2023屆高中數(shù)學題型全面歸納12

2023屆高中數(shù)學題型全面歸納第十二章計數(shù)原理

第一節(jié)計數(shù)原理與簡單排列組合問題

考綱解讀

1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.

2.會用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題.

3.理解排列、組合的概念.

4.能用計數(shù)原理推導排列數(shù)、組合數(shù)公式.

命題趨勢探究

1.本節(jié)為高考必考內(nèi)容，一般有「2道選擇題或填空題.

2.題目主要以實際應用題形式出現(xiàn).

3.試題的解法具有多樣性，一般根據(jù)計數(shù)重復或遺漏來設計錯誤選項，在解答選擇題

時可通過正向（分類相加）和反向（總數(shù)減去對立數(shù)）互相檢驗，也可以通過排除法篩選

正確選項.

知識點精講

基本概念

1.分類加法計數(shù)原理

產(chǎn)有〃類方法]

完成一件事②任兩類無公共方法（互斥）「共有所

每類中每法可單獨做好這件事J

mx+m2+---+mn種不同方法.如圖12-1所示.

—I。。1卜

r4o00n1|--I°02I

--------1.>/77inO、

.__I?Io00D/?0

??如+利+/+…+勿0DD0D

,AHIh,

-UTO：°"Ji.mfi，

圖12-1

2.分步乘法計數(shù)原理

「①必須走完A步，才能完成任務'

完成一件事，②前一步怎么走對后一步怎么上共有V

〔走無影響（獨立）

=mlxm2x---xmn種不同方法.如圖12-2所示.

D—?DD1iDD2—?00/?--0Dn

?iff]

仍。/7%0詞球

ulru0石0D茄乂…乂加』「「D『

D

圖12-2

曲W個原理及其區(qū)別.

分類加法計數(shù)原理和“分類”有關，如果完成某件事情有0類辦法，這。類辦法之間

是互斥的，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時，就用分類加法計數(shù)原理.

分步乘法計數(shù)原理和“分步”有關，是針對“分步完成”的問題.如果完成某件事情有

〃個步驟，而且這幾個步驟缺一不可，且互不影響（獨立），當且僅當依次完成這〃個步驟

后，這件事情才算完成，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時，就用分步乘法計數(shù)原理.

當然，在解決實際問題時，并不一定是單一應用分類計數(shù)原理或分步計數(shù)原理，有時

可能同時用到兩個計數(shù)原理.即分類時，每類的方法可能運用分步完成；而分步后，每步的

方法數(shù)可能會采取分類的思想求方法數(shù).對于同一問題，我們可以從不同的角度去處理，從

而得到不同的解法（但方法數(shù)相同），這也是檢驗排列組合問題的很好方法.

3.排列與排列數(shù)

從。個不同元素中取出MaWn）個（不同）元素，按照一定的順序排成一列，叫做從〃

個不同元素中取出0個元素的一個排列.從〃個不同元素中選取〃個元素血的排列個數(shù)

共有A；.

A：=;??（?-1）.（/?-2）??…（n-w+1）（必個連續(xù)正整數(shù)之積,“為最大數(shù)）.

A：=-1卜（〃-2卜…=n\

n\

A；=

（〃一/%）!

規(guī)定0!=l.

注排列數(shù)公式的兩種不同表達形式本質(zhì)是一樣的，但作用略有不同，

A；=〃("-1)…(〃-加+1)常用于具體數(shù)字計算；而在進行含字母算式化簡或證明時，多用

'(〃-%)!

可重排列與無重排列的區(qū)別.

例如：用1,2,3,4,5這五個自然數(shù)，可排成

有重復數(shù)字的四位數(shù)——5X5X5X5=54

無重復數(shù)字的四位數(shù)——5X4X3X2=⑷

區(qū)別：

不可重復排列：用過的數(shù)字不可再用，用一個少一個.

可重復排列：用過的數(shù)字還可再用，每次可用數(shù)字不減少。

再例如：4封不同的信，全部投入5個信箱.

①任意投(投過的信箱可再投入)——5X5X5X5=54.

②每箱至多一封信(投過的信箱不可再投入)一一5X4X3X2=4，

4.組合與組合數(shù)

從"個不同元素中取出，(旋而個(不同)元素，并成一組，叫做從打個不同元素中取出

⑷個元素的一個組合.從〃個不同元素中取出。個元素的組合數(shù)共有C：.

心A：2)…(〃-加+1)

Cw=—\m=---------------------?------------------

Agm\

_n\

注同樣，公式C：=…(/i+1)常用于具體數(shù)字計算，

ml

C；=---常用于含字母算式的化簡或證明.

(1)排列和組合的區(qū)別.

組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工.

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同.

注排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問題，它們之間

的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考

慮順序的是排列問題.排列是在組合的基礎上對入選的元素進行排隊，因此，分析解決排列

組合綜合問題的基本思維是“先組合，后排列”.例如：從10個人中抽出4人參加某項活

動有C：。種方案；從10個人中抽出4人分別參加4項活動有A：。種方案.

(2)一切排列數(shù)、組合數(shù)、階乘及它們展開式的因數(shù)都是正整數(shù).

常見的有0!=1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120,6!=720.

C：=C：=1，C；=C：T=〃,c^=C；：-2=^y^.A；=〃，A：=〃（〃-l）.

（3）公式（性質(zhì)）.

①n[=n[n-1）!=n[n-1）?（/?-2）!.

②禺=C：，如或。=/。=華型?

2x1

③c：+c/=c:，如C；+C；=C：o（口訣:相鄰組合數(shù)相加，加一元（L91）取大

（M1>2Z7,取加1）.

④C+c工+c;%+…+c;=c*

題型歸納及思路提示

題型161分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理

思路提示

要明確完成一件事所包含的內(nèi)容是如何進行的，若需分類按加法數(shù)原理，若需分步按

乘法計數(shù)原理.分類時要做到“不重不漏”，分步時要做到“步驟完整”.有些計數(shù)問題既需

要分類，又需要分步，此時要綜合運用兩個原理.

例12.1現(xiàn)有3名老師，8名男生和5名女生共16人，有一項活動需派人參加.

（1）若只需1人參加，有多少種不同選法？

（2）若需老師，男生，女生各1人參加，有多少種不同選法？

（3）若需1名老師和1名學生參加，有多少種不同選法？

解析（D有3類選人的方法：3名老師中選1人，有3種方法；8名男生中選1人，有8

種方法；5名女生中選1人，有5種方法；由分類計數(shù)原理，共有3+8+5=16（種）選法.

（2）分3步選人：第一步選老師，有3中方法；第二步選男生，有8種方法；第三步選女

生，有5種方法；由分步計數(shù)原理，共有3X8X5=120（種）選法.

（3）可分兩類：每一類又分兩步.第1類：選1名教師和1名男生，因有兩步，故3X8=24

（種）選法；第2類：選1名教師和1名女生，因有兩步，故有3X5=15（種）選法.再

由分類計數(shù)原理，共有15+24=39（種）選法.

評注在解決實際問題時，并不一定是單一地應用分類計數(shù)原理或分步計數(shù)原理，有時可

能同時用到兩個計數(shù)原理.即分類時，每類的方法可能運用分步完成，而分步后，每步的

方法數(shù)可能會采取分類的思想求取.

變式1有5張卡片，正反面分別寫有數(shù)字。與1,2與3,4與5,6與7,8與9,現(xiàn)從中

任取三張，排成一列，問共可擺出____個不同的三位數(shù).

解析用分步計數(shù)原理.由題意可分三步完成該事情.

第1步選一個數(shù)字放在百位上，有9種不同的方法（0不可以）；

第2步再選一個數(shù)字放在十位上，有8種不同的方法（因為百位上占用一張卡片，2個數(shù)字

不能用）；

第3步選一個數(shù)字放在個位上，只有6種不同的方法.

共有9x8x6=432（種）不同的結(jié)果.

變式2晚會原有節(jié)目單由7個節(jié)目排成，現(xiàn)要新添3個不同的節(jié)目，且不改變原有節(jié)目的

相對順序，則這3個節(jié)目有多少種不同的安排方法？

解析共7+3=10（個）節(jié)目，其中7個定序，先排出10-7=3（個）非定序元素即可，

共43。=720（種）排法.

例12.2（1）若8名學生爭奪3項體育比賽的冠軍（每名學生參數(shù)項目不限），則冠軍獲得

者有種不同情況（每個項目沒有并列冠軍）.

（2）8名學生從3項體育項目中選擇參數(shù)，若每一名學生只能參加一項，則有種

不同的參賽方法.

分析正確理解任務完成的標志，（1）即把3個冠軍名額全部分給8個學生（可以一名學生

奪得多個冠軍）；（2）即為8名學生都報完比賽項目（可以多名學生報一個項目）.

解析（1）第1個冠軍名額的去向有8種，第2個冠軍名額和第三個冠軍名額同樣各有8個

可能去向，故冠軍獲得者共有8X8X8=83（種）不同的情況.

（2）第一位學生報項目的方法有3種，同樣，其他每一位學生都有3種報取項目的選擇方

法，根據(jù)分步計數(shù)原理，故應有3X3X3X3X3X3X3X3=38（種）不同的參賽方法.

變式1將3個信封投到4個郵箱，最多的投法有一種.

解析第1封信投到信箱中有4種投法，第2封信投到信箱中也有4種投法，第3封信投

到信箱中也有4種投法，只要把這三封信投完，就做完此件事情，依分步計數(shù)原理知共有

4x4x4=64種方法.

評注（1）本類題要與排列題分開，每封信的投法互相獨立，不影響其余信的投法（并且

不同的信可以投到同一信箱中），完成此事只需將信一封封地投出去即可.

（2）正確理解分類和分步計數(shù)原理是基礎，解決有關問題應優(yōu)先考慮是否能運用這兩個基

本原理.

變式2現(xiàn)有6名同學聽取同時進行的5個課外知識講座，每個同學可自由選擇其中一個講

座，不同的選法有（）種.

A.56B.65

5x6x5x4x3x2

C.--------------------------D.6X5X4X3X2

2

解析分6步，每步由一名同學選一個講座，都有5種選法，故只有5x5x5x5x5x5=56種方

法.故選4

變式3已知集合￡{1,2,3},廬式2,3,4}.

（1）映射/1:4-8共有多少個？

（2）映射夕丘4共有多少個？

解析由映射的定義可知，（1）/：任意xe/f唯一確定的故從4到5共有

4x4x4=43（個）不同的映射；

（2）g：任意XWBT唯一確定的yeA,故從B到A共有3x3x3x3=34（個）不同的映射；

例12.3同室4人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿出一張別人送出的賀卡，則

4張賀卡的不同的分配方式有（）.

A.6種B.9種C.11種D.23種

分析將同室4人分別記為a,6,c,"，然后利用4個取卡的情況分步來確定.

解析解法一：第一步，4個人中的任意一人（例如a）取一張，則由題意知共有3種取法；

第二步：由第一人取走的賀卡的供卡人取，也有3種取法；第三步：由剩余的兩人中的

任一人取，只有1種取法；第四步：最后一人取，只有1種取法，由分步計數(shù)原理，共

有3X3X1X1=9（種）.

解法二：設4張賀卡分別記為4B,C,〃由題意，某人（不妨設4卡的供卡人）取卡的

情況有3種，據(jù)此將卡的不同分配方式分為3類，對于每一類，其他人依次取卡分步進

行，為了避免重負或遺漏現(xiàn)象，我們用“樹圖”表示如下：設a,b,c,"代表4個人，A,B,C,D

分別代表這4個人寫的賀卡，則有如圖12-3所示的樹狀圖.

bd

D—?C—―

4C----?B----?A

圖12-3

所以共有9種不同的分配方式.故選B.

評注本例提供的第一種解法用了分步計數(shù)原理，關鍵是要弄清楚分步時每步的順序，例

如a先取走?？?，則下一步應由c取，否則由6,c,d中一人取，就很難斷定是有3種還

是2種取法了.

第二種解法可以看作兩個原理的交替應用，用樹圖表示一目了然，便于分析計數(shù)，避免

了重復或遺漏.在以后的學習中，用樹圖來直觀地分析問題是常用的，請同學們重視.

變式1（2017?浙江）從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人

組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有種不同的選法.（用數(shù)字

作答）

【答案】660

【考點】計數(shù)原理的應用，排列、組合及簡單計數(shù)問題

【解析】【解答】解：第一類，先選1女3男，有C63c2」40種，這4人選2人作為隊長和

副隊有A42=12種，故有40x12=480種，

第二類，先選2女2男，有C62c22=15種，這4人選2人作為隊長和副隊有A/=12種，故

有15x12=180種，

根據(jù)分類計數(shù)原理共有480+180=660種，

故答案為：660

【分析】由題意分兩類選1女3男或選2女2男，再計算即可

變式23個人踢理子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過5次傳遞后，

健子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有（）.

A.6種B.8種C.10種D.16種

分析任務的完成與分布流程有關，可以使用樹狀圖求解.

解析如圖12-24所示，若甲第一次將鍵子傳給乙，可以有5種情況完成任務.同理，甲傳

給丙，也有5種情況，綜上，共有10種傳法.故選C.

/甲

―?甲

—＞甲

第1次第2次第3次第4次第5次

圖12-24

例12.4某外語組有10人，每人至少會英語、法語中的一門.其中7人會英語，5人會法語.

從中選擇會英語和法語的各一人派往兩地參加會議，有多少種不同的方法？

分析對于較為復雜的分類與分步問題，應做到不重不漏，本題應抓住公共元素的處理方

法.

解析由集合知識可知，既會英語又會法語的有7+5-10=2（人），僅會英語的有7-2=5（人），

僅會法語的有5-2=3（人）.易知此題的任務是派遣適合條件的兩人.

解法一：按僅會英語的5人的派遣情況分成兩類.

第1類：僅會英語的5人中有1人選中，則有5種方法，而會法語的則有5種方法，從

而由分步計數(shù)原理，有5X5種方法.

第2類：僅會英語的5人中沒有人被選中，則會英語的必須從既會英語又會法語的2人

中選，從而有2種選法.而會法語的只能從兩種語言均會的剩余1人或僅會法語的3人中

選，共有1+3=4（種），由分步計數(shù)原理得，此時共有2X4種方法.

由分類計數(shù)原理，共有5><5+2X4=33（種）方法.

解法二：按僅會法語的3人的選派情況分成以下兩類.

第1類：僅會法語的3人恰被選中1,則由分步計數(shù)原理，共有3X7種方法.

第2類：僅會法語的3人均未被選中，則由分步計數(shù)原理得，共有2X6種方法.

從而由分類計數(shù)原理，共有3X7+2X6=33（種）方法.

解法三：按既會英語又會法語的2人的選派情況分成3類.

第1類：2人均未被選派，則有3X5種方法.

第2類：2人均被選派，則有2種方法.

第3類：2人中恰有1人被選派，則又分為兩類.

若另一人只會英語，則有2X5種方法.

若另一人只會法語，則有2X3種方法.

由分類計數(shù)原理得，共有3X5+2+2X5+2X3=33（種）方法.

評注在應用分類和分步計數(shù)原理解決較復雜的問題時應注意：

（1）認真審題，分析題目的條件、結(jié)論，特別要理解題目中所講的“事情”，即任務是什

么，完成這件事情的含義和標準是什么.

（2）明確完成這件事情是分類還是分步，還是既要分類又要分步，并搞清分類或分步的具

體標準是什么.

（3）注意兩個原理的實質(zhì)：分類用分類計數(shù)原理（即加法），分步用分步計數(shù)原理（即乘

法）.

變式1用三種顏色染如圖12-4-1所示的矩形塊，要求每塊染一種顏色且相鄰不同色.

（1）共有多少方法？

（2）每種顏色染兩塊有多少種方法？

圖12_4_1

解析記三色為1,2,3.

（1）逐塊確定，易得共3x2x2x2x2x2=96（種）方法.

（2）第一塊3種方法，第二塊2種方法，不妨設第一塊用顏色1,第二塊用顏

色2,此時如圖12-25所示.

12

圖12-25

按第三塊分類:

分三步，故共有3x2x（l+2+2）=30（種）方法.

評注涂色問題往往從某一塊出發(fā)進行分步涂色，用分步計數(shù)原理.本題中的三色改成三種

不同花，同一解法.

變式2（2016年全國II高考）如圖124-2,小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會

合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路

徑條數(shù)為（）

(A)24(B)18(C)12(D)9

圖12-4-2

【分析】從E到F最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段

方向相同，每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，由組合

數(shù)可得最短的走法，同理從F到G,最短的走法，有C313種走法，利用乘法原理可得結(jié)

論.

【解答】解：從E到F,每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段，

從E到F最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同,

每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有C42=6種走

法.

同理從F到G,最短的走法，有C3.3種走法.

...小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為6x3=18種走法.

故選：B.

題型162排列數(shù)與組合數(shù)的推導、化簡和計算

思路提示

盡量用性質(zhì)計算；推導、證明和化簡約分用階乘形式，計算用乘積形式.

例12.5（1）證明：A：1卜…?（〃一加+1）=

-----——(n.mG<〃).

("〃?)!

(2)已知加,〃wN*,且

n\

證明：①C：、1%

A,”加?。āㄒ患樱?/p>

④c;+C"+…+c；］=

解析（DA；為從〃個（〃￡N*）不同元素中取出山（=/?,勿￡N*）個（不同）元素，按

照一定順序排成一列的不同排列的個數(shù)（即排列數(shù)）.

如表12-1所示，需要〃步完成排列任務.

表12-1

位置1位置2...位置m

A種方法kl種方法...z?-研1種方法

第一步（為位置1選擇一個元素）有〃種選法.

第二步（為位置2選擇一個元素）有n-1種選法.

第。步（為位置必選擇一個元素）有廣加1種選法.

依分步計數(shù)原理，得A：…（〃一〃?+1）=

(〃一加)…n\

+1)

(?-(n-w)!

（2）①C；為從0個不同元素中任取〃個（不同）元素并成一組的不同組合的個數(shù)（即組

合數(shù)），當0GN*,底n時,從〃個不同元素中取吸個（不同）元素按照一定的順序排成

一列，可以分成兩步完成，第一步從A個不同元素中任取〃個元素并成一組，第二步把

取出的⑷個元素按照一定的順序排成一列，依分步乘法原理得A；=C>A>

A?

即C：=d,又A：=n'，

A：

〃I

故C：=--一.當斤0,c：=l.

Yli

n\1,c：」一=1也成立.

0M0!?加

n\n\

②CT

[n_(〃一/%)]!ml(n-m)!

故C；二c「

③C7+Cm+,=___—___+_______________

(w4-l)!(??—w-1)!

(加+1)〃！(n-m)nl

=---------------1----------------

(w+1)!(?-7/7)!(加+1)!(〃-m)!

=(〃+l)!=c"

一(加+1)!(〃二加)!一山

④由c：+C：+1=c：：；+C：+I=c鬻,則c：+c：+1

+c；k=G：；+c3=c霜，依此類推，

故C；：+Ck+???《：+”w+Itn

cm+nm+nL/w+zj+1

評注題目④中的求和應用，$n(i)c^+c^+--+c^=Co]

(ii)C；o+C：+???+l=C；+C：+…+C；o-C+

C44---FC；)=C=]-C：0.

變式1組合數(shù)?：（〃＞廠21,〃/€2）恒等于（）.

A.--C：：；B.（〃+l）（r+l）C；二；

n+l

f-1

C.及rC1；D.巴C1；

r

解析解法一：特殊值法.

2

尸1時，C；=n,選項4=上，選項8=2（〃+1）,選項C=〃，選項。=”,則排除選項N和

n+\

B;

-2時，。：=迪心，選項C=2〃（〃-1）,排除C,故選。.

2

解法一：推演法.

〃！(r-l)!(n-r)!nYI

《>0,。;>0,島=一,即；故選。.

C〃_]r!(/?-r)!(〃一1)!rr

變式2解方程A；“=100A；(〃€N*).

解析由排列數(shù)公式可知，工=2〃（2〃-1）（2〃-2）,4=〃（〃-1）,

故原方程可化為4（2"-1）=100,解得“=13.

例12.6（1）乘積加（加+1）（加+2）…（加+20）可表示為（）.

A.A：°B.A；：C.A，D.A%。

⑵式子冽（加+1）5+2）二（加土20）可表示為（）

20!

A.A：%B,C；%C.21C%°D,21c3。

解析（1）原式=（加+20）（加+19）…[（加+20）-21+1]

=A：3o，也可以觀察，一共有21個連續(xù)正整數(shù)的積，可以直接表示為A；%,?故選口

A21A21

⑵原式=-^=21321=2icy20.故選D.

20!21!，n+2°

評注公式A：=〃（〃-l）…（〃-加+1）的構(gòu)成特點是：公式右邊第一個因數(shù)是A,其后每

個因數(shù)都比它前面一個因數(shù)少1,最后一個因數(shù)是hml,共有E個因數(shù)相乘，組合數(shù)C：

公式也有相似特點.

使用時要注意三個問題：第一個因數(shù)是什么、最后一個因數(shù)是什么、一共有多少個連續(xù)

相乘的正整數(shù)，防止我們在"A"，比較復雜時用錯公式.

應用公式時，要注意正用、逆用和活用等.

變式1市內(nèi)某公共汽車站有6個候車位（成一排），現(xiàn)有3名乘客隨便坐在某個座位上候

車，則恰好有2個連續(xù)空座位的候車方式的種數(shù)為（）

A.48B.54C.72D.84

解析選c先把3名乘客進行全排列，有Al=6種排法，排好后，有4個空，再將1

個空位和余下的2個連續(xù)的空位插入4個空中，有A3=12種排法，則共有6X12=72種候

車方式.

題型163計數(shù)原理與排列組合問題的結(jié)合

思路提示

要注意可重排列與不可重排列的區(qū)別；選擇適當?shù)慕忸}策略，即加法與減法；應注意

不重不漏.

例12.7如圖12-6所示，電路中共有13個開關（電阻略），每個開關可任選“開”或“關”

一種狀態(tài)，且相互獨立.

圖12-6

（1）燈亮，有多少種整體狀況；

（2）燈滅，有多少種整體狀況.

分析每個開關有“開”或“關”兩種狀況，逐個確定這13個開關的“開”、“關”狀態(tài)共

有*=8192（個）整體狀態(tài)，只要求出（1）與（2）中一值，用減法即可求出另一值.

解析（1）燈亮，第一步4通到G第二步C通到。，第三步。通到￡,第四步￡通到3,算

出每步方法數(shù)，再相乘得整體通（即燈亮）方法數(shù).

第一步：先算幺到C不通方法數(shù)，即上、中、下三路都不通，上路不通的方法數(shù)=2,一（上

路通的方法數(shù)）=2,一（2?-1）=5,中路不通的方法數(shù)=1,下路不通的方法數(shù)=2?-1=3.

故A到C不通的方法數(shù)為5X1X3=15.

4到C通的方法數(shù)=2'—15=256—15=241,

C到。通的方法數(shù)=22—1=3,。到￡通的方法數(shù)=1,E到B的方法數(shù)=2。-1=3.

故燈亮即四步都通，整體狀況有241X3X1X3=2169（種）.

（2）燈不亮有213-2169=8192-2169=6023（種）.

評注串聯(lián)求通：把各段通數(shù)相乘，得總通數(shù).串聯(lián)求不通：先求通，再用減法，得串聯(lián)不

通數(shù).并聯(lián)求通：先求不通數(shù)，再用減法，得并聯(lián)通數(shù).并聯(lián)不通：把各支路不通數(shù)相乘.

變式1直線方程4廣爐0,從1,2,3,4,5這五個數(shù)中每次取兩個不同的數(shù)作4和8,共可

確定（）條直線.

A.20B.19C.18D.16

AA

解析由直線方程“x+8y=0得，y=-gx,故看成有多少個不同的g值48不同屬排列

BB

問題《=20,去掉重復!=20-2=18.故選C.

2412

變式2一個A棱錐的所有頂點共可確定條直線，這些直線可確定對異面

直線.

解析①共〃+1個頂點可確定C*=器辿條直線，②每對異面直線由一條側(cè)棱與底面與

它無公共點的直線確定，共=〃（〃一對.

例12.8如圖12-7所示，有4種不同顏色供選，要求每塊一種顏色，相鄰兩塊

不同色，共有多少種染色方法？

解析如圖12-8所示，記4種顏色為1,2,3,4,可以從￡開始染，有4種染法，4與后相

鄰，4￡不同色，所以/有3種方法，8與4E均相鄰，8有2種染法，最后剩C。，此

時要注意分類討論，如圖12-8所示，。與“同色時，。有2種染法；＜7與4不同色時，D

有1種染法，即共有3種方法.綜上共有4X3X2X3=72種染色方法.

評注利用計數(shù)原理求解染色問題，一般有“區(qū)域”染色和“線段端點”染色兩類，其中

區(qū)域染色問題，常用的原則有“最多相鄰優(yōu)先”，但要注意最后2~3個區(qū)域的分類討論.

變式1如圖12-9所示，用4種不同顏色給圖中A,B,C,D,E,F共6個點染色，要求每個點染

一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點不同色，則不同的染色方法共有（）種.

A.288B.264C.240D.168

解析按所用顏色分兩類.

第一類：三色涂完，必然兩兩同色，即尸或N尸同色，有2彳=48（種）.

第二類：四色涂完，有肯定不同色，有封種涂法，再從8,居C中選一位置涂第四色,

有3種，若選的是8,則NRCE或或同色，故我,（7共3種涂發(fā)，所以

w???3=216（種），故共有48+216=264（種）染色方法.故選民

變式2用4種不同顏色為正方體的六個面著色，要求有公共棱的兩個面不同色，則共有

（）種不同的著色方法.

A.24B.48C.72D.96

分析根據(jù)正方體的幾何特征知，相同顏色只能涂對面，即上下可同色，左右可用色，前

后可同色.

解析按所用顏色分兩類

第一類：選取其中三種顏色涂色，有*種涂色方法.

第二類：4色涂完，在同一公共點的平面有㈤選色方法，另外在剩下的三個平面選一個

平面涂第四種顏色，其余兩個平面顏色與對面顏色相同，及確定.有《m。；=/：。；,故共有

a+/：C；=96種.故選D.

變式3用紅、黃、藍三色之一去涂如圖12-10所示的標號「9的9個小正方形，使任意有

公共邊的小正方形不同色，且3,5,7的方塊同色，則共有種不同涂色方法.

圖12-9圖12-10

解析如圖12-26所示，第一步，“3”，“5”，“7”定一色，有C；=3（種）染發(fā)如取紅色.

第二步染“1”，“2”，“4”塊，按“2”，“4”同色、異色分類.

“2”，“4”同色C；,“1”定色G，共2x2=4種染色

圖12-26

“2”,“4”異色4,“1”定色C；，有4=2種染色

共6種染色

第三步，染“6”，“8”，“9”塊，同理共有6種染色方法

故共有3x6x6x=108（種）不同染色方法.

變式4在五邊形ABCDE中，五個頂點各染紅、黃、綠三色之一，相鄰頂點不同色，共有種

不同染法.

解析如圖12-27所示，第一步染4有C；=3種染法，如取N為紅;

第二步按&E同色與否分類.51同色如取5=E黃，

A為紅

CD

圖12-27

C為紅,。為綠

=共2、2種染法.

'c為綠，。為紅

研不同色心取5為黃嗎，E為綠'。為綠”為黃=共-2士6的染法.

故共有C；（2X2+2X3）=30（種）不同染法.

例12.9某市汽車牌照前面兩個英文字母（不可重復）后面四個數(shù)字（可重復）組成，最多

有多少個牌照？

解析任務：第一步，確定前面兩個英文字母26*25=團6；第二步：確定后面四個數(shù)字

10x10x10x10=1（）4.所以最多可有26*25x104=6.5x106（個）牌照.

變式1某通信公司推出一組手機號碼，號碼的前7位數(shù)固定，從xxxxxxxOOOO到

xxxxxxx9999共10000個號碼。公司規(guī)定：凡卡號的后4位帶有數(shù)字4或7的一律作為

優(yōu)惠卡，則這組號碼中優(yōu)惠卡有（）個.

A.2000B.4096C.5904D.8320

解析總數(shù)減去對立數(shù)=1000-后四位既無4也無7=1000-84=5904.故選C.

變式2用數(shù)字0,1,2,3,4這4個數(shù)字組成的四位數(shù)中有重復數(shù)字的四位數(shù)有（）個.

A.192B.182C.174D.274

解析總數(shù)減去對立數(shù)=3x4x4x4-無重復四位數(shù)=192-3^=174.故選C.

變式3用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有

個（用數(shù)字作答）.

解析從反面著想，因為只是出現(xiàn)“2”或只是出現(xiàn)“3”的四位數(shù)有2個，則數(shù)字2,3至少都

出現(xiàn)一次的四位數(shù)有2<2=14個.

例12.10設集合/={1,2,3,4,5},選擇/的兩個非空子集/與8,要使8中最小的元素大

于A中的最大元素，則Z與8的不同的選擇方法共有（）種.

A.50B.49C.48D.47

分析關鍵在于選擇分類的依據(jù).選擇/口8的元素個數(shù)x為分類依據(jù)是最佳選擇，顯然，

依題意x=2,3,4,5.或選擇B中的最小元素為分類依據(jù).

解析解法一：令4口8中有x個元素，則x=2有C；種選法.x=3有2xC；種選

法.X=4有3XC；種選法.x=4有4XC；種選法，則不同的選擇方法共有

C；+2xC；+3xC；+4xC；=49.故選B.

解法二：當8中的最小元素為2時，則/中的最大元素只能為1,23x1=8種；當B

中的最小元素為3時，則”中的最大元素只能為1或2,有22xQ2-1）=12種；當6中的

最小元素為4時，則N中的最大元素小于或等于3,有2x（23-1）=14種；當8中的最大

元素為小于或等于4時，有1x3—1）=15種;，共有8+12+14+15=49.故選B.

評注解法一中可以理解組合問題隔板法，應為48集合中元素大小順序一定.解法二中應

注意排除可能出現(xiàn)空集的問題.

變式1/=｛1,2,3,4,5｝,48是/的兩個子集，Z中有3個元素，8中至少有兩個元素,

且6中所有的元素不大于/中的最小元素，這樣的46有組.

解析以N中最小元素x分類討論，依題意x=2,3,4.

X=2,B：C；d：。：,有。；。：=6（組）

X=3,同理有C；（C；+2）=12（組）

X=4,有C；（C：+C：+C：）=11（組）

故共有6+12+11=29（組）

變式2/=｛1,2,3,4｝,從/中取出4個不同的子集，滿足條件：①其中必有①和/；②4個

子集中的任意兩個子集/與8,必有Z胃8或6屋/.則4個子集共有種選法.

解析依題意，任取一種選法：0=｛。｝=｛凡6仁｛〃也5/｝稱之為“0,1,2,4”類，則共有3

類：“0,1,2,4”類，"0,1,3,4”類，“0,2,3,4”類.

“0,1,2,4”類有=12（種）選法；“0,1,2,4”類有。；。；=12（種）選法;

“0,2,3,4”類有。：0=12（種）選法.故共有12+12+12=36（種）選法.

例12.11用1?9填如圖12-11所示的“九宮圖”，每格一數(shù)，不同格不同數(shù)，其中“3”,

“4”已填好，要求每行從左至右，每列從上到下都遞增，共有種不同填格法.

126

34347

589

圖12-11

圖12-12

解析依題意，1,2,9位置固定，如圖12-12所示,5,6,7,8任意分兩組分散9上方和左方

兩格，有種分法，如取5,8在9左邊，6,7在9上方，只能如圖所示，C；=6,故有6

種不同方法.

變式1在1,2,3,4,5的排列中滿足＜。2＞。3，。3＜44＞%排列有（）

個.

A.10B.12C.14D.16

解析”2,“4中必有“5”，分兩類.

12,04為4,5,M，＜74為3目=/?+（1*3*544/5*5^）=12+2團=16.故選〃

變式2用4個數(shù)字（只含0和1）排成一個四位數(shù)字表示一個信息，則與信息0110至多

有兩個對應位置上的數(shù)字相同的信息有（）個.

A.10B.llC.12D.15

解析解法一：至多有兩個位置上的數(shù)字相同的信息，分3種情況：沒有一個位置上的

信息相同，為C：個；有一個位置上的信息相同，為C：個；有兩個位置上的信息相同，為C：

個，共有C：+C；+C：=ll（個）.故選民

解法二：總數(shù)減去對立數(shù).0,1組成四位號碼，共2x2x2x2=16個，減去（與0110三位相同

的加上與0110四位相同的）=16-4-1=11.故選史

最有效訓練題49（限時30分鐘）

1.3封不同的信任意投入4個不同的信箱，隨意投的投法數(shù)和每箱至多1信的投法數(shù)依次為

（）.

A.3\團B.43,4C.34,43D.團⑷

2.從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個

數(shù)為（）.

A.24B.18C.12D.6

3.（2017新課標H理）安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1

人完成，則不同的安排方式共有

A.12種B.18種C.24種D.36種

4.如圖12-13所示，一個環(huán)形花壇，分為48,。,。四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選擇，要

求在每塊里種一種花，且相鄰兩塊種不同的花，則不同種法共有（）種.

A.96B.84C.60D.48

5.有五張卡片，它的正反面分別寫。與1,2與3,4與5,6與7,8與9,將它們?nèi)我馊?/p>

張并排放在一起蛆成三位數(shù)，共可組成個不同的三位數(shù)？

6.在書柜的某一層上原有6本書，如果保持原有的書相對順序不變，在插進去3本不同的

書，那么共有種不同的插入方法（用數(shù)字作答）.

7.若。”+6=。￡2,〃eN*,則〃的值______.

8.某人連續(xù)射擊8次有四次命中，其中有三次連續(xù)命中，按"中"與"不中"報告結(jié)果，不

同的結(jié)果有多少種.

9.圓周上共有15個不同的點過其中任意兩點連一弦這些弦在圓內(nèi)的交點最多有多少個？

10.某人用四種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），在如圖12-14中的6個點48,C,

4,4,0上各裝一個燈泡，要求同一條線段的兩個端點的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡

都至少用一個的安裝方法，共有種.

圖12-14

最有效訓練49

1.B解析3封不同的信任意投入4個不同的信箱，隨意隨意投法為43種，每個信封至

多1封信的投法為數(shù)為團，故選B.

2.B解析若從“0,2”中選擇數(shù)字0,與從“1,3,5”中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位

數(shù)，其中為奇數(shù)的有C；C；=6種，若從“0,2”中選擇數(shù)字2,與從“1,3,5”中選兩個數(shù)字，組成

無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中為奇數(shù)的有C；C；4=12種，則共有18種，故選民

3.0解析只能由一人完成兩項工作，其余兩人各完成一項工作。因此，可把四項工作

看成三項，因此應有q*A：=36種

4.B解析N區(qū)域有4種顏色的花供選擇，則有C：種選法，5區(qū)域有C；種選法，若C

區(qū)域和4區(qū)域的顏色相同，則。區(qū)域有3種選擇；若C區(qū)域和4區(qū)域的顏色不相同，則。

區(qū)域有2種選擇；則不同的種法共有C：C；（1x+2x2）=84種.故選B.

5.432解析此題正面求解需考慮。與1卡片用與不用，且用此卡片又分使用0與使用

1洪別較復雜周而可使用間接計算任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)C；x23x團個，

其中。在百位的有C：X22x個，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù)

C；X23X團-C；x22XA；=432（個）

6.504解析本題用分步計數(shù)原理求解.7x8x9=504（種）

7.4解析2〃+6=〃+2或2"+6+"+2=20解得”=-4（舍），“=4.

8.20解析把問題轉(zhuǎn)化為四個相同的黑球與四個相同白球，其中只有三個黑球相鄰的排列

問題.仆20種

9.1365解析:因兩弦在圓內(nèi)若有一交點，則該交點對應于一個以