2022年全國統(tǒng)一高考理科數(shù)學試卷（全國甲卷）

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絕密★啟用前

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學

注意事項：

1.答卷前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填

寫在答題卡上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及科

目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂

黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫

在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1若z=—1+后，貝（）

zz-1

A.—1+后B.-1-V3iC.一1+四D.一工一烏

3333

2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機抽取1（）位社

區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前

和講座后問卷答題的正確率如下圖：

100%

95%..........................................................................................張

90%........?..........................?..........................*............................

榔85%

售80%*講座前

田75%?講座后

70%

65%

60%........*................*..........................................................

0IIII1II1II

12345678910

居民編號

則（)

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

3.設全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合4={-1,2},5=卜|9-4"+3=()},則。,《。8)=

()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

4.如圖，網格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網格小正方形的邊長為1,則該多面體的體

A.8B.12C.16D.20

5.函數(shù)"G'Tfcosx在區(qū)間一卦的圖象大致為()

7.在長方體ABC。-A#CQ中，已知BQ與平面ABCO和平面A44B所成的角均為30。，

則（）

A.AB=2ADB.AB與平面ABCi。所成的角為30°

C.AC=CgD.片。與平面BBCC所成的角為45°

8.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如

圖，A8是以。為圓心，OA為半徑的圓弧，C是的A8中點，。在AB上，CO_LA8.“會

圓術”給出A3的弧長的近似值S的計算公式：s=A8+興.當。4=2,NAOB=60。時，

ll-3x/30ll-4x/3「9-36「9-4百

----------------D.--------C.------D.-------

2222

9.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為2兀，側面積分別為S甲和S乙，

體積分別為％和%.若學=2,則連=（）

）乙V乙

A.亞B.2A/2C.V10D.

22

X

10.橢圓C:=1（?！??>（））的左頂點為4,點P,。均在C上，且關于），軸對稱.若

_+r2

/h

直線”,慫的斜率之積為:，則C的離心率為（）

V21

AB.C.D.

23

11.設函數(shù)/。）=豆11[⑦工+三）在區(qū)間（0,兀）恰有三個極值點、兩個零點，則。的取值范圍

是（）

5日5191381319

3'6)B.D.

3'67'566

3111

12.已知。=一,Z?=cos—,c=4sin—,則()

3244

A.c>h>aB.h>a>cC.a>b>cD.a>c>b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設向量2,石的夾角的余弦值為:，且同=1,"=3,則（22+?/=.

14.若雙曲線V一二=1（機>0）的漸近線與圓f+y2—4y+3=0相切，則加=

15.從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為.

16.已知AABC中，點。在邊BC上，ZADB=120°,AD^2,CD^2BD.當一匕取得最小

AB

值時，BD=.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21

題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作

答.

（-）必考題：共60分.

17.記S“為數(shù)列｛4｝的前〃項和.已知一^+〃=2%+1.

n

(1)證明：｛4｝等差數(shù)列；

(2)若。4,%，1成等比數(shù)列，求。的最小值.

18.在四棱錐P—ABC。中，PO_L底面

ABCD,CD〃AB,AD=DC=CB=T,AB=2,DP=陋.

(1)證明：BD±PA^

(2)求PO與平面Q45所成的角的正弦值.

19.甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得()

分，沒有平局.三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍.己知甲學校在三個項目中獲

勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結果相互獨立.

(1)求甲學校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望.

20.設拋物線。：丁2=20%(夕>0)的焦點為凡點。(〃,0),過尸的直線交C于M,N兩

點.當直線垂直于x軸時，同=3.

(1)求C的方程；

(2)設直線與C的另一個交點分別為A,B,記直線的傾斜角分別為

a，B.當a—△取得最大值時，求直線AB的方程.

21.已知函數(shù)/(x)=---\nx+x-a.

(1)若/(x)20,求“取值范圍；

(2)證明：若/(力有兩個零點占,占，則環(huán)平2<1?

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則

按所做的第一題計分.

［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

2+t

X~~

22.在直角坐標系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為｛6G為參數(shù))，曲線G的參數(shù)方程

2+s

x--------

為彳6(s為參數(shù)).

y=-4s

(1)寫出G的普通方程；

(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G極坐標方程為

2cos?！猻in￡=0,求g與C1交點的直角坐標，及C3與G交點的直角坐標.

［選修4-5：不等式選講1

23.已知。，b,c均為正數(shù)，且a2+力2+4^2=3,證明：

(1)a+h+2c<3；

-+->3

(2)若力=2c?，則ac.進入高三后，你將面對的是從心態(tài)到日程，從科

目到復習進度的全面變化。

1.在心態(tài)方面

無論是被逼無奈還是主動改變，進入高三后再也不能得過且過，糊弄自己也糊

弄別人。當然，前赴后繼追趕的同學和此起彼伏波動的成績會給你莫大的壓力，而

學會應對壓力也是高三的必修課。

2.在日程方面

你需要從時間和效率兩個方面去挖掘自己的可能性。對你來說不再是哪科肯學

哪科多花時間，所有的科目但凡還有提分的空間，都需要你全力以赴地投入。生活

或許是單調的三點一線，但目標清晰、計劃合理的你仍然可以從中找到激勵。

3.在科目方面

進入新高考之前，理綜/文綜的出現(xiàn)使得原本分科考試被掩蓋的問題被非常顯

眼地暴露出來。大分值的選擇題和綜合性高的大題對學生的知識體系提出了更高的

要求。而很多學校因為種種原因太晚才開始的合卷并沒有給學生充分的適應和調整

時間。

4.在整體進度方面

一輪復習之中語文和文綜應試體系的構建、化學生物重新梳理知識點都是從過

去兩年知識積累導向向應試導向轉變的體現(xiàn)，對后續(xù)復習的重要性不言而喻。一些

學校也會安排或者鼓勵學生進行“零輪復習”也是在為一輪做好準備。

有句話叫“潮水退去才知道誰在裸泳”。新高三的“大洗牌”只不過是更高的

要求給學生帶來的挑戰(zhàn)。之前給自己挖了多少坑，自己也該心里有數(shù)吧。

應對高三新變化，你需要這樣做!

在正式開學之前，在完成暑假作業(yè)并調整好狀態(tài)之余，你還可以安排好這些事

情：

?熟悉綜合科合卷模式

對于除了新高考的省市而言，綜合科仍然是高考中重要的拉分項。

然而，很多高中合卷的時間過晚，直到上高三甚至高三下才開始進行合卷的訓

練，學生對于綜合科的答題技巧和知識體系的熟悉不夠，不得不在高三緊張的學習

和考試當中頻頻調整和適應。

在分卷的考試中，一道選擇題的分值不高，一個小失誤或一個知識的小缺漏的

影響并不大。而在綜合科當中，任何的小失誤都會導致大額的丟分。另一方面，剛

上高三時，歷史的選擇題、生物化學的選擇題的難度和綜合性上升，也會造成錯誤

率增加。

可以從暑假開始，學生有計劃的自行安排每周至少一次的綜合科合卷限時訓練,

并按照標準答案進行批改和訂正。務必轉變態(tài)度，重視每一個錯誤。

因為比犯錯更愚蠢的，就是重復犯同樣的錯誤。

?提前開始“零輪復習”

很多高三學生都體驗過：數(shù)學、英語、物理成績好的學生，其實波動都不會太

大，即便有些心態(tài)浮躁的學生在數(shù)學物理上存在短期波動，都比較容易較快地調整

過來。這是因為在之前的學習過程中就已經滲透了許多面向高考的應試思維和解題

技巧。

相反，語文、化生、政史地，給學生的觀感是：即便到一輪復習，似乎還是在

不斷接受新的東西。原因是這幾個學科由原來的知識導向到考試導向的變化更大。

一輪復習的過程中，學校老師還會重新梳理已有知識、建立知識體系、強調綜合運

用的應試能力。

如果學生在數(shù)學、英語、物理上沒有太大缺漏(甚至比較突出)，就能在一輪復

習過程中騰出相當多的時間和精力在其他科目上。相反，如果學生在這三個科目上

有痛腿，則會在緊張的一輪復習中疲于奔命。

因此，在這個暑假，準高三的學生應當優(yōu)先在數(shù)學、英語、物理上補上缺漏，

提升應試水平。同時學有余力的情況下，可以自行開始梳理其他科目的知識體系。

清華學霸送給新高三生的八個建議

雖說成功沒有捷徑，但是學霸的經驗，我們是可以借鑒的，再一起來看看這位

清華學霸假期送給學弟學妹們的8個走心建議吧！

1.經驗總結

(1)苦累都不算事，有效的計劃時間和學習態(tài)度；

(2)把握“彎道時間”(假期收心，腳踏實地)；

(3)鼓勵和自信以及高效的學習方法是墊腳石；

(4)時間分配+錯題本；

(5)低谷怎么辦？心態(tài)最重要;

2.熟悉綜合科合卷模式

有人說“青春就是用來奮斗的“，有人說“青春就是用來揮霍的”，現(xiàn)在回想

青蔥歲月，更覺青春是為了找尋自我的，追尋無悔。

9年前的我，初入高中，只知道一個字“學”，在煉獄般地衡中，沒有一頓假不

是跑步前去食堂，沒有一天不是跑操背書，沒有一天的生活不是被規(guī)劃和自我規(guī)劃。

有人說“衡中"生活太苦，衡中就是個監(jiān)獄。沒錯，是監(jiān)獄，沒有一絲閑暇和

自我時間，但就是在這里，幾千學子奮筆疾書，起早貪黑地學習，要說智力水平，

在我看來差別并沒有太大，因為一切都被規(guī)定了，更重要的是學習方法和學習態(tài)度。

在這里，你知道“比你聰明的學生比你還刻苦，”“笨鳥先飛”“勤能補拙”，

“付出就有回報”，體現(xiàn)的淋漓盡致。

天天有測，周周小測，月月大考，這樣的節(jié)奏，讓你連哀傷的時間都沒有，考

試成績下滑了，沒關系，馬上還有證明自己的機會，就是這樣一環(huán)一環(huán)，一步一步，

沒有喘息的生活，督促著我們一點點進步，一點點向前。

就拿我自己說，高一分到的是普通班，學號是十幾，不算差，自己也滿足，但

當數(shù)理化文史政，同時讓你應付的時候，我第一次考試就滑到四十多名，心情很是

壓抑，對自己產生了懷疑，我也同樣這么刻苦，時間沒比別人少花，可成效并不大。

其實最初沒有意識到是學習效率和理解力的問題。我確實不是個聰明的孩子，

但在老師眼里也算的上刻苦和努力。當把自己作為學習的機器，被考試分數(shù)奴役時，

你做再多的努力也收效甚微。

但如果端正自己的位置和態(tài)度，做學習的主人，由自己支配自己的學習時間和

學習方法時，你會有橫掃千軍的感覺。

3.改變不了環(huán)境，那就適應它

成績的不理想，過苦的生活，還有各項紀律檢查等等給不適應這里環(huán)境的我們

以極大的挑戰(zhàn)，怎么辦？

沒辦法，逼著自己去適應，去調節(jié)，如果不逼一下自己，你永遠不知道自己的

潛力有多大。

4.建立自信心

記得文理分班的時候我的學號仍然是三十幾，但此后的學號卻一直在變化，二

十幾到十幾再到幾號，這一路除去自己不放棄自己外，踏踏實實聽課，認認真真做

題，每一個自己都安排的很滿，每周自我反省，錯題整理，題型回顧，周周必做的

學習方式幫了很大的忙。

其實更重要的一點是自信心的建立，從小數(shù)學就不好，屬于勉強及格的一類，

但對于文科生而言，得數(shù)學者的天下，所以數(shù)學是左右總成績的重要科目。

高一一年的數(shù)學并沒有太大起色，但是感恩的是遇到一個很好的數(shù)學老師，他

近花甲，要退休，他操著一口衡水地方方言。

雖然總是嘲笑他的口音，但不得不敬佩老人家的敬業(yè)，是他每次考試鼓勵說又

進步了，哪怕進步一點點；是他提問我的次數(shù)增多了，是他旁敲側擊地夸我聰明，沒

錯。

就這樣，我學數(shù)學的自信心上來了，就更愿意花時間和精力在上面，數(shù)學課對

我來說就是享受，攻克數(shù)學題對我來說就是戰(zhàn)勝的快感。就這樣，一次次的數(shù)學從

及格線，到百分以上，進而一百一，一百二，最后一路到高三的模擬考，數(shù)學得滿

分。

5.認真對待每一科

萬事難逃認真二字，你如何對待它，它就反過來怎么對你，我是待數(shù)學如初戀

的，它也沒讓我失望。

高中畢業(yè)，我的數(shù)學改錯本整整齊齊的共八大本，每一本都是用兩種以上的顏

色標記，紅色是常錯，易錯，和重點，黑色是題目題型，藍色是次重點，到現(xiàn)在我

也舍不得丟掉曾經的記憶。

記得每次考試前，我已經沒有了看課本的習慣，所有的資料來源于改錯本，在

重點中再總結重點和記不牢的公式，考試前多看幾遍，考試時所有的知識就像擺在

眼前一樣，用到哪塊就選哪塊就好了。

其他科目的學習亦大同小異。因為本身愛讀書，而且參加過各類作文比賽，寫

隨筆，所以語文學習更多的是一種語感和積累，如果你能將所有知識都分門別類的

儲存在大腦里，用到哪里，就能隨時拿出來，怎么可能不考高分呢？

6.好記性不如爛筆頭

雖然很土，但卻說出了真理，當你多寫，多寫，寫著寫著就記在腦子里了，知

識莫過于反復和重復，這樣做了又怎能很快忘掉？

那些生僻字，那些詩詞，那些描寫手法，那些勵志故事，人生小段，哪個不能

應用于作文中？只要稍加轉換，學會整合，就可以了。

英語學習，說實話是我高中記憶中最平庸的一門，高考分數(shù)也只有132分，但

因為從初中，英語成績就還算可以，所以并未很投入，我的方法還是記與寫。

當時并不知道有哪些英文原版小說，最初的啟蒙讀物就是《書蟲》，里面的名

著故事，反反復復讀了N遍也不厭煩，因為是雙語就會對照比較學習，很有效的提

高了自己的閱讀水平和語感。

而且會把題目中的閱讀文段當精讀對待，遇到生詞，不熟的短語，常用用法等

等都會積累下來，一回生兩回熟，自然積累就上去了。

錯題本的應用派上用處，加上老師要求作文單詞寫的要跟楷書一樣，所以只是

抽出固定時間勤加練習，最后字母寫的真跟楷書一樣了，正正方方，起碼印象分好，

當然這屬于純應試的技巧，現(xiàn)在看來毫無用處。

7.興趣是最好的老師

有一個方法值得提一下，就是串聯(lián)學習法。

很多知識都是融會貫通的，比如of這個詞，會出現(xiàn)多種