2023年高考數(shù)學(xué)壓軸題-圓錐曲線專(zhuān)題第08講：三點(diǎn)共線問(wèn)題（原卷版）

第八講：三點(diǎn)共線問(wèn)題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】基礎(chǔ)目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，坐標(biāo)的表示；應(yīng)用目標(biāo)：掌握直線與橢圓，雙曲線，拋物線聯(lián)立求解，并表示交點(diǎn)，向量，斜率等計(jì)算量；拓展目標(biāo)：能夠熟練掌握三點(diǎn)共線的表達(dá)和求解方法.素養(yǎng)目標(biāo)：通過(guò)數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨(dú)立思考和邏輯分析能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).【基礎(chǔ)知識(shí)】解析幾何中，將代數(shù)和幾何聯(lián)系到一起，形成了圖形和坐標(biāo)等的分析，在一定程度上可以進(jìn)行坐標(biāo)的計(jì)算，達(dá)到解決解析幾何的目的，因此在解析幾何中的三點(diǎn)共線證明上，重點(diǎn)放在點(diǎn)的坐標(biāo)的表示和計(jì)算中。解析幾何證明三點(diǎn)共線的方法：（1）直接證明其中一點(diǎn)在過(guò)另兩點(diǎn)的直線上；（2）證明過(guò)其中一點(diǎn)和另兩點(diǎn)所連兩條直線斜率相等；（3）證明過(guò)其中一點(diǎn)和另兩點(diǎn)所連兩個(gè)向量共線.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：證明三點(diǎn)共線例1．已知橢圓的離心率為，上下頂點(diǎn)分別為，且.過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與直線相交于點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線.

變式訓(xùn)練1：已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)已知、分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，是直線上不與點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，與直線垂直的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為.求證：、、三點(diǎn)共線.變式訓(xùn)練2：已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線（與軸不重合）交橢圓于兩點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，若直線上存在另一點(diǎn)，使.求證：三點(diǎn)共線.

變式訓(xùn)練3：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、分別是橢圓的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，過(guò)作軸的垂線，垂足為，設(shè)直線的斜率為．(1)若直線平分線段，求的值；(2)求面積的最大值，并指出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)對(duì)任意的，過(guò)點(diǎn)作的垂線交橢圓于，求證：，，三點(diǎn)共線．考點(diǎn)二：已知三點(diǎn)共線（求坐標(biāo)）例1．如圖，已知橢圓E：（）的右焦點(diǎn)為，離心率，過(guò)F作一直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)（其中A在x軸的上方），過(guò)點(diǎn)A作直線：的垂線，垂足為C．（1）求橢圓的方程；（2）問(wèn)：在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得B，T，C三點(diǎn)共線？若存在，求出T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式訓(xùn)練1：已知長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓過(guò)點(diǎn),點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）是否存在軸上的定點(diǎn),使得過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，且三點(diǎn)共線？若存在，求點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.變式訓(xùn)練2：已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，當(dāng)直線繞著點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試探究：是否存在定點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式訓(xùn)練3：已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，當(dāng)直線繞著點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試探究：是否存在定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn)三：已知三點(diǎn)共線求參例1．已知橢圓C：（）的短軸長(zhǎng)為，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且不與軸重合的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)是否存在實(shí)數(shù)（），使得直線：與直線的交點(diǎn)滿(mǎn)足三點(diǎn)共線？若存在，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式訓(xùn)練1：已知橢圓C：（）的右準(zhǔn)線方程為，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，斜率為2的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且點(diǎn)F到直線的距離為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，它與橢圓C相交于另一點(diǎn)P，當(dāng)B，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線時(shí)，試確定直線的斜率.變式訓(xùn)練2：設(shè)雙曲線的上焦點(diǎn)為是雙曲線上的兩個(gè)不同的點(diǎn).(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.若三點(diǎn)共線，求證：為定值.

變式訓(xùn)練3：已知橢圓的離心率為，為橢圓上任意一點(diǎn)，且已知.（1）若橢圓的短軸長(zhǎng)為，求的最大值；（2）若直線交橢圓的另一個(gè)點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，且，三點(diǎn)共線，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.考點(diǎn)三：已知三點(diǎn)共線求范圍例1．已知橢圓：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求橢圓的方程；（2）已知縱坐標(biāo)不同的兩點(diǎn)，為橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線，線段的中點(diǎn)為，求直線的斜率的取值范圍．

變式訓(xùn)練1：在平面直角坐標(biāo)系中，的兩個(gè)頂點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，平面內(nèi)兩點(diǎn)，同時(shí)滿(mǎn)足以下3個(gè)條件：①是三條邊中線的交點(diǎn)；②是的外心；③．（Ⅰ）求的頂點(diǎn)的軌跡方程；（Ⅱ）若點(diǎn)與（Ⅰ）中軌跡上的點(diǎn)，三點(diǎn)共線，求的取值范圍．變式訓(xùn)練2：如圖，已知橢圓，拋物線，點(diǎn)是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)（，不同于）．（1）求橢圓的焦距；（2）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上的點(diǎn)，且、、三點(diǎn)共線，若存在不過(guò)原點(diǎn)的直線使為線段的中點(diǎn)，求的最小值．

考點(diǎn)四：證明三點(diǎn)共線（充要條件）例1．已知橢圓方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：三點(diǎn)共線的充要條件是．變式訓(xùn)練1：已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)設(shè)M，N是軌跡C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切.證明：M，N，三點(diǎn)共線的充要條件是.

變式訓(xùn)練2：已知橢圓的方程為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且離心率為.(1)求圓的方程；(2)過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)作兩條直線，與橢圓的另外兩個(gè)交點(diǎn)為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線和直線的斜率存在且分別為和.證明：，，三點(diǎn)共線的充要條件是.【當(dāng)堂小結(jié)】1、知識(shí)清單：（1）橢圓，雙曲線，拋物線弦長(zhǎng)公式；（2）弦長(zhǎng)最值的基本不等式求解；（3）交點(diǎn)坐標(biāo)的求解和非弦長(zhǎng)的計(jì)算；2、易錯(cuò)點(diǎn)：弦長(zhǎng)公式的計(jì)算，基本不等式的應(yīng)用；3、考查方法：基本不等式，數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；4、核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象.

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1．已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別記為、，其長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為4，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記的中點(diǎn)為，若動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)恒為，過(guò)點(diǎn)作∥交橢圓于點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn)，求證：、、三點(diǎn)共線．2．過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為的準(zhǔn)線，0為坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)做于，設(shè).（1）求的值；（2）求證：三點(diǎn)共線.

2．已知橢圓（）的右焦點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)分別為、，，過(guò)點(diǎn)的直線（不與軸重合）交橢圓于、點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，與直線的交點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程；（2）若，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求證：、、三點(diǎn)共線.3．如圖，已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線的方程為，過(guò)焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線的傾斜角為45°時(shí)，求弦的長(zhǎng)；（3）設(shè)直線交于點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線.

4．已知拋物線，為其焦點(diǎn)，，三點(diǎn)都在拋物線上，且，設(shè)直線的斜率分別為.（1）求拋物線的方程，并證明；（2）已知，且三點(diǎn)共線，若且，求直線的方程.5．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）若過(guò)點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線交動(dòng)點(diǎn)的軌跡于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，當(dāng)直線繞著點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試探究：是否存在定點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

6．已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F作與坐標(biāo)軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求m的取值范圍；（3）設(shè)點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N，使得C、B、N三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F作與坐標(biāo)軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求m的取值范圍；（3）設(shè)點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N，使得C、B、N三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

8．已知焦點(diǎn)為的拋物線經(jīng)過(guò)圓的圓心，點(diǎn)是拋物線與圓在第一象限的一個(gè)公共點(diǎn)，且.（1）分別求與的值；（2）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)，是異于點(diǎn)的拋物線上的兩點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線，直線，分別與軸交于點(diǎn)，，問(wèn)：是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說(shuō)明理由.9．設(shè)雙曲線的上焦點(diǎn)為是雙曲線上的兩個(gè)不同的點(diǎn)．（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）若，求點(diǎn)縱坐標(biāo)的值；（3）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．若三點(diǎn)共線，求證：為定值．

10．已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)、