安徽省池州市東至二中2019-2020學年高二下學期6月月考理科數學試題 Word版含解析

PAGE東至二中2019-2020學年第一學期高二年級6月月考數學學科測試卷一.選擇題(本大題共12小題，共60分)1.已知復數z滿足(1＋2i)z＝－3＋4i，則|z|＝（）A. B.5C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復數模的運算性質及其計算公式即可得出.【詳解】∵(1＋2i)z＝－3＋4i，∴|1＋2i|·|z|＝|－3＋4i|，則|z|＝＝.故選：C.【點睛】本題主要考查的是復數的四則運算，以及復數模的求法，是基礎題.2.有一段“三段論”推理是這樣的：對于可導函數，如果，那么是函數的極值點．因為函數在處的導數值，所以是函數的極值點．以上推理中（）A.小前提錯誤 B.大前提錯誤 C.推理形式錯誤 D.結論正確【答案】B【解析】【分析】對大前提，小前提，推理形式與結論進行判斷．【詳解】大前提：對于可導函數，如果，那么是函數的極值點，錯誤，極值點的定義中除要求，還需要在兩側的導數的符號相反．雖然小前提正確，推理形式正確，但結論是錯誤的，故選：B．【點睛】本題考查三段論推理，三段論推理的結論是正確的前提條件是大前提、小前提、推理形式都正確．3.觀察下列各式：a+b=1.a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7,a5+b5=11,…，則a10+b10=（）A28 B.76 C.123 D.199【答案】C【解析】【詳解】由題觀察可發(fā)現，，，，即,故選C.考點：觀察和歸納推理能力.4.函數在[-2，2]的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結合圖象，根據函數的奇偶性，函數的單調性，以及特殊點的位置，即可利用排除法解出．【詳解】因為，所以函數為偶函數,而，所以可排除選項；當時，，，，使得，所以函數在上存在極小值點，排除選項；，而，所以，排除選項．故選：C．【點睛】本題主要考查函數的圖象的識別，涉及導數在研究函數性質中的應用，屬于中檔題．5.用數學歸納法證明，則當時，左端應在的基礎上加上（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分析題目求用數學歸納法證明1+2+3+…+n2=時，當n=k+1時左端應在n=k的基礎上加上的式子，可以分別使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1時等式的左端減去n=k時等式的左端，即可得到答案．【詳解】當n=k時，等式左端=1+2+…+k2，當n=k+1時，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了項（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故選C．【點睛】本題主要考查數學歸納法，屬于中檔題./6.（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據定積分的性質，微積分基本定理，以及定積分的幾何意義即可求出．【詳解】因為，而等于以為圓心，半徑為的個圓的面積，所以；因為，所以．故選：B．【點睛】本題主要考查定積分的性質，微積分基本定理，以及定積分的幾何意義的應用，屬于基礎題．7.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“—”和陰爻“——”，如圖就是一重卦.共有多少種重卦.（）A.12 B.16 C.32 D.64【答案】D【解析】【分析】按照分步乘法計數原理，即可求出．【詳解】因為每一行都有2個爻供選擇，根據分步乘法計數原理，所以六行共可組成種重卦．故選：D．【點睛】本題主要考查分步乘法計數原理的應用，屬于容易題．8.已知的展開式中的系數為5，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】求出和展開式中的系數，即可列式解出．【詳解】因為展開式中的系數為，展開式中的系數為，所以，解得．故選：A．【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，屬于基礎題．9.若，則=（）A.45 B.120 C. D.【答案】A【解析】【分析】直接計算其展開式中含的系數，即可得解；【詳解】解：因為又其展開式中含的系數為即，故選：A【點睛】本題考查二項式定理的應用，屬于基礎題.10.某次數學獲獎的6名高矮互不相同的同學站成兩排照相，后排每個人都高于站在他前面的同學，則共有多少種站法（）A.36 B.90 C.360 D.720【答案】B【解析】【分析】6個高矮互不相同的人站成兩排，后排每個人都高于站在他前面的同學的站法數為，由此能求出結果．【詳解】解：6個高矮互不相同的人站成兩排，后排每個人都高于站在他前面的同學的站法數為，故選：B【點睛】本題考查簡單的排列組合問題，屬于基礎題.11.設函數的導數為，且，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構造函數，通過求其導函數，結合題目給出，得到函數的單調性，然后在函數的解析式中分別取，1，，利用函數單調性即可得到結論.【詳解】構造輔助函數，令，則，∵，∴，∴函數為實數集上的減函數，則.∵，，，又，∴，∴，故選：B.【點睛】本題考查了利用導函數判斷原函數的單調性，考查了不等關系與不等式，訓練了函數構造法，解答此題的關鍵是結合選項的特點，正確構造出輔助函數，屬于中檔題.12.已知對，不等式恒成立，則的最大值是()A.1 B. C. D.【答案】C【解析】不等式可化為，則，所以當時，，即，所以，令，則令可得，故，即，應選答案C．點睛：解答本題的思路是將不等式可化為，然后再構造函數，并對其進行求導，求出函數的最小值為，即，然后求出目標函數的最大值為，即，所以求出的最大值是．二.填空題(本大題共4小題，共20分)13.已知，則______【答案】【解析】【分析】對原式兩邊同時求導，再令，即可求出結果.【詳解】對兩邊同時求導，得到，令，則.故答案為：.【點睛】本題主要考查導數的運算，以及求二項展開式中部分項的系數和，屬于常考題型.14.將名學生分配到個社區(qū)參加社會實踐活動，每個社區(qū)至少分配一人，則不同的分配方案有__________種．（用數字填寫答案）【答案】【解析】【分析】根據人數先進行分組，有3，1，1或2，2，1兩種情況，求出每一種的情況數目，結合分步計數原理，即可求解，【詳解】當一個社區(qū)3人其他社區(qū)各有1人時，方案有（種）；當一個社區(qū)1人其他社區(qū)各人時，方案有（種），故不同的分配方案共有種.【點睛】本題考查排列組合的應用，結合條件先分組，再分配，屬基礎題．15.把正整數按一定規(guī)律排成了如圖所示的三角形數表設是位于這個三角形數表中從上到下數第行、從左到右數第個數，如，若，則____【答案】68【解析】【分析】根據三角形數表的規(guī)律：第n行有n個數，假設2020是第n行最后一個數，根據等差數列的前n項和公式，則，然后對n賦值，得到2020所在的行，然后再得到上一行最后一個數，進而得到其所在的行第一個數，然后用等差數列的通項公式得到是第幾個數.【詳解】由三角形數表可得：第一行1個數，第二行2個數，第三行3個數，則第n行有n個數，假設2020是第n行最后一個數，則，當時，，當時，，所以2020在第64行，且第63行最后一個數為，則第64行第一個數為2017，所以，解得，所以.故答案為：68【點睛】本題主要考查等差數列的通項及前n項和公式，還考查了觀察分析求解問題的能力，屬于中檔題.16.已知且滿足1，則的最小值為_____.【答案】ln2【解析】【分析】將，分別看成函數與上任意一點，問題轉化為曲線上的動點與直線上的動點之間的最小值的平方問題.【詳解】因為，所以可將，分別看成函數與上任意一點，問題轉化為曲線上的動點與直線上的動點之間的最小值的平方問題，設是曲線的切點，因為故點M處的切斜的斜率，由題意可得，解得，也即當切線與已知直線平行時，此時切點到已知直線的距離最近，最近距離，也即.故答案為：ln2【點睛】本題考查導數的幾何意義、兩點間的距離公式、曲線的切線，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想、數形結合思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.三.解答題(本大題共6小題，17題10分其余每題12分，共70分)17.已知的展開式的二項式系數和比的展開式的二項式系數和大992，求的展開式中.（1）二項式系數最大的項，（2）系數的絕對值最大的項.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根據的展開式的二項式系數和比的展開式的二項式系數和大992，即可得到關于的方程：，求出，根據二項式系數的性質即可求出二項式系數最大的項（2）利用兩邊夾定理，設出第項為系數的絕對值最大的項，即可列出關于的不等式，即可求解【詳解】解：依題意可得，即，解得（1）的展開式中第6項的二項式系數最大（2）設第項的系數的絕對值最大所以故第4項的系數的絕對值最大，【點睛】本題通過賦值法求出，根據二項式系數的性質，同時利用兩邊夾定理進行求解，屬于中檔題．18.設均為正實數，反證法證明：至少有一個不小于2.【答案】證明見解析．【解析】分析】假設結論反面成立，即全部小于2.然后推理出矛盾結論．【詳解】證明：假設全部小于2.即，則，①又，當且僅當時等號成立，與①矛盾，所以假設錯誤．原命題為真．所以至少有一個不小于2.【點睛】本題考查反證法．掌握反證法這個方法是解題基礎．反證法是假設結論的反面成立，然后作為條件進行推理，得出矛盾的結論，可與已知條件矛盾，可能推理過程得出矛盾的結論，可與已知的定義、定理、公理等矛盾．從而說明假設錯誤，原命題正確．19.已知函數.（1）求函數的單調區(qū)間；（2）若恒成立，試確定實數的取值范圍.【答案】（1）函數的遞增區(qū)間為，函數的遞減區(qū)間為；（2）【解析】試題分析：（1）由已知得x＞1，，對ｋ分類討論，由此利用導數性質能求出函數f（x）的單調區(qū)間．（2）由得，即求的最大值．試題解析：解：（1）函數的定義域為，，當時，，函數的遞增區(qū)間為，當時，，當時，，當時，，所以函數遞增區(qū)間為，函數的遞減區(qū)間為.（2）由得，令，則，當時，，當時，，所以的最大值為，故.點睛：導數問題經常會遇見恒成立的問題：（1）根據參變分離，轉化為不含參數的函數的最值問題；（2）若就可討論參數不同取值下的函數的單調性和極值以及最值，最終轉化為，若恒成立，轉化為;（3）若恒成立，可轉化為.20.已知函數．（Ⅰ）求此函數的單調區(qū)間及最值；（Ⅱ）求證：對于任意正整數，均有1＋＋…＋≥（e為自然對數的底數）．【答案】（Ⅰ）當時，函數在上是減函數，在上是增函數，，無最大值;當時，函數在上是減函數，在上是增函數，，無最大值；（Ⅱ）見解析．【解析】試題分析：（Ⅰ）求導可得,分與分別求與的解集，從而得到其單調區(qū)間及受益人最值；（Ⅱ）（Ⅱ）由（Ⅰ）,取可得，所以有，令，代入不等式并相加可證結論成立.試題解析：（1）解：由題意．當時，函數的定義域為，此時函數在上是減函數，在上是增函數，，無最大值．當時，函數的定義域為，此時函數在上是減函數，在上是增函數，，無最大值．（2）取，由⑴知，故，取，則．考點：1．導數與函數的單調性、最值；2．函數與不等式．21.已知函數.（1）判斷極值點的個數；（2）若x>0時，恒成立，求實數的取值范圍【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）求導，根據導數與函數單調性及極值的關系，分別求得函數f（x）極值點的個數；（2）ex＞f（x），（x＞0），可化為（1﹣x）ex+ax﹣1＜0．設h（x）＝（1﹣x）ex+ax﹣1，（x＞0），則問題等價于當x＞0時，h（x）＜0．，根據函數h（x）的性質，分類討論，即可求得實數a的取值范圍．【詳解】（1）由f（x）a，得f'（x）．x≠0；設g（x）＝（x﹣1）ex+1，則g'（x）＝xex，當x∈（﹣∞，0）時，g'（x）＜0，所以g（x）在（﹣∞，0）上是減函數，當x∈（0，+∞）時，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上是增函數，所以g（x）≥g（0）＝0，所以，所以f（x）在定義域上是增函數，f（x）極值點個數為0．（2）ex＞f（x）（x＞0），可化為（1﹣x）ex+ax﹣1＜0．令h（x）＝（1﹣x）ex+ax﹣1，（x＞0），則問題等價于當x＞0時，h（x）＜0．∴h'（x）＝﹣xex+a，令m（x）＝﹣xex+a，則m（x）在（0，+∞）上是減函數．當a≤0時，m（x）<m（0）＝a≤0．所以h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上是減函數．所以h（x）＜h（0）＝0．②當a＞0時，m（0）＝a＞0，m（a）＝﹣aea+a＝a（1﹣ea）＜0，所以存在x0∈（0，a），使m（x0）＝0．當x∈（0，x0）時，m（x）＞0，h'（x）＞0，h（x）在（0，x0）上是增函數．因為h（0）＝0，所以當x∈（0，x0）時，h（x）＞0，不滿足題意．綜上所述，實數a的取值范圍是（﹣∞，0]．【點睛】本題考查導數的綜合應用，考查導數與函數單調性及極值的關