高中數(shù)學(xué)第二章平面向量4第1課時(shí)平面向量的坐標(biāo)表示平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示教學(xué)案數(shù)學(xué)教學(xué)案

第1課時(shí)平面向量的坐標(biāo)表示平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示[核心必知]1．平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，分別取與x軸，y軸方向同樣的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，a為坐標(biāo)平面內(nèi)的隨意愿量，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為起點(diǎn)作OP＝a.由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得OP＝xi＋yj，所以a＝xi＋yj.把實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)叫作向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)．2．平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示1122．已知a＝(x，y)，b＝(x，y)運(yùn)算坐標(biāo)表示語(yǔ)言表達(dá)兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)相應(yīng)坐標(biāo)的和兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量減法a－b＝(x1－x2，y1－y2)相應(yīng)坐標(biāo)的差實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)分別等于實(shí)數(shù)與向數(shù)乘λa＝(λx1，λy1)量的相應(yīng)坐標(biāo)的乘積3．向量AB的坐標(biāo)表示設(shè)定點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝(x2－x1，y2－y1)，即：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)．[問(wèn)題思慮]1．相等向量的坐標(biāo)同樣，對(duì)嗎？提示：正確．相等向量經(jīng)過(guò)平移能夠擁有共同的始點(diǎn)O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，這時(shí)其終點(diǎn)相同，而終點(diǎn)的坐標(biāo)即是這些向量的坐標(biāo)，所以正確．2．向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)有何差別？提示：平面向量的坐標(biāo)與該向量的始點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)都相關(guān)，它的坐標(biāo)等于終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)，只有始點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才與終點(diǎn)坐標(biāo)相等．當(dāng)實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)表示點(diǎn)時(shí)可記為P(x，y)，表示向量時(shí)可記為a＝(x，y)．3．若i，j分別是與x軸，y軸同方向的單位向量，則i，j的坐標(biāo)分別是什么？提示：依據(jù)平面向量的坐標(biāo)定義，i＝(1，0)，j＝(0，1)．講一講1．如下圖，試分別用基底i，j表示向量a，b，c，d，并求出它們的坐標(biāo)．[試試解答]由圖可知，a＝＝2i＋3j，∴a＝(2,3)，同理，b＝－2i＋3j，b＝(－2,3)．c＝－3i＋0j，c＝(－3,0)．d＝－3i－2j，d＝(－3，－2)．1．求向量的坐標(biāo)的一般方法：利用平行四邊形(或三角形)法例，將向量用基底i，j(i，j分別是與x，y軸同方向的單位向量)表示，而后確立其坐標(biāo)．求起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)，并用終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)．2．向量的坐標(biāo)表示是給出向量的又一種形式，它的坐標(biāo)只與始點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)地點(diǎn)有關(guān)，三者中給出隨意兩個(gè)，都能夠求出第三個(gè)．練一練1．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B在第一象限，＝43，∠x(chóng)OA＝∠yOB＝30°，求向量的坐標(biāo)．解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＝y(tǒng)2＝|OA|cos30°＝6，y1＝x2＝|OA|sin30°＝23.∴A(6,23)，B(23，6)．∴OA＝(6,23)，AB＝(23，6)－(6,23)＝(－6＋23，6－23)．講一講2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)OA＝a，求3a＋b－3c的坐標(biāo)；求知足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M、N的坐標(biāo)及向量MN的坐標(biāo)．[試試解答]由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，－6m＋n＝5，m＝－1，∴解得－3m＋8n＝－5，n＝－1.1．向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示其實(shí)是相應(yīng)坐標(biāo)的加、減、乘、除混淆運(yùn)算，嫻熟掌握運(yùn)算法例是解題的重點(diǎn)．2．用坐標(biāo)表示的向量，線(xiàn)性運(yùn)算后的結(jié)果仍用坐標(biāo)表示．3．解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用．練一練2．(1)已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，1求：①3a＋4b；②a－3b；③2a－4b.(2)已知點(diǎn)A、、C的坐標(biāo)分別為(2，－4)、(0,6)、(－8，10)，求向量BABC的坐標(biāo)；解：(1)①3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19)．a(chǎn)－3b＝(2，1)－3(－3，4)(2，1)－(－9，12)＝(11，－11)．1111③－＝(2，1)－(－3，4)2a4b2413711，2－－4，1＝4，－2.(2)由A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，1(－2,10)＋2(－8,4)－2(－10,14)(－2,10)＋(－16,8)－(－5,7)(－18,18)－(－5,7)＝(－13,11)．講一講如下圖，已知平行四邊形ABCD的三個(gè)極點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是(－2，1)、(－1，、(3，4)，試求極點(diǎn)D的坐標(biāo)．[試試解答]法一：(待定系數(shù)法)設(shè)極點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)．∵＝(－1,3)－(－2,1)＝(1,2)，(3－x,4－y)．由，得(1,2)＝(3－x,4－y)．1＝3－x，x＝2，∴∴2＝4－y，y＝2.∴極點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2)．法二：(直接法)如圖，由向量加法的平行四邊形法例可知(－2,1)－(－1,3)＋(3,4)－(－1，3)(－1，－2)＋(4,1)(3，－1)．而＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)，∴極點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2)．有了向量的坐標(biāo)表示，就能夠?qū)缀螁?wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)問(wèn)題來(lái)解決．向量用坐標(biāo)表示，體現(xiàn)了數(shù)形聯(lián)合的思想．借助于向量的坐標(biāo)表示，向量的線(xiàn)性運(yùn)算可轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)的運(yùn)算，此中正確分清向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的差別和聯(lián)系是重點(diǎn)，同時(shí)還應(yīng)嫻熟掌握用坐標(biāo)表示的向量的運(yùn)算法例．練一練3．[多維思慮]若把此題條件改為“已知平行四邊形的三個(gè)極點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(4，3)，B(3，－1)，C(1，－2)”，所求問(wèn)題不變，結(jié)果怎樣？解：設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(x，y)①若平行四邊形四個(gè)極點(diǎn)的次序?yàn)锳BCD，－1＝1－x，x＝2，得解得－4＝－2－y，y＝2.故極點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2)．②若平行四邊形四個(gè)極點(diǎn)的次序?yàn)锳CBD，x＝6，解得y＝4.故極點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6,4)．③若平行四邊形四個(gè)極點(diǎn)的次序?yàn)锳BDC，x＝0，解得y＝－6.故極點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，－6)．綜上，極點(diǎn)D的坐標(biāo)是(2,2)，(6,4)或(0，－6).已知點(diǎn)A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若(λ∈R)，試求當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)λ的取值范圍．[錯(cuò)解]由已知得＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，又點(diǎn)P在第三象限，∴3＋5λ<0，∴λ<－3，故λ的取1＋7λ<0，53值范圍為(－∞，－5)．[錯(cuò)因]錯(cuò)解中誤把向量AP的坐標(biāo)看作P點(diǎn)的坐標(biāo)，實(shí)質(zhì)是對(duì)向量的坐標(biāo)表示的觀點(diǎn)理解不清，只有當(dāng)向量的始點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才等于終點(diǎn)的坐標(biāo)．[正解]由已知得＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則AP＝(x－2，y－3)，于是(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，x－2＝3＋5λ，即y－3＝1＋7λ.又點(diǎn)P在第三象限，所以x＝5＋5λ<0，解得λ<－1.y＝4＋7λ<0.所以λ的取值范圍為(－∞，－1).1．對(duì)坐標(biāo)平面內(nèi)的任一直量a，給出以下四個(gè)結(jié)論：①存在獨(dú)一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝(x，y)；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的始點(diǎn)是原點(diǎn)O；④若x，y∈R，a≠0，且a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，則a＝(x，y)．此中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )A．1B．2C．3D．4分析：選A由平面向量基本定理可知，①正確；因?yàn)閍＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故②錯(cuò)誤；因?yàn)橄蛄磕軌蚱揭?，所以a＝(x，y)與a的始點(diǎn)是否是原點(diǎn)沒(méi)關(guān)，故③錯(cuò)誤；當(dāng)a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)時(shí)，a＝(x，y)是以a的始點(diǎn)是原點(diǎn)為前提的，故④錯(cuò)誤．2．設(shè)a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，用a，b作基底可將c表示為c＝pa＋qb，則實(shí)數(shù)p、q的值為( )A．p＝4，q＝1B．p＝1，q＝4C．p＝0，q＝4D．p＝1，q＝－4分析：選B∵c＝pa＋qb＝(－p，2p)＋(q，－q)(q－p，2p－q)＝(3，－2)，∴q－p＝3且2p－q＝－2，解得：p＝1，q＝4.3．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )A．(－8,1)B3．(－1，－)23C．(1，2)D．(8，－1)分析：選B設(shè)P(x，y)，由得，1(x，y)－(3，－2)＝2[(－5，－1)－(3，－2)]1即(x－3，y＋2)＝(－4，)，2x－3＝－4，331∴∴x＝－1，y＝－，故P(－1，－)．y＋2＝，2224．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－)，d的有向線(xiàn)段首尾相接能組成四邊形，則向量＝________．cd分析：由題意知，4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0.d＝－6a－4b＋4c(－6，18)－(－8，16)＋(－4，－8)＝(－2，－6)．答案：(－2，－6)5．若向量＝(1，y)，a＝(x，y)，則向量a＝________.分析：∵＝0即(4＋x,8＋b)＝0，∴x＝－4，y＝－8.則a＝(－4，－8)．答案：(－4，－8)6．已知點(diǎn)(3，－4)與點(diǎn)(－1,2)，點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上，且，求點(diǎn)PAB的坐標(biāo)．解：由知.設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)．當(dāng)時(shí)，得(－3，＋4)＝2(－1－x,2－)，xyyx－3＝－2－2x，1x＝，∴y＋4＝4－2y，解得3y＝0.1P坐標(biāo)為(，0)．3當(dāng)時(shí)，得(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，x－3＝2＋2，x＝－5，∴解得y＋4＝2y－4，y＝8.∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(－5,8)．綜上可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)或(－5,8)．3一、選擇題1．(廣東高考)若向量＝( )A．(－2，－4)B．(3，4)C．(6，10)D．(－6，－10)分析：選A＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．2．已知＝(0,3)，把向量AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°獲得向量AC，則向量OC等于()A．(－2,1)B．(0，－1)C．(3,4)D．(3,1)分析：選B依題意，，設(shè)(，)，則：Cxy(0,3)－(0,1)＝－(x，y－1)，即(－x，－y＋1)＝(0,2)．－x＝0，∴∴x＝0，y＝－1，故OC＝(0，－1)．－y＋1＝2，3．已知A(5,7)，B(2,3)，將AB的起點(diǎn)移到原點(diǎn)，則平移后向量的坐標(biāo)為( )A．(－3，－4)B．(－4，－3)C．(1，－3)D．(－3,1)分析：選AAB＝(2,3)－(5,7)＝(－3，－4)，∵將AB平移后所得向量與AB―→相等，∴平移后的坐標(biāo)仍為(－3，－4)．4．已知點(diǎn)A(x,1)，B(1,0)，C(0，y)，D(－1,1)．若AB＝，則x＋y等于( )A．1B．2C．3D．4分析：選DAB＝(1－x，－1)，＝(－1,1－y)，∵AB＝，即(1－x，－1)＝(－1,1－y)，1－x＝－1，x＝2，故x＋y＝4.∴∴y＝2.－1＝1－y，二、填空題5．已知i，j是分別與x軸，y軸同方向的單位向量，若OA＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(x∈R)，則點(diǎn)A位于第________象限．分析：可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x2＋x＋1，－x2＋x－1)．∵x2＋123x2x－1＝－(x123＋1＝(＋)＋>0，－＋－)－<0.xx2424∴點(diǎn)A位于第四象限．答案：四6．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，AB＝ma＋nb，＝a－2b，若AB＝－2，則m＝________，n＝________.分析：AB＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)；(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．AB＝－2，即(2m－n,3m＋2n)＝(－8,2)．2m－n＝－8，m＝－2，∴解得3m＋2n＝2，n＝4.答案：－247．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8，16)，則a＝______，b＝________．a(chǎn)＋b＝（2，－8）①分析：聯(lián)立②a－b＝（－8，16）①＋②得2a＝(2，－8)＋(－8，16)＝(－6，8)∴a＝(－3，4)，而b＝(2，－8)－a＝(2，－8)－(－3，4)(2＋3，－8－4)＝(5，－12)．∴a＝(－3，4)，b＝(5，－12)．答案：(－3，4)(5，－12)8．在△中，點(diǎn)P在BC上，且，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若＝(4,3)，ABC________.分析：∵Q是AC的中點(diǎn)，∴，＝(－6,21)．答案：(－6,21)三、解答題9．已知點(diǎn)A(0,2)，B(2,4)及，求點(diǎn)C，D和的坐標(biāo)．設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，x1＝1，－x2＝－6，∴2－y2＝－6.y1－2＝1，x1＝1，x2＝6，得y2＝8.y1＝3，C，D的坐標(biāo)分別為(1,3)，(6,8)(6,8)－(1,3)＝(5,5)．10．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)A(