,2”中選擇數(shù)字2,與從“1,3,5”中選兩個(gè)數(shù)字，組成

無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中為奇數(shù)的有C；C；4=12種，則共有18種，故選民

3.0解析只能由一人完成兩項(xiàng)工作，其余兩人各完成一項(xiàng)工作。因此，可把四項(xiàng)工作

看成三項(xiàng)，因此應(yīng)有q*A：=36種

4.B解析N區(qū)域有4種顏色的花供選擇，則有C：種選法，5區(qū)域有C；種選法，若C

區(qū)域和4區(qū)域的顏色相同，則。區(qū)域有3種選擇；若C區(qū)域和4區(qū)域的顏色不相同，則。

區(qū)域有2種選擇；則不同的種法共有C：C；（1x+2x2）=84種.故選B.

5.432解析此題正面求解需考慮。與1卡片用與不用，且用此卡片又分使用0與使用

1洪別較復(fù)雜周而可使用間接計(jì)算任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)C；x23x團(tuán)個(gè)，

其中。在百位的有C：X22x個(gè)，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù)

C；X23X團(tuán)-C；x22XA；=432（個(gè)）

6.504解析本題用分步計(jì)數(shù)原理求解.7x8x9=504（種）

7.4解析2〃+6=〃+2或2"+6+"+2=20解得”=-4（舍），“=4.

8.20解析把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為四個(gè)相同的黑球與四個(gè)相同白球，其中只有三個(gè)黑球相鄰的排列

問(wèn)題.仆20種

9.1365解析:因兩弦在圓內(nèi)若有一交點(diǎn)，則該交點(diǎn)對(duì)應(yīng)于一個(gè)以