數(shù)學(xué)理卷·2023屆四川省成都市高三第三次診斷檢測(答案詳解)(2023.05)

數(shù)學(xué)理卷·2023屆四川省成都市高三第三次診斷檢測(答案詳解)(2023.05)成都市2023級高中畢業(yè)班第三次診斷性檢測數(shù)學(xué)〔理科〕第一卷〔選擇題，共60分〕一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．設(shè)集合，，那么〔〕A．B．C．D．2．復(fù)數(shù)．假設(shè)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為，線段的中點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，那么〔〕A．B．5C．D．3．在等比數(shù)列中，，公比．假設(shè)，那么〔〕A．11B．10C．9D．84．是表示空氣質(zhì)量的指數(shù)，指數(shù)值越小，說明空氣質(zhì)量越好，當指數(shù)值不大于100時稱空氣質(zhì)量為“優(yōu)良〞．如圖是某地4月1日到12日指數(shù)值的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，圖中點表示4月1日的指數(shù)值為201．那么以下表達不正確的選項是〔〕A．這12天中有6天空氣質(zhì)量為“優(yōu)良〞B．這12天中空氣質(zhì)量最好的是4月9日C．這12天的指數(shù)值的中位數(shù)是90D．從4日到9日，空氣質(zhì)量越來越好5．雙曲線，直線．假設(shè)直線平行于雙曲線的一條漸近線且經(jīng)過的一個頂點，那么雙曲線的焦點到漸近線的距離為〔〕A．1B．2C．D．46．高三某班15名學(xué)生一次模擬考試成績用莖葉圖表示如圖1．執(zhí)行圖2所示的程序框圖，假設(shè)輸入的分別為這15名學(xué)生的考試成績，那么輸出的結(jié)果為〔〕A．6B．7C．8D．97．，是曲線與軸圍成的封閉區(qū)域．假設(shè)向區(qū)域內(nèi)隨機投入一點，那么點落入?yún)^(qū)域的概率為〔〕A．B．C．D．8．在我國古代數(shù)學(xué)名著?九章算術(shù)?中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，且，那么異面直線與所成角的余弦值為〔〕A．B．C．D．9．拋物線的焦點為，點．假設(shè)射線與拋物線相交于點，與其準線相交于點，且，那么點的縱坐標為〔〕A．B．C．D．10．函數(shù)．給出以下命題：①為奇函數(shù)；②，對恒成立；③，假設(shè)，那么的最小值為；④，假設(shè)，那么．其中的真命題有〔〕A．①②B．③④C．②③D．①④11．如圖，某三棱錐的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖分別是直角三角形、等腰三角形和等邊三角形．假設(shè)該三棱錐的頂點都在同一個球面上，那么該球的外表積為〔〕A．B．C．D．12．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，其中且．那么數(shù)列的前項和的最大值為〔〕A．B．C．D．第二卷〔非選擇題，共90分〕二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分．13．的展開式中，常數(shù)項為．〔用數(shù)字作答〕14．假設(shè)變量滿足約束條件，那么的最小值為．15．從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區(qū)效勞，每天安排一人，每人只參加一天．假設(shè)要求甲、乙兩人至少選一人參加，且當甲、乙兩人都參加時，他們參加社區(qū)效勞的日期不相鄰，那么不同的安排種數(shù)為．〔用數(shù)字作答〕16．如圖，將一塊半徑為2的半圓形紙板切割成等腰梯形的形狀，下底是半圓的直徑，上底的端點在半圓上，那么所得梯形的最大面積為．三、解答題：本大題共6小題，共70分．解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．的內(nèi)角的對邊分別為，．〔Ⅰ〕求角的大??；〔Ⅱ〕假設(shè)，求的最大值．18．如圖，在多面體中，底面是邊長為2的菱形，，四邊形是矩形，平面平面，．為線段上一點，且平面．〔Ⅰ〕求的長；〔Ⅱ〕求二面角的余弦值的大?。?9．幾個月前，成都街頭開始興起“mobike〞、“ofo〞等共享單車，這樣的共享單車為很多市民解決了最后一公里的出行難題．然而，這種模式也遇到了一些讓人為難的問題，比方亂停亂放，或?qū)⒐蚕韱诬囌紴椤八接楔暤龋疄榇?，某機構(gòu)就是否支持開展共享單車隨機調(diào)查了50人，他們年齡的分布及支持開展共享單車的人數(shù)統(tǒng)計如下表：年齡受訪人數(shù)56159105支持開展共享單車人數(shù)4512973〔Ⅰ〕由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，認為年齡與是否支持開展共享單車有關(guān)系；年齡低于35歲年齡不低于35歲合計支持不支持合計〔Ⅱ〕假設(shè)對年齡在，的被調(diào)查人中各隨機選取兩人進行調(diào)查，記選中的4人中支持開展共享單車的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：，其中．20．圓，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線交于點，當點在圓上運動時，點的軌跡為曲線．〔Ⅰ〕求曲線的方程；〔Ⅱ〕假設(shè)直線與曲線相交于兩點，為坐標原點，求面積的最大值．21．函數(shù)．〔Ⅰ〕假設(shè)關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍；〔Ⅱ〕設(shè)函數(shù)，假設(shè)在上存在極值，求的取值范圍，并判斷極值的正負．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，那么按所做的第一題記分．22．曲線的極坐標方程為，在以極點為直角坐標原點，極軸為軸的正半軸建立的平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕．〔Ⅰ〕寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；〔Ⅱ〕在平面直角坐標系中，設(shè)曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線，假設(shè)為曲線上任意一點，求點到直線的最小距離．23．．〔Ⅰ〕當時，求不等式的解集；〔Ⅱ〕假設(shè)函數(shù)的值域為，且，求的取值范圍．試卷答案一、選擇題1-5:BABCB6-10:DDADC11、12：CD二、填空題13．-16014．-315．504016．三、解答題17．解：〔Ⅰ〕由及正弦定理，得．∵，∴．化簡，得．∵，∴．∵，∴．〔Ⅱ〕由及余弦定理，得．即．∵，∴，即．∴，當且僅當時，取等號．∴的最大值為．18．解：〔Ⅰ〕∵底面是邊長為2的菱形，，∴，且，．∵四邊形是矩形，∴．∵平面平面，平面平面，∴平面，平面．記．取中點，那么．∴平面．如圖，以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系．由題意，得，，，，，．∴，．∵為線段上一點，設(shè)．∴．∵平面，∴．∵．解得．∴．∴．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕，可知平面．∴平面．，．設(shè)平面的法向量為．由，得．取，那么．∵，，∴二面角的余弦值為．19．解：〔Ⅰ〕根據(jù)所給數(shù)據(jù)得到如以下聯(lián)表：年齡低于35歲年齡不低于35歲合計支持301040不支持5510合計351550根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到的觀測值為．∴不能在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，認為年齡與是否支持開展共享單車有關(guān)系．〔Ⅱ〕由題意，年齡在的5個受訪人中，有4人支持開展共享單車；年齡在的6個受訪人中，有5人支持開展共享單車．∴隨機變量的所有可能取值為2，3，4．∵，，，∴隨機變量的分布列為234∴隨機變量的數(shù)學(xué)期望．20．解：〔Ⅰ〕∵點在線段的垂直平分線上，∴．又，∴．∴曲線是以坐標原點為中心，和為焦點，長軸長為的橢圓．設(shè)曲線的方程為．∵，∴．∴曲線的方程為．〔Ⅱ〕設(shè)．聯(lián)立消去，得．此時有．由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，．∴．∵原點到直線的距離，∴．由，得．又，∴據(jù)根本不等式，得．當且僅當時，不等式取等號．∴面積的最大值為．21．解：〔Ⅰ〕由，得．即在上恒成立．設(shè)函數(shù)，．那么．設(shè)．那么．易知當時，．∴在上單調(diào)遞增，且．即對恒成立．∴在上單調(diào)遞增．∴當時，．∴，即的取值范圍是．〔Ⅱ〕，．∴．設(shè)，那么．由，得．當時，；當時，．∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．且，，．顯然．結(jié)合函數(shù)圖象可知，假設(shè)在上存在極值，那么或．〔ⅰ〕當，即時，那么必定，使得，且．當變化時，，，的變化情況如下表：-0+0--0+0-↘極小值↗極大值↘∴當時，在上的極值為，且．∵．設(shè)，其中，．∵，∴在上單調(diào)遞增，，當且僅當時取等號．∵，∴．∴當時，在上的極值．〔ⅱ〕當，即時，那么必定，使得．易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．此時，在上的極大值是，且．∴當時，在上的極值為正數(shù)．綜上所述：當時，在上存在極值，且極值都為正數(shù)．注：也可由，得．令后再研究在上的極值問題．22．解：〔Ⅰ〕由消去參數(shù)，得．