雙曲拋物型方程

雙曲拋物型方程1第一頁，共二十頁，2022年，8月28日4.1差分格式1.迎風格式(c>0)(c<0)精度：穩(wěn)定條件：2.蛙跳（leapfrog）格式精度：穩(wěn)定條件：僅對對流項2第二頁，共二十頁，2022年，8月28日3.時間前差，空間中心差分的顯格式精度：穩(wěn)定條件：4.Lax-Wendroff格式精度：穩(wěn)定條件：3第三頁，共二十頁，2022年，8月28日5.Crank-Nicholson格式精度：穩(wěn)定條件：恒穩(wěn)6.全隱格式精度：穩(wěn)定條件：恒穩(wěn)可對對流項及擴散項分別采用不同的格式4第四頁，共二十頁，2022年，8月28日非線性Burgers方程為N-S方程的一個較好的模型方程對于特殊選定的初始值和邊界條件，及特別的函數(shù)f，可得準確解設(shè)f=u2/2，定解域為0xL,t0,邊界值u(0,t)=u0,u(L,t)=0定常問題的準確解：其中自行嘗試各種格式5第五頁，共二十頁，2022年，8月28日時間微商的差分逼近上述差分方法中在對時間偏微分時，只分為1單步二層格式（前向差分）一階精度2蛙跳格式（中心差分）：二階精度3若維持有關(guān)歐拉格式的空間微商的差分形式不變（簡記為Ld），則我們可引入龍格－庫塔(Runge-Kutta)格式，其時間差分精度為4階（只是內(nèi)存占用量大）6第六頁，共二十頁，2022年，8月28日范例若對空間微商采用中心差分，即則龍格－庫塔格式為穩(wěn)定條件：7第七頁，共二十頁，2022年，8月28日守恒型與非守恒型作為源方程的方程組可以有不同的解析形式，如歐拉形式與拉格朗日形式，守恒形式與非守恒形式，積分形式與特征形式等。不同形式的源方程在解析分析中完全等效，但在數(shù)值計算方面則不盡然。對任一物理量U=U(x,t)，若能寫成則稱U為守恒型變量，F(xiàn)為其通量（密度），形如此方程者為守恒型方程8第八頁，共二十頁，2022年，8月28日質(zhì)量守恒動量守恒能量守恒磁通守恒渦旋守恒9第九頁，共二十頁，2022年，8月28日差分格式從守恒型方程出發(fā)設(shè)計的格式具有總體守恒的特性，故稱為守恒型格式，如該方程可寫為半格點值由插值得到若體系與外界無交換，則10第十頁，共二十頁，2022年，8月28日差分格式子類半格點插值公式的選取若干子類1.歐拉顯格式二階四階2.歐拉全隱格式精度：11第十一頁，共二十頁，2022年，8月28日3.Lax格式4.蛙跳－梯形格式蛙跳步梯形步相當于12第十二頁，共二十頁，2022年，8月28日5.Lax-Wendroff格式(等價于半步長Lax＋半步長蛙跳)格式4、5的時間精度均為二級。特別是碰到激波時，守恒格式能使激波關(guān)系較為精確地滿足，因此在激波的計算中應(yīng)首先考慮使用守恒型格式。13第十三頁，共二十頁，2022年，8月28日5.

說明對流方程的差分格式

耗散性和色散性對于對流方程的差分格式的穩(wěn)定性具有重要的影響，而理想（磁）流體方程具有與對流方程相似的形式，同屬于雙曲型方程，故設(shè)計格式時須注意耗散性及色散性在穩(wěn)定條件滿足的情況下，迎風格式、Lax格式及全隱格式具有一階耗散，屬強耗散格式，L-W格式具有三階耗散，龍格庫塔格式具有五階耗散，屬弱耗散格式，色散效應(yīng)起主導作用。蛙跳、跳點和C-N格式的耗散余項為0，屬無耗散格式，在碰到激波等強間斷時，弱（無）耗散格式的色散性會導致波頭振蕩和計算失穩(wěn)，須引入人為耗散。14第十四頁，共二十頁，2022年，8月28日隱式與顯式隱格式穩(wěn)定性好（步長僅受非線性效應(yīng)及計算精度的約束），而顯格式則在步長上有強約束條件，有時會使步長太短而無法實現(xiàn)。但對波動過程及瞬變現(xiàn)象，物理量變化時間尺度較小，故顯格式的步長限制有時并不十分嚴重，且顯格式具有編程簡單及適宜并行處理的優(yōu)點，也經(jīng)常被采用。對擴散項，當耗散系數(shù)較大或空間步長較小時，應(yīng)優(yōu)先考慮隱格式。將前面介紹的單一方程的差分格式對整個方程組進行統(tǒng)一的處理是構(gòu)造偏微分方程組差分格式的最簡單途徑。15第十五頁，共二十頁，2022年，8月28日6.

守恒型方程組的單步顯格式考慮方程組其中U為未知函數(shù)，F(xiàn)為通量項，S為非齊次項（可以是U的函數(shù)），三者均m維矢量上式可寫為非守恒形式其中為矩陣上式中F可分解為與速度有關(guān)的對流項FT和諸應(yīng)力項＋耗散項FD

常見的單步格式：Lax格式、Lax-Wendroff格式及迎風格式16第十六頁，共二十頁，2022年，8月28日Lax格式精度：穩(wěn)定條件：式中為矩陣A的最大本征值該格式可推廣到二、三維，相應(yīng)的穩(wěn)定條件為對流體，為聲速17第十七頁，共二十頁，2022年，8月28日Lax-Wendroff格式精度：穩(wěn)定條件：一般A是U的線性函數(shù)，故其色散正比于k4，故適合研究長波作業(yè)：這兒應(yīng)該是F還是U?18第十八頁，共二十頁，2022年，8月28日迎風格式精度：穩(wěn)定條件：推廣到高維問題時效果很差，故一般只用于一維問題Lax方法及迎風格式雖精度低，但卻具有強耗散和弱色散，故實際使用時穩(wěn)定性及可靠性較好。迎風格式能保持物理量（如密度、溫度、壓