2019年1月海淀區(qū)高三數(shù)學理期末試卷及答案

海淀區(qū)高三年級第一學期期末練習數(shù)學（理科）2019.01本試卷共4頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）雙曲線的左焦點的坐標為（A）（B）（C）（D）（2）已知向量，且，則的夾角大小為（A）（B）（C）（D）（3）已知等差數(shù)列滿足，公差，且成等比數(shù)列，則（A）（B）（C）（D）（4）直線被圓截得的弦長為，則的值為（A）（B）（C）（D）（5）以正六邊形的個頂點中的個作為頂點的三角形中，等腰三角形的個數(shù)為（A）（B）（C）（D）（6）已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上存在零點”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（7）已知函數(shù)是的導函數(shù)，則下列結論中錯誤的是（A）函數(shù)的值域與的值域相同（B）若是函數(shù)的極值點，則是函數(shù)的零點（C）把函數(shù)的圖象向右平移個單位，就可以得到函數(shù)的圖象（D）函數(shù)和在區(qū)間上都是增函數(shù)（8）已知集合.若，且對任意的，均有，則集合中元素個數(shù)的最大值為（A）25（B）49（C）75（D）99第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（9）以拋物線的焦點為圓心，且與其準線相切的圓的方程為．（10）執(zhí)行如下圖所示的程序框圖，當輸入的值為，值為時，輸出的值為．開始輸出結束開始輸出結束是否輸入,（11）某三棱錐的三視圖如上圖所示，則這個三棱錐中最長的棱與最短的棱的長度分別為，.（12）設關于的不等式組表示的平面區(qū)域為，若中有且僅有兩個點在平面區(qū)域內(nèi)，則的最大值為．（13）在中，，且，則．（14）正方體的棱長為1，動點在線段上，動點在平面上，且平面.(Ⅰ)當點與點重合時，線段的長度為；（Ⅱ）線段長度的最小值為．

三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。（15）（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中.(Ⅰ)比較的大??；(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.（16）（本小題滿分13分）為迎接年冬奧會，北京市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動，并在培訓結束后對學生進行了考核.記表示學生的考核成績，并規(guī)定為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓活動的效果，在參加培訓的學生中隨機抽取了名學生的考核成績，并作成如下莖葉圖：50116601433587237687178114529902130(Ⅰ)從參加培訓的學生中隨機選取1人，請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計這名學生考核為優(yōu)秀的概率；(Ⅱ)從圖中考核成績滿足的學生中任取人，設表示這人中成績滿足的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；(Ⅲ)根據(jù)以往培訓數(shù)據(jù)，規(guī)定當時培訓有效.請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次冰雪培訓活動是否有效，并說明理由.（17）（本小題滿分14分）在四棱錐中，平面平面，底面為梯形,，,且.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若是棱的中點，求證：對于棱上任意一點，與都不平行.（18）（本小題滿分14分）已知橢圓:,過點的直線與橢圓交于不同的兩點,.(Ⅰ)求橢圓的離心率；(Ⅱ)若點關于軸的對稱點為，求線段長度的取值范圍.（19）（本小題滿分13分）已知函數(shù).（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）當時，求證:對任意的成立.（20）（本小題滿分13分）設為不小于的正整數(shù)，集合,對于集合中的任意元素，，記.(Ⅰ)當時，若，請寫出滿足的所有元素；(Ⅱ)若，且，求的最大值和最小值；（Ⅲ）設是的子集，且滿足：對于中的任意兩個不同元素，有成立，求集合中元素個數(shù)的最大值.海淀區(qū)高三年級第一學期期末練習參考答案數(shù)學（理科）2019.01一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1.A2.B3.D4.A5.C6.C7.C8.D二、填空題:本大題共6小題，每小題5分，共30分.9.10.11.12.13.14.三、解答題:本大題共6小題，共80分.15．解：（Ⅰ）因為所以因為，所以，所以（Ⅱ）因為設，所以所以其對稱軸為當，即時，在時函數(shù)取得最小值當，即時，在時函數(shù)取得最小值16.解：（Ⅰ）設該名學生考核成績優(yōu)秀為事件由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以知道，名同學中，有名同學考核優(yōu)秀所以所求概率約為（Ⅱ）的所有可能取值為因為成績的學生共有人，其中滿足的學生有人所以，，隨機變量的分布列為（Ⅲ）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，滿足的成績有個所以所以可以認為此次冰雪培訓活動有效.

17．解：（Ⅰ）在平面中過點作，交于因為平面平面平面平面平面所以平面因為平面所以又，且所以平面（Ⅱ）因為平面，所以又，以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系所以，因為平面，所以取平面的法向量為設平面的法向量為因為，所以所以令，則，所以所以由題知為銳角，所以的余弦值為（Ⅲ）法一：假設棱上存在點，使得，顯然與點不同所以四點共面于所以，所以，所以就是點確定的平面，所以這與為四棱錐矛盾，所以假設錯誤，即問題得證法二：假設棱上存在點，使得連接，取其中點在中，因為分別為的中點，所以因為過直線外一點只有一條直線和已知直線平行，所以與重合所以點在線段上，所以是，的交點，即就是而與相交，矛盾，所以假設錯誤，問題得證法三：假設棱上存在點，使得，設，所以因為，所以所以有，這個方程組無解所以假設錯誤，即問題得證18．解：（Ⅰ）因為，所以所以離心率（Ⅱ）法一：設顯然直線存在斜率，設直線的方程為所以，所以，所以所以因為所以因為所以因為，所以法二：設當直線是軸時，當直線不是軸時，設直線的方程為所以，所以，，所以所以因為所以因為所以因為，所以綜上，的取值范圍是.19．解：（Ⅰ）因為所以當時，所以，而曲線在處的切線方程為化簡得到（Ⅱ）法一：因為，令得當時，，，在區(qū)間的變化情況如下表:00極大值極小值所以在上的最小值為中較小的值，而，所以只需要證明因為，所以設，其中，所以令，得，當時，，，在區(qū)間的變化情況如下表:0極小值所以在上的最小值為，而注意到，所以，問題得證法二：因為“對任意的，”等價于“對任意的，”即“，”，故只需證“，”設，所以設，令，得當時，，，在區(qū)間的變化情況如下表:0極小值所以上的最小值為，而所以時，，所以在上單調(diào)遞增所以而，所以，問題得證法三：“對任意的，”等價于“在上的最小值大于”因為，令得當時，，，在在上的變化情況如下表:00極大值極小值所以在上的最小值為中較小的值，而，所以只需要證明因為，所以注意到和，所以設，其中所以當時，，所以單調(diào)遞增，所以而所以，問題得證法四：因為，所以當時，設，其中所以所以，，的變化情況如下表:0極小值所以在時取得最小值，而所以時，所以