2023年高考數(shù)學壓軸題-圓錐曲線專題第07講：軌跡問題（解析版）

第七講：軌跡方程【學習目標】基礎目標：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡單定義，及簡單的幾何性質；應用目標：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的幾何性質，并能夠熟練利用直譯法和相關點法求解軌跡方程；拓展目標：能夠熟練應用橢圓，雙曲線，拋物線的定義，并數(shù)形結合找到動點的軌跡形式，通過定義求解動點的軌跡方程.素養(yǎng)目標：通過數(shù)形結合，轉化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨立思考和邏輯分析能力，提升學生的數(shù)學運算和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).【基礎知識】1、曲線方程的定義一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個關系：①曲線上的點的坐標都是方程的解；②以方程的解為坐標的點都是曲線上的點．此時，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線．2、求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担ㄈ绻呀o出，本步驟省略）；（2）設曲線上任意一點的坐標為；（3）根據(jù)曲線上點所適合的條件寫出等式；（4）用坐標表示這個等式，并化簡；（5）確定化簡后的式子中點的范圍．上述五個步驟可簡記為：求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍．3、求軌跡方程的方法：（1）直譯法：如果動點的運動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點滿足的等量關系易于建立，則可以先表示出點所滿足的幾何上的等量關系，再用點的坐標表示該等量關系式，即可得到軌跡方程。（2）相關點法：如果動點的運動是由另外某一點的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出，用表示出相關點的坐標，然后把的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程。（1）定義法：如果動點的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程?！究键c剖析】考點一：直譯法例1．在平面直角坐標系中，點與點關于原點對稱，是動點，且直線與的斜率之積等于；求動點的軌跡方程，并注明的范圍；【答案】解析：因為點B與點關于原點O對稱，所以點B的坐標為設點P的坐標為，由題意得，化簡得故動點P的軌跡方程為；變式訓練1：已知，，動點滿足與的斜率之積為，記的軌跡為曲線；求點的軌跡方程；【答案】解析：直線AM的斜率為，直線BM的斜率為，由題意可知：，故曲線的方程為：.變式訓練2：在平面直角坐標系中，點與點關于原點對稱，是動點，且直線與的斜率之積等于．(1)求動點的軌跡方程；【答案】解析：設，依題意有，，即，整理得：或；變式訓練3：在平面直角坐標系中，已知兩點的坐標分別是，直線相交于點，且它們的斜率之積為；求點的軌跡方程；【答案】；解析：設，因為直線相交于點，且它們的斜率之積為，所以，整理可得，所以點的軌跡方程為.例2．已知平面上動點到的距離比到直線的距離小，記動點的軌跡為曲線；求曲線的方程．【答案】；解析：，由題意，得，當時，，平方可得，當時，，平方可得，由可知，不合題意，舍去.綜上可得，所以的軌跡方程為．變式訓練1：已知點，動點到直線的距離為，且，記的軌跡為曲線；求的方程；【答案】解析：由題意知，兩邊平方整即得，所以，曲線的方程為.變式訓練2：已知點，平面上的動點到的距離是到直線的距離的倍，記點的軌跡為曲線；求曲線的方程；【答案】解析：設是所求軌跡上的任意一點，由題意知動點到的距離是到直線的距離的倍，可得，整理得，即曲線C的方程為.變式訓練3：在平面直角坐標系中，已知定點，動點滿足：以為直徑的圓與軸相切，記動點的軌跡為曲線；求曲線的方程；【答案】解析：設，則線段的中點坐標為，因為以為直徑的圓與軸相切，所以，整理得．故曲線的方程為．例3．在平面直角坐標系中，已知點，是一動點，直線，，的斜率分別為，，，且，記點的軌跡為；求的方程；【答案】；解析：設，所以，，，因為，所以，化簡得．所以曲線的方程為．變式訓練1：在平面直角坐標系中，已知點，是動點，且直線的斜率與直線的斜率之和等于直線的斜率；求動點的軌跡的方程；【答案】（且）；解析：設點的坐標為，由題意可得，即，則且.整理可得（且）.因此，動點的軌跡的方程為（且）；變式訓練2：設動點在直線和上的射影分別為點和，已知，其中為坐標原點；求動點的軌跡的方程；【答案】；解析：設，則，所以，由條件可得，整理可得點的軌方程為；變式訓練3：在平面直角坐標系中，已知點、，動點關于直線的對稱點為，且，動點的軌跡為曲線；求曲線的方程；【答案】解析：由點關于直線的對稱點為，則則，所以，即所以曲線的方程為：考點二：相關點法例1．圓：與軸的兩個交點分別為，，點為圓上一動點，過作軸的垂線，垂足為，點滿足；求點的軌跡方程；【答案】解析：設點在圓上，故有，設，又，可得，，即，代入可得，化簡得：，故點的軌跡方程為：.變式訓練1：圓的方程為：，為圓上任意一點，過作軸的垂線，垂足為，點在上，且；求點的軌跡的方程；【答案】解析：設，則，設，，，因為，所以，把代入圓的方程得，所以的軌跡的方程為.變式訓練2：已知圓：與軸交于點，過圓上一動點作軸的垂線，垂足為，是的中點，記的軌跡為曲線；求曲線的方程；【答案】；解析：設，則，∵是的中點，∴，又∵在圓上，，即；∴曲線的方程為：；變式訓練3：圓上的動點在軸、軸上的射影分別是，點滿足；求點的軌跡的方程；【答案】；解析：設，，則，，由．得代入，所以點的軌跡的方程為.例2．已知兩直線方程與，點在上運動，點在上運動，且線段的長為定值；求線段的中點的軌跡方程；【答案】解析：∵點在上運動，點在上運動，∴設，，線段的中點，則有，∴，∵線段的長為定值，∴+=8，即+=8，化簡得.∴線段的中點的軌跡方程為.變式訓練1：如圖，分別在軸?軸上運動，點滿足點的軌跡為曲線；求曲線的方程；【答案】解析：設由已知，即，又，即，所以曲線的方程為；變式訓練2：已知點D為圓O：上一動點，過點D分別作軸、軸的垂線，垂足分別為A、B，連接BA并延長至點P，使得，點P的軌跡記為曲線C；求曲線C的方程；【答案】解析：設點P（x，y），D，則A、B，由題意的，因為，所以

而，，所以代入圓O：得曲線C的方程為.變式訓練3：已知圓的圓心在坐標原點，且恰好與直線相切，設點A為圓上一動點，軸于點，且動點滿足，設動點的軌跡為曲線；求曲線的方程，【答案】；解析：設動點，，因為軸于，所以，設圓的方程為，則，所以圓的方程為，由題意，，所以，所以，即，將代入圓，得動點的軌跡方程.考點三：定義法例1．已知平面內的兩個定點，，，平面內的動點滿足.記的軌跡為曲線；請建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求的方程；【答案】；解析：以，的中點為原點，，所在直線為軸建立直角坐標系，由橢圓定義可知的軌跡為為橢圓，即：變式訓練1：動點滿足；求點的軌跡并給出標準方程；【答案】點的軌跡是以，為焦點，長軸長為6的橢圓，其標準方程為.解析：由動點滿足，可得動點到點，，，的距離之和為常數(shù)，且，故點的軌跡為橢圓，且，，則，，則，故橢圓的方程為．變式訓練2：已知，曲線上任意一點滿足；曲線上的點在軸的右邊且到的距離與它到軸的距離的差為；求的方程；【答案】的方程為，的方程為．解析：由題意可知點的軌跡是以為焦點，為實軸長的雙曲線的左支，故有，∴的方程為，設，則有，化簡得，即的方程為．變式訓練3：已知兩定點，點是平面內的動點，且,記的軌跡是；求曲線的方程；【答案】；解析：設，，，則，，由于，即，設，，則，點的軌跡是以，為焦點的橢圓，故，，，所以，動點的軌跡的方程為：．例2．如圖，點是圓上的動點，點，線段的垂直平分線交半徑于點；求點的軌跡的方程；【答案】解析：連結，由題意有所以所以點的軌跡是以為焦點，長軸長為，焦距為的橢圓所以點的軌跡的方程為變式訓練1：已知點為圓，，是圓上的動點，線段的垂直平分線交于點；求點的軌跡的方程；【答案】解析：由題意.∴點的軌跡是以點為焦點，焦距為，長軸為的橢圓，所以，所以點的軌跡方程是變式訓練2：已知點是圓上任意一點，點與點關于原點對稱，線段的垂直平分線分別與，交于，兩點；求點的軌跡的方程；【答案】解析：由題意得點的軌跡為以為焦點的橢圓點的軌跡的方程為變式訓練3：設圓的圓心為A，直線l過點B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.（I）證明為定值，并寫出點E的軌跡方程；【答案】（）.因為，，故，所以，故.又圓的標準方程為，從而，所以.由題設得，，，由橢圓定義可得點的軌跡方程為：（）.例3．如圖，已知圓的方程為，圓的方程為，若動圓與圓內切與圓外切；求動圓圓心的軌跡的方程；【答案】解析：設動圓的半徑為，∵動圓與圓內切，與圓外切，∴，且.于是，，所以動圓圓心的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓.從而，，所以.故動圓圓心的軌跡的方程為．變式訓練1：已知圓與圓：外切，同時與圓：內切；說明動點的軌跡是何種曲線，并求其軌跡方程；【答案】;解析：設圓的半徑為，由圓與圓:外切，得:,由圓與圓：內切，得:，故，則動點的軌跡是，為焦點，長軸長為的橢圓，故橢圓的短半軸長為，故橢圓的方程為.變式訓練2：在直角坐標系中，動圓與圓：外切，且圓與直線相切，記動圓圓心的軌跡為曲線；求曲線的軌跡方程；【答案】；設圓心，圓的半徑為，因為動圓與圓外切,所以①，又動圓與直線相切.所以②，聯(lián)立①②消去，可得．所以曲線的軌跡方程為.變式訓練3：已知圓的圓心為，圓的圓心為，一動圓與圓內切，與圓外切，動圓的圓心的軌跡為曲線；求曲線的方程；【答案】，解析：如圖，設圓的圓心，半徑為，則，，所以．由雙曲線定義可知，的軌跡是為焦點，實軸長為的雙曲線右支，所以曲線的方程為，．考點四：交軌法例1．已知點，，，，動點S，T滿足，，直線MS與NT交于一點P．設動點P的軌跡為曲線C；求曲線C的方程；【答案】；解析：由題意，知，從而，則.設，則，.由M，P，S三點共線，得.由，得，從而.由N，P，T三點共線，得，消去得，整理得，即曲線C的方程為.【當堂小結】1、知識清單：（1）橢圓，雙曲線，拋物線的定義和簡單性質；（2）直譯法，相關點法求解軌跡方程；（3）定義法求解橢圓的軌跡方程；2、易錯點：通過定義，性質進行對應的分析，找尋關系求解；3、考查方法：數(shù)形結合思想，數(shù)與形的轉化；4、核心素養(yǎng)：數(shù)學運算，數(shù)學抽象.【過關檢測】1．在平面直角坐標系中，已知，，是一個動點，分別為線段的中點，且直線的斜率之積是，記的軌跡為；求的方程；【答案】解析：由題意可知，直線OC，OD的斜率存在，且，．所以直線BM，AM的斜率之積也等于，設，則直線的斜率為，直線的斜率為，所以，整理得，故的方程為2．點P與定點的距離和它到定直線的距離之比為；求點P的軌跡方程；【答案】解析：設點，則，P到直線的距離為，由題意得：，解得：.3．已知圓與x軸交于A，B兩點，動點P滿足直線與直線的斜率之乘積為；求動點P的軌跡E的方程；【答案】，；解析：令得：，不妨設，，則，整理得：，；動點P的軌跡方程E為，；4．已知點，點，點M與y軸的距離記為d，且點M滿足：，記點M的軌跡為曲線W；求曲線W的方程；【答案】解析：設，由題意得，，由,∴∴．∴，即M的軌跡方程為；5．已知圓心在軸上移動的圓經(jīng)過點，且與軸、軸分別交于點，兩個動點，記點的軌跡為曲線；求曲線的方程；【答案】解析：設動圓的圓心為，則，半徑為，，化簡得：，即的方程為；6．在平面直角坐標系xOy中，一動圓經(jīng)過點F（2，0）且與直線相切，設該動圓圓心的軌跡為曲線；求曲線的方程；【答案】解析：設圓心為，由題意得：，兩邊平方，整理得：，故曲線的方程為.7．設點為圓上的動點，點在軸上的投影為，動點滿足，動點的軌跡為；求的方程；【答案】解析：設點，，由題意可知∵，∴，即，又點在圓上∴代入得即軌跡的方程為8．線段的長等于3，兩端點，分別在軸和軸上滑動，點在線段上，且，點的軌跡為曲線；求曲線的方程；【答案】；解析：設，，，由于，則①∵，∴，可得到，代入①式得點的軌跡方程為.9．已知，兩點分別在軸和軸上運動，且，若動點滿足，動點的軌跡為；求的方程；【答案】；解析：設，∵，∴，∴，.則，，又，∴，即為的方程.10．已知是軸上的動點（異于原點），點在圓：上，且.設線段的中點為；當點移動時，求點的軌跡方程.【答案】.解析：設,由,為等腰三角形.設,則.又為的中點,故,解得.得,則,把代入,整理得,所以點的軌跡方程為.11．已知：如圖，兩同心圓：和．為大圓上一動點，連結（為坐標原點）交小圓于點，過點作軸垂線（垂足為），再過點作直線的垂線，垂足為；當點在大圓上運動時，求垂足的軌跡方程；【答案】；解析：設垂足，則，因為在上，所以，即，故垂足的軌跡方程為；12．半圓的直徑的兩端點為,點在半圓及直徑上運動,若將點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)得到點,記點的軌跡為曲線；求曲線的方程;【答案】或.解析：設,則,由題意可知當在直徑上時,顯然;當在半圓上時,,曲線的方程為或.13．已知點M是圓與x軸負半軸的交點，過點M作圓C的弦，并使弦的中點恰好落在y軸上；求點N的軌跡E的方程；【答案】；解析：解法一：由題意知，，設是上的任意點，弦的中點恰好落在軸上，，，，整理得，，，點的軌跡方程為．解法二：設，弦的中點為，，因為在軸的負半軸上，故．，由垂徑定理得，故．14．在平面直角坐標系中，點是圓：上的動點，定點，線段的垂直平分線交于，記點的軌跡為；求軌跡的方程；【答案】解析：由題意：，∴根據(jù)橢圓的定義，點的軌跡是以、為焦點的橢圓，其中，.∴，，，∴軌跡的方程為：；15．已知圓：，點，P是圓C上任意一點，線段AP的垂直平分線交CP于點Q；求點Q的軌跡方程；【答案】解析：∵點Q在線段AP的垂直平分線上，∴.又，∴.∴點Q的軌跡是以坐標原點為中心，和為焦點，長軸長為4的橢圓.可設方程為，則，∴，∴點Q的軌跡方程為.16．在平面直角坐標系中，點，圓，以動點為圓心的圓經(jīng)過點，且圓與圓內切；求動點的軌跡的方程；【答案】解析：圓的方程可化為：，故圓心，半徑，而，所以點在圓內.又由已知得圓的半徑，由圓與圓內切可得，圓內切于圓，即，所以，故點的軌跡，即曲線是以為焦點，長軸長為的橢圓.顯然，