高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解題建議

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解題建議俞新龍（浙江省紹興縣越崎中學(xué)312050）“鐵打的校園，流水的學(xué)生”，2022年高考已經(jīng)圓滿(mǎn)結(jié)束，馬上就要步入2022年的高考復(fù)習(xí)，雖說(shuō)高考復(fù)習(xí)“歲歲年年題不同”，但實(shí)際是“年年歲歲法相似”．在此，老師愿意將2022年高考復(fù)習(xí)中同學(xué)們?cè)诮忸}方面需要特別注意的幾方面提出來(lái)，并通過(guò)復(fù)習(xí)中遇到的具體實(shí)例講解，供同學(xué)們參考，希望同學(xué)們能以一個(gè)良好的開(kāi)端取得事半功倍的效果．一、高考復(fù)習(xí)應(yīng)重視基礎(chǔ)這是一個(gè)老生常談的話(huà)題．簡(jiǎn)單的講就是要重視教材中的概念、定義、公理、定理等基本知識(shí)和在學(xué)習(xí)中得到的一些有益于解題的結(jié)論．只有夯實(shí)了基礎(chǔ)，解題才能得心應(yīng)手，水到渠成．重視概念、定義、公理、定理等基本知識(shí)數(shù)學(xué)概念、定義、公理、定理等基本知識(shí)如同造房子的地基，萬(wàn)丈高樓拔地起，靠的是牢固的地基．因此，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是解題之本，必須記憶、理解才能應(yīng)用．所以，同學(xué)們應(yīng)該同背語(yǔ)文、英語(yǔ)學(xué)科一樣的重視將它們熟背下來(lái)．例1設(shè)點(diǎn)為拋物線(xiàn)上任一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．P圖1FAxyQ解析：該題如果通過(guò)代入解答，難以做出來(lái)，其實(shí)，本題考的僅是拋物線(xiàn)的定義：到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離．如圖1，因?yàn)椋缘膸缀我饬x是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)與定點(diǎn)的距離加上到軸的距離，而，故，即最小值為3．P圖1FAxyQ例2設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)任意都有成立，則（）（A）（B）（C）（D）與的大小不確定解析：乍看題目，本題比較難找解題思路，但我們可以聯(lián)想導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則中的商的導(dǎo)數(shù)公式，等價(jià)于，故可構(gòu)造函數(shù)，只要考慮即可，在中學(xué)階段這樣的函數(shù)容易想到是或，故可以構(gòu)造函數(shù)，并且知是上增函數(shù)，從而，即，則．另一方面，我們也可以從選擇子特征進(jìn)行聯(lián)想．與的大小比較等價(jià)于與的大小比較，從而可以聯(lián)想到考慮函數(shù)的單調(diào)性，由知，所以，故是增函數(shù)，由得．也就是說(shuō)，本題實(shí)際上僅考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中的商的導(dǎo)數(shù)公式這一法則．上面兩例舉的是教科書(shū)中的基礎(chǔ)問(wèn)題，同學(xué)們還應(yīng)注意提高自己即時(shí)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的能力．例3在平面斜坐標(biāo)系中，點(diǎn)的斜坐標(biāo)定義為：“若（其中，分別為與斜坐標(biāo)系的軸，軸同方向的單位向量），則點(diǎn)的坐標(biāo)為”．若，，且動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)在斜坐標(biāo)系中的軌跡方程為（）（A）（B）（C）（D）解析：本題的難點(diǎn)在于理解新概念：斜坐標(biāo)定義，之后只要仿求即可．設(shè)，則，故，同理，所以，化簡(jiǎn)得．重視有益于解題結(jié)論的記憶除了教科書(shū)中用黑體表示的基礎(chǔ)知識(shí)外，同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)還能學(xué)習(xí)到許多有用的結(jié)論，這些結(jié)論的記憶、應(yīng)用對(duì)解題的幫助也是很大的，也應(yīng)關(guān)注它的記憶．例4已知內(nèi)接于橢圓，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，若AB、BC、CA所在直線(xiàn)的斜率為、、，OD、OE、OF的斜率為、、，當(dāng)++=0時(shí)，求證為常數(shù)．ABCDEFOxy圖2ABCDEFOxy圖2結(jié)論：斜率為的直線(xiàn)與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB中點(diǎn)為P，若OP斜率為，則．用判別式法或點(diǎn)差法均可以證明，此處略．如若我們熟記了該結(jié)論，則當(dāng)解答例4時(shí)，就可以從AB斜率、OD斜率進(jìn)行思考，亦即可以得到如下證明方法：因?yàn)?，，，所?=0為常數(shù)．AB圖3MCDBA并且以上證明過(guò)程呈現(xiàn)出++為常數(shù)為常數(shù)；++為常數(shù)為常數(shù)．AB圖3MCDBA例5在中，是的中點(diǎn)，，，則________．解析：平行四邊形對(duì)角線(xiàn)性質(zhì)：兩條對(duì)角線(xiàn)的平方和等于四條邊的平方和，同學(xué)們可以利用該性質(zhì)來(lái)解．如圖3，將補(bǔ)成平行四邊形，則，得，又，所以．當(dāng)然，平行四邊形對(duì)角線(xiàn)性質(zhì)也有向量形式：和，則兩者平方作差得，所以．二、注意模式化解題因?yàn)榭荚囀窍迺r(shí)作業(yè)，除去閱讀題目的時(shí)間，真正留下答題的時(shí)間大約90分鐘，時(shí)間緊，任務(wù)重，所以要盡可能的熟悉各種題型的解法，不求熟能生巧，但要達(dá)到“條件反射式”的答題，這就需要同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)中注意反思，總結(jié)各種題型的解法，做到“題來(lái)法出”．下面，通過(guò)具體例子給同學(xué)們羅列幾類(lèi)，希望同學(xué)們有選擇、有重點(diǎn)的去總結(jié)解題模式．特殊法特殊法是指通過(guò)特殊的情形（可以是特殊值、特殊位置、特殊幾何體等）來(lái)求解一般情況下的答案，一般用在客觀題（即選擇題和填空題）中，但也可以用在解答題中尋找解題思路．同學(xué)們知道一般情況下成立，則特殊情況必成立，這是特殊法解題的依據(jù)．特殊法以解題快捷、準(zhǔn)確出名，但同學(xué)們只有在平時(shí)解題中有目的訓(xùn)練、應(yīng)用才能較好掌握．見(jiàn)例2解析：既然該題沒(méi)有具體解析式，那么可以通過(guò)特殊函數(shù)來(lái)解決．例如取，則，而此時(shí)，，所以．顯然，這種方法比前面2種方法都簡(jiǎn)單．例7在中，角所對(duì)的邊分別為，如果成等差數(shù)列，則__________．O圖4ACDBPl解析：會(huì)由得嘗試解本題，立馬被否決，思維易停止．本題的一種解法是余弦定理代入，，同理，將兩式代入目標(biāo)式得，計(jì)算、化簡(jiǎn)要求較高，而如果同學(xué)們想到用特殊三角形來(lái)解，則比較方便，如可以是邊長(zhǎng)為3、4、5的直角三角形，當(dāng)然取正三角形是最簡(jiǎn)單的，．這也告訴同學(xué)們，特殊法中“特殊”O(jiān)圖4ACDBPl例8如圖4，在中，為上的一點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)，是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，若，則__________．P圖5OPCOPACOPBACOPDBACOPxy解析：該題的解題入口：向量共線(xiàn)定理較難發(fā)現(xiàn)，因?yàn)?，，，所以，則．但是，同學(xué)們可以將其特殊化來(lái)降低難度，簡(jiǎn)單化求解，例如如圖5，取，，，則，，所以直線(xiàn)，設(shè)，則由得，從而，所以．當(dāng)然最簡(jiǎn)單的應(yīng)該是取點(diǎn)即為點(diǎn)，此時(shí)，，則．P圖5OPCOPACOPBACOPDBACOPxy橢圓、雙曲線(xiàn)離心率的求解離不開(kāi)圖形性質(zhì)的應(yīng)用橢圓、雙曲線(xiàn)的離心率問(wèn)題在高考中出現(xiàn)的頻率非常高，并且一般都可以通過(guò)幾何圖形性質(zhì)得到簡(jiǎn)解，當(dāng)然，老老實(shí)實(shí)計(jì)算也可以做出來(lái)，但兩者所用時(shí)間差別很大，是區(qū)分同學(xué)們數(shù)學(xué)素養(yǎng)的題目之一．A圖6BAPBAOPBAxy例9已知雙曲線(xiàn)：，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A圖6BAPBAOPBAxy（A）（B）2（C）（D）解析：同學(xué)們比較多的是通過(guò)求切點(diǎn)、坐標(biāo)，然后由兩點(diǎn)式斜率公式來(lái)做的，，點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算較繁，要通過(guò)相切，聯(lián)立方程等方法求解得，從而．而實(shí)際上，如果用圓的有關(guān)性質(zhì)馬上可以得斜率，如圖6，因?yàn)?，所以由立得，從而，解得離心率．例10已知拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，且軸，若為雙曲線(xiàn)的一條斜率大于0的漸近線(xiàn)，則的斜率可以在下列給出的某個(gè)區(qū)間內(nèi)，該區(qū)間可以是（）F圖7AOxy（A）（B）F圖7AOxy解析：如圖7，利用拋物線(xiàn)方程得，代入雙曲線(xiàn)方程得，解得或（舍去），故雙曲線(xiàn)方程為，則漸近線(xiàn)的斜率為．但實(shí)際上，同學(xué)們可以從圖形中觀察出漸近線(xiàn)的斜率大于的斜率2．多么方便啊！向量問(wèn)題坐標(biāo)解向量客觀題在高考中出現(xiàn)的次數(shù)較多，已經(jīng)成為命題創(chuàng)新的主陣地之一．?dāng)?shù)、形兼?zhèn)涫窍蛄康奶卣鳎虼?，如果能通過(guò)建系、用代數(shù)方法求解，則無(wú)疑能降低許多難度．例11已知a，b為平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿(mǎn)足c+a=(c+b)（），則|c|的最小值為_(kāi)_______．解析：本題有如下一些解法法1：（共線(xiàn)定理）由c+a=(c+b)得c=(－a)+(－b)，由于+=1，故c、－a、－b共線(xiàn)，又a，b為互相垂直的單位向量，所以|c|min=．法2：（坐標(biāo)法）注意到a，b為互相垂直的單位向量，不妨設(shè)a=(1，0)，b=(0，1)，若記c=(x，y)，則(x+1，y)=(x，y+1)，接下去又有幾種不同的思考方式：思考1：由得，故|c|=，問(wèn)題成為的最小值，一般用導(dǎo)數(shù)或經(jīng)過(guò)配湊后的基本不等式解決問(wèn)題，下略．思考2：注意到c+a=(c+b)實(shí)際上就是c+a與c+b共線(xiàn)，故有(x+1)(y+1)－xy=0，即x+y+1=0，故可以看成是直線(xiàn)上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離，即為原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；也可以消元或用基本不等式．同學(xué)們，你認(rèn)為命題人到底想通過(guò)本題考查什么呢？主要是考查向量坐標(biāo)解法與共線(xiàn)定理的應(yīng)用，所以法2的思考2才是本題最好的解法，并且同學(xué)們可以據(jù)此方法類(lèi)似的解決下面的變式．變式1已知a，b為平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿(mǎn)足c+2a=(2c－b)（），則|c|的最小值為_(kāi)_______．變式2已知a，b為平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿(mǎn)足(c+a)(c+b)=0，則|c|的最小值為_(kāi)_______．變式3已知a，b為平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的向量，且|a|=1，|b|=2，若向量c滿(mǎn)足c+2a=(c－b)（），則|c|的最小值為_(kāi)_______．變式4已知向量a，b，c滿(mǎn)足|a|=|b|=ab=2，(a－c)(b－2c)=0，則|b－c|的最小值為_(kāi)_______．變式1和變式2基本上與原題相同，僅為簡(jiǎn)單模仿；變式3僅改變了b向量的坐標(biāo)，簡(jiǎn)單升級(jí)；變式4要求同學(xué)們能靈活建系并得到相應(yīng)向量坐標(biāo)，是能力的提高．例12中，，，，為的重心，點(diǎn)滿(mǎn)足，，（），則||的最小值為_(kāi)______．解析：該題如果從純粹的向量角度求解比較難，如果能從直角三角形考慮建系做，則就能通過(guò)計(jì)算解決．以、為軸、軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，從而，由，得，，則，當(dāng)時(shí)取到．這樣就變成了一個(gè)求二次函數(shù)最值的問(wèn)題．焦點(diǎn)三角形問(wèn)題的突破我們把橢圓或雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)、及圓錐曲線(xiàn)上任一點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱(chēng)為焦點(diǎn)三角形，以這個(gè)三角形中的某些元素作為條件的圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題稱(chēng)為焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，該類(lèi)問(wèn)題在圓錐曲線(xiàn)的出現(xiàn)頻率相當(dāng)高，是一類(lèi)常見(jiàn)問(wèn)題，但也是同學(xué)們比較懼怕的，因?yàn)榭偸歉杏X(jué)找不到解題的入口．其實(shí)，這類(lèi)焦點(diǎn)三角形問(wèn)題有一個(gè)解決的“基本程式”，同學(xué)們只要掌握了這個(gè)“基本程式”，則焦點(diǎn)三角形問(wèn)題就能迎刃而解．xOPy圖8例13已知橢圓的焦點(diǎn)為、，是橢圓上一點(diǎn)且，求的面積．xOPy圖8解析：如圖8，根據(jù)橢圓定義可以知道，在中，運(yùn)用余弦定理得，即，，再由三角形面積的正弦定理得．例13的分析過(guò)程，基本代表了解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題的基本程式，即一般可以分以下幾步操作：第1步，先運(yùn)用橢圓或雙曲線(xiàn)的定義得到或；第2步，抓住其中的一個(gè)內(nèi)角（比較多的為）運(yùn)用余弦定理得；由上述2步可以求出或的值，如果要求焦點(diǎn)三角形的面積或題中有焦點(diǎn)三角形的面積這個(gè)條件，則再用第3步，用三角形面積的正弦定理．同學(xué)們請(qǐng)注意，當(dāng)為直角三角形時(shí)，余弦定理和正弦定理都將簡(jiǎn)化．只要我們掌握、理解好上述解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題的基本程式，一般地說(shuō)，此類(lèi)圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題就都能比較輕松的解決了．5．等差數(shù)列類(lèi)比到等比數(shù)列的規(guī)律類(lèi)比、推理題在高考中時(shí)有出現(xiàn)，這里以等差數(shù)列與等比數(shù)列的類(lèi)比為例，分析一下解題是有規(guī)律可循的．例14已知命題：“若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則”，現(xiàn)已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，若類(lèi)比上述結(jié)論，則可以得到_______________．解析：本題同學(xué)們自己類(lèi)比時(shí)，絕大多數(shù)同學(xué)都是錯(cuò)誤的．究竟結(jié)果是怎樣的呢？我們可以先從問(wèn)題的解決方法上得到結(jié)果．設(shè)的公比為，則，故，因此．觀察等差數(shù)列中與等比數(shù)列中的結(jié)果，我們就可以歸納出等差數(shù)列類(lèi)比到等比數(shù)列的規(guī)律：等差數(shù)列中項(xiàng)前的系數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列中項(xiàng)的指數(shù)；等差數(shù)列中項(xiàng)間的加（或減）轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列中項(xiàng)間的乘（或除）；等差數(shù)列中的除數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列中的開(kāi)放數(shù)．此外，橢圓與雙曲線(xiàn)、平面圖形到空間立體圖形的類(lèi)比也都是有一定的規(guī)律可循的．注意模式化解題的道理如同“磨刀不誤砍柴功”，當(dāng)同學(xué)們考試中每解一道題都能順利做出時(shí)，你肯定會(huì)有一個(gè)愉悅的心情，從而考出好成績(jī)．三、重視三大解題思想的應(yīng)用問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很大程度上就是學(xué)習(xí)解題；而數(shù)學(xué)思想是解題的靈魂，可以說(shuō)能否順利解題就取決于數(shù)學(xué)思想的掌握程度和應(yīng)用能力．因此，解題學(xué)習(xí)中，貫穿數(shù)學(xué)思想的始終應(yīng)是堅(jiān)定不移的．?dāng)?shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、化歸轉(zhuǎn)化是高考必考的三大數(shù)學(xué)思想，同學(xué)們?cè)诮忸}過(guò)程中應(yīng)特別重視應(yīng)用能力的培養(yǎng)．1．?dāng)?shù)形結(jié)合所謂數(shù)形結(jié)合，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法．它既有數(shù)學(xué)學(xué)科的鮮明特點(diǎn)，又是數(shù)學(xué)研究的常用方法．其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖象結(jié)合起來(lái)，在“數(shù)”“形”之間互相轉(zhuǎn)化，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來(lái)，并充分利用這種“結(jié)合”尋找解題思路，從而巧妙地解決．例15已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（）（A）（30，34）（B）（30，36）（C）（32，34）（D）（32，36）解析：如圖9所示，不妨設(shè)，則可知，故；為方程的兩根，則，故．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚用“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微．”高度概括數(shù)形結(jié)合思想，但數(shù)形結(jié)合也不是萬(wàn)能的，在解題中也會(huì)因圖形失真而出錯(cuò)，因此，同學(xué)們作圖時(shí)應(yīng)注意精確度．2．分類(lèi)討論分類(lèi)討論思想橫貫高中數(shù)學(xué)的各個(gè)章節(jié)，不僅形式多樣，而且具有很強(qiáng)的綜合性和邏輯性，在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位．把所有研究的問(wèn)題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類(lèi)，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題來(lái)解決，這種按不同情況分類(lèi)，然后再逐一研究解決的，稱(chēng)之為分類(lèi)討論思想．當(dāng)問(wèn)題中的條件，結(jié)論不明確或題意中含或不確定時(shí)，就應(yīng)分類(lèi)討論．分類(lèi)討論的原則是不重復(fù)、不遺漏．討論的方法是逐類(lèi)進(jìn)行，還必須要注意綜合討論的結(jié)果，以使解題步驟完整．例16已知中心在原點(diǎn)，離心率為的橢圓的頂點(diǎn)、恰好是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上不同于、的任意一點(diǎn)，則直線(xiàn)、的斜率之積是___________．解析：由題意知、，所以橢圓方程為，設(shè)，則，于是．這是絕大多數(shù)同學(xué)們做該題時(shí)的答案，將、默認(rèn)為長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，實(shí)際上題中并沒(méi)有明確，因此，還有一種情況是、為短軸的端點(diǎn)，此時(shí)橢圓方程為，．所以本題的