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第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)習(xí):一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則由復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)
乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。整理課件一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
——鏈?zhǔn)椒▌t情形Ⅰ
中間變量均為一元函數(shù)設(shè)則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)這種導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù)整理課件則推廣:的導(dǎo)數(shù)整理課件例1.設(shè)
求全導(dǎo)數(shù)解:則
設(shè)的導(dǎo)數(shù)整理課件情形Ⅱ中間變量是多元函數(shù)的情形.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束
設(shè)則復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)整理課件設(shè)
則的偏導(dǎo)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束推廣:整理課件例2.設(shè)解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)則的偏導(dǎo)數(shù)整理課件常采用下面記號(hào):在多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中,為方便起見(jiàn),整理課件解注意:例3設(shè),其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求:.設(shè)則的偏導(dǎo)數(shù)整理課件∵f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),
∴整理課件解例4設(shè),其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求:整理課件例4設(shè)求:∵f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),∴整理課件情形Ⅲ
中間變量既有一元函數(shù),又有多元函數(shù)。則函數(shù)
設(shè)zuvwxyxy整理課件解:zuvwxyxy例5.設(shè)
求整理課件例5
求設(shè)另解:題設(shè)函數(shù)可看作由復(fù)合而成,利用情形Ⅱ中的公式可得同樣結(jié)果或者先式兩邊取對(duì)數(shù),后求得偏導(dǎo)數(shù)整理課件多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),遵循一個(gè)如下法則:設(shè)復(fù)合函數(shù)有n個(gè)中間變量這里變化率即為偏導(dǎo)數(shù)(或?qū)?shù))[(因變量對(duì)的變化率)×(對(duì)自變量變化率)]則復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的變化率等于m個(gè)自變量整理課件。例如設(shè),而,則再如,注意:這里表示固定
y對(duì)x
求導(dǎo),表示固定
v對(duì)x求導(dǎo)與不同,整理課件例6.設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束求解:整理課件機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.設(shè)求解:整理課件二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分法則(1)設(shè)則(2)設(shè),而則可證可見(jiàn)無(wú)論
u,v是自變量還是中間變量,其全微分表達(dá)形式都一樣,這一性質(zhì)叫做全微分形式不變性。1.全微分形式不變性整理課件設(shè)u,v是某些自變量的多元函數(shù),則有(C為常數(shù));證明(3),由全微分形式不變性,有2.全微分運(yùn)算法則整理課件例8.設(shè),求一階偏導(dǎo)數(shù).解:即整理課件設(shè)例9.解:即求全微分。整理課件習(xí)題P75~763,5,6(提示),8(1)(4),9,11.整理課件思考與練習(xí)1.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束求解:整理課件2.設(shè)
f
具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:令則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束整理課件3.已知求解:由兩邊對(duì)
x
求導(dǎo),得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束整理課件4.
求在點(diǎn)處可微,且設(shè)函數(shù)解:由題設(shè)(2001考研)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)
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