（四川版）2022中考數(shù)學(xué)專題總復(fù)習(xí)專題十一四邊形的綜合應(yīng)用模擬試題

專題十一四邊形的綜合應(yīng)用(針對(duì)四川中考特殊四邊形的綜合應(yīng)用)1．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14952502)(2022·廣元預(yù)測(cè))在?ABCD中，點(diǎn)P和點(diǎn)Q是直線BD上不重合的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AP∥CQ，AD＝BD.(1)如圖①，求證：BP＋BQ＝BC；(2)請(qǐng)直接寫出圖②，圖③中BP，BQ，BC三者之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；(3)在(1)和(2)的條件下，若DQ＝1，DP＝3，則BC＝__2或4__．解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵AP∥CQ，∴∠APQ＝∠CQB，∴△ADP≌△CBQ，∴DP＝BQ，∵AD＝BD，AD＝BC，∴BD＝BC，∵BD＝BP＋DP，∴BC＝BP＋BQ(2)圖②，BQ－BP＝BC，理由：∵AP∥CQ，∴∠APB＝∠CQD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠ABP＝∠CDQ，∵AB＝CD，∴△ABP≌△CDQ，∴BP＝DQ，∴BC＝AD＝BD＝BQ－DQ＝BQ－BP；圖③，BP－BQ＝BC，理由：同理得△ADP≌△CBQ，∴PD＝BQ，∴BC＝AD＝BD＝BP－PD＝BP－BQ(3)圖①，BC＝BP＋BQ＝DQ＋PD＝1＋3＝4，圖②，BC＝BQ－BP＝PD－DQ＝3－1＝2，∴BC＝2或42．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14952503)(2022·南平)已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分線DE與BC邊所在的直線交于點(diǎn)E，點(diǎn)P是線段DE上一定點(diǎn)(其中EP＜PD)．(1)如圖1，若點(diǎn)F在CD邊上(不與D重合)，將∠DPF繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，角的兩邊PD，PF分別交射線DA于點(diǎn)H，G.①求證：PG＝PF；②探究：DF，DG，DP之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)拓展：如圖2，若點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上(不與D重合)，過點(diǎn)P作PG⊥PF，交射線DA于點(diǎn)G，你認(rèn)為(1)中DF，DG，DP之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們所滿足的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由．解：(1)①∵∠GPF＝∠HPD＝90°，∠ADC＝90°，∴∠GPH＝∠FPD，∵DE平分∠ADC，∴∠PDF＝∠ADP＝45°，∴△HPD為等腰直角三角形，∴∠DHP＝∠PDF＝45°，在△HPG和△DPF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PHG＝∠PDF，,PH＝PD，,∠GPH＝∠FPD，))∴△HPG≌△DPF(ASA)，∴PG＝PF；②結(jié)論：DG＋DF＝eq\r(2)DP，由①知，△HPD為等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，∴HD＝eq\r(2)DP，HG＝DF，∴HD＝HG＋DG＝DF＋DG，∴DG＋DF＝eq\r(2)DP(2)不成立，數(shù)量關(guān)系式應(yīng)為：DG－DF＝eq\r(2)DP，如圖，過點(diǎn)P作PH⊥PD交射線DA于點(diǎn)H，∵PF⊥PG，∴∠GPF＝∠HPD＝90°，∴∠GPH＝∠FPD，∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠HDP＝∠EDC＝45°，∴△HPD為等腰直角三角形，∴∠DHP＝∠EDC＝45°，且PH＝PD，HD＝eq\r(2)DP，∴∠GHP＝∠FDP＝180°－45°＝135°，在△HPG和△DPF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠GPH＝∠FPD，,∠GHP＝∠FDP，,PH＝PD，))∴△HPG≌△DPF，∴HG＝DF，∴DH＝DG－HG＝DG－DF，∴DG－DF＝eq\r(2)DP3．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14952504)(2022·自貢預(yù)測(cè))如圖①，AD為等腰直角△ABC的高，點(diǎn)A和點(diǎn)C分別在正方形DEFG的邊DG和DE上，連接BG，AE.(1)求證：BG＝AE；(2)將正方形DEFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)線段EG經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)(如圖②所示)．①求證：BG⊥GE；②設(shè)DG與AB交于點(diǎn)M，若AG∶AE＝3∶4，求eq\f(GM,MD)的值．解：(1)∵AD為等腰直角△ABC的高，∴AD＝BD，∵四邊形DEFG為正方形，∴∠GDE＝90°，DG＝DE，在△BDG和△ADE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝AD，,∠BDG＝∠ADE，,DG＝DE，))∴△BDG≌△ADE(SAS)，∴BG＝AE(2)①如圖，連接AD，∵四邊形DEFG為正方形，∴△DEG為等腰直角三角形，∴∠1＝∠2＝45°，由(1)得△BDG≌△ADE，∴∠3＝∠2＝45°，∴∠1＋∠3＝45°＋45°＝90°，即∠BGE＝90°，∴BG⊥GE；②設(shè)AG＝3x，則AE＝4x，即GE＝7x，∴DG＝eq\f(\r(2),2)GE＝eq\f(7\r(2),2)x，∵△BDG≌△ADE，∴BG＝AE＝4x，在Rt△BGA中，AB＝eq\r(BG2＋AG2)＝eq\r(（4x）2＋（3x）2)＝5x，∵△ABD為等腰直角三角形，∴∠4＝45°，BD＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(5\r(2),2)x，∴∠3＝∠4，而∠BDM＝∠GDB，∴△DBM∽△DGB，∴BD∶DG＝DM∶BD，即eq\f(5\r(2),2)x∶eq\f(7\r(2),2)x＝DM∶eq\f(5\r(2),2)x，解得DM＝eq\f(25\r(2),14)x，∴GM＝DG－DM＝eq\f(7\r(2),2)x－eq\f(25\r(2),14)x＝eq\f(12\r(2),7)x，∴eq\f(GM,MD)＝eq\f(\f(12\r(2),7)x,\f(25\r(2),14)x)＝eq\f(24,25)4．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14952505)(2022·揚(yáng)州)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC，DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF.設(shè)CE＝a，CF＝b.(1)如圖1，當(dāng)∠EAF被對(duì)角線AC平分時(shí)，求a，b的值；(2)當(dāng)△AEF是直角三角形時(shí)，求a，b的值；(3)如圖3，探索∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中a，b滿足的關(guān)系式，并說明理由．解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCF＝∠DCE＝90°，∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線，∴∠ACB＝∠ACD＝45°，∴∠ACF＝∠ACE，∵∠EAF被對(duì)角線AC平分，∴∠CAF＝∠CAE，在△ACF和△ACE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACF＝∠ACE，,AC＝AC，,∠CAF＝∠CAE，))∴△ACF≌△ACE(ASA)，∴CF＝CE，∵CE＝a，CF＝b，∴a＝b，又∵△ACF≌△ACE，∴AF＝AE，∴∠AEF＝∠AFE，∵∠EAF＝45°，∴∠AEF＝∠AFE＝°，∵CE＝CF，∠ECF＝90°，∴∠AEC＝∠AFC＝°，∵∠CAF＝∠CAE＝°，∴∠CAE＝∠CEA，∴CE＝AC＝4eq\r(2)，即a＝b＝4eq\r(2)(2)當(dāng)△AEF是直角三角形時(shí)，①當(dāng)∠AEF＝90°時(shí)，∵∠EAF＝45°，∴∠AFE＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF2＝2FE2＝2(CE2＋CF2)，AF2＝2AE2＝2(AB2＋BE2)，∴2(CE2＋CF2)＝2(AB2＋BE2)，∴CE2＋CF2＝AB2＋BE2，∴CE2＋CF2＝16＋(4＋CE)2，∴CF2＝8(CE＋4)①，∵∠AEB＋∠BEF＝90°，∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠BEF＝∠BAE，∴△ABE∽△ECF，∴eq\f(AB,CE)＝eq\f(BE,CF)，∴eq\f(4,CE)＝eq\f(CE＋4,CF)，∴4CF＝CE(CE＋4)②，聯(lián)立①②得，CE＝4，CF＝8，∴a＝4，b＝8；②當(dāng)∠AFE＝90°時(shí)，同①的方法得，CF＝4，CE＝8，∴a＝8，b＝4(3)ab＝32，理由：如圖，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠AFC，∵∠BAC＝45°，∴∠BAG＋∠CAF＝45°，∴∠AFC＋∠CAF＝45°，∵∠AFC＋∠AEC＝180°－(∠CFE＋∠CEF)－∠EAF＝180°－90°－45°＝45°，∴∠CAF＝∠AEC，∵∠ACF＝∠ACE＝135°，∴△ACF∽△ECA，∴eq\f(AC,EC)＝eq\f(CF,AC)，∴EC×CF＝AC2，即ab＝2AB2＝32，∴ab＝325．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14952506)(2022·南充預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)C在第四象限，點(diǎn)B在x軸的正半軸上．∠OAB＝90°且OA＝AB，OB，OC的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2－11x＋30＝0的兩個(gè)根(OB＞OC)．(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)O，B重合)，過點(diǎn)P的直線l與y軸平行，直線l交邊OA或邊AB于點(diǎn)Q，交邊OC或邊BC于點(diǎn)R.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段QR的長(zhǎng)度為m.已知t＝4時(shí)，直線l恰好過點(diǎn)C.當(dāng)0＜t＜3時(shí)，求m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)m＝時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：(1)∵方程x2－11x＋30＝0的解為x1＝5，x2＝6，∴OB＝6，OC＝5，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(6，0)，作AM⊥x軸于M，如圖，∵∠OAB＝90°且OA＝AB，∴△AOB為等腰直角三角形，∴OM＝BM＝AM＝eq\f(1,2)OB＝3，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(3，3)(2)作CN⊥x軸于N，如圖，∵t＝4時(shí)，直線l恰好過點(diǎn)C，∴ON＝4，在Rt△OCN中，CN＝eq\r(OC2－ON2)＝eq\r(52－42)＝3，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(4，－3)，設(shè)直線OC的解析式為y＝kx，把C(4，－3)代入得4k＝－3，解得k＝－eq\f(3,4)，∴直線OC的解析式為y＝－eq\f(3,4)x，設(shè)直線OA的解析式為y＝ax，把A(3，3)代入得3a＝3，解得a＝1，∴直線OA的解析式為y＝x，∵P(t，0)(0＜t＜3)，∴Q(t，t)，R(t，－eq\f(3,4)t)，∴QR＝t－(－eq\f(3,4)t)＝eq\f(7,4)t，即m＝eq\f(7,4)t(0＜t＜3)(3)設(shè)直線AB的解析式為y＝px＋q，把A(3，3)，B(6，0)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3p＋q＝3，,6p＋q＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝－1，,q＝6.))∴直線AB的解析式為y＝－x＋6，同理可得直線BC的解析式為y＝eq\f(3,2)x－9，當(dāng)0＜t＜3時(shí)，m＝eq\f(7,4)t，若m＝，則eq\f(7,4)t＝，解得t＝2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)；當(dāng)3≤t＜4時(shí)，Q(t，－t＋6)，R(t，－eq\f(3,4)t)，∴m＝－t＋6－(－eq\f(