2005年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題及解析

2005年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題及解析一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）（1）曲線的斜漸近線方程為?！痉治觥勘绢}屬基本題型，考查斜漸近線的概念和計算公式。直接用斜漸近線方程公式進行計算即可。這【詳解】因為，，，而，于是所求斜漸近線只有一條方程為（2）微分方程滿足的解為。【分析】本題考查一階線性微分方程的初值問題。直接套用一階線性微分方程公式：的通解，再由初始條件確定任意常數(shù)即可.【詳解】原方程等價于，于是通解為，由得。故所求解為（3）設函數(shù)，單位向量，則?！痉治觥勘绢}主要考查方向?qū)?shù)的計算公式。函數(shù)沿向量的方向?qū)?shù)為：【詳解】因為，，，于是所求方向?qū)?shù)為=（4）設是由錐面?zhèn)?，則與半球面圍成的空間區(qū)域，是的整個邊界的外.【分析】考查高斯公式和三重積分計算。本題是封閉曲面且取外側(cè)，自然想到用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分進行計算?！驹斀狻浚?）設均為3維列向量，記矩陣，，如果，那么?！痉治觥勘绢}的矩陣的列向量組可由矩陣的列向量組線性表示，只要將寫成用右乘另一矩陣的形式，就可用方陣相乘的行列式性質(zhì)進行計算，也可以利用行列式的性質(zhì)完成。【詳解】法一：由題設知：=，于是有法二：利用行列式的性質(zhì)計算。評注：一般地，若，，，則有（6）從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為X,再從中任取一個數(shù)，記為Y,則?！痉治觥靠疾殡x散型隨機變量的分布及全概率公式。本題涉及到兩次隨機試驗，想到用全概率公式,且第一次試驗的各種兩兩互不相容的結(jié)果即為完備事件組或樣本空間的劃分.【詳解】=++=+二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）（7）設函數(shù)，則在內(nèi)(A)處處可導.(B)恰有一個不可導點.(C)恰有兩個不可導點.(D)至少有三個不可導點.【分析】本題綜合考查了數(shù)列極限和導數(shù)概念兩個知識點。這是極限函數(shù)，應首先去掉極限號先，求出的表達式，再討論其可導情況.【詳解】當時，；當當時，時，；即可見是偶函數(shù)，從而僅討論，所以在時可導性就可以。由于，在不可導，從而在不可導。故應選(C).（8）設是連續(xù)函數(shù)的一個原函數(shù)，表示“M的充分必要條件是N”，則必有是偶函數(shù)是奇函數(shù).(A)（B）(C)是奇函數(shù)是周期函數(shù)是單調(diào)函數(shù)是偶函數(shù).是周期函數(shù).是單調(diào)函數(shù)(D)【分析】本題考查奇偶函數(shù)和周期函數(shù)的概念、原函數(shù)的概念、導數(shù)的定義、變限函數(shù)的概念及定積分換元積分法等。本題可直接推證，也可以通過反例用排除法找到答案。【詳解】方法一：任一原函數(shù)可表示為，且當為偶函數(shù)時，有，可見，于是，即，也即為奇函數(shù)；反過來，若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，從而為偶函數(shù)，可見(A)為正確選項.方法二：令令,則取,排除(B)；，則取，排除（C）；令,則取,排除(D)。故應選(A).評注：關于函數(shù)我們有下列結(jié)論：⑴可導周期函數(shù)的導函數(shù)是周期函數(shù)；⑵連續(xù)周期函數(shù)的原函數(shù)不一定是周期函數(shù)；⑶可導奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)；⑷可導偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)；⑸連續(xù)奇函數(shù)的原函數(shù)是偶函數(shù)；⑹連續(xù)偶函數(shù)的原函數(shù)不一定是奇函數(shù)。（9）設函數(shù)有,其中函數(shù)具有二階導數(shù)，具有一階導數(shù)，則必(A)(C).（B）..(D).【分析】本題綜合考查了復合函數(shù)求偏導和變限函數(shù)求導的計算。分別求出、、，比較答案即可.【詳解】因為，，于是，，，可見有，故應選(B).（10）設有三元方程該方程，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點的一個鄰域，在此鄰域內(nèi)(A)只能確定一個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)(B)可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)(C)可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)(D)可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)【分析】本題考查隱函數(shù)存在定理。只需令和和和,分別求出三個偏導數(shù)，再考慮在點(0,1,1)處哪個偏導數(shù)不為0，則可確定相應的隱函數(shù).【詳解】令則，，，且，，.由此可確定相應的隱函數(shù)和。故應選(D)（11）設是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為，則，線性無關的充分必要條件是(A)(B)(C)(D)【分析】本題綜合考查了特征值、特征向量和線性相關與線性無關的概念。討論一組抽象向量的線性無關性，可用線性無關性的定義或轉(zhuǎn)化為求向量組的秩?！驹斀狻糠椒ㄒ唬毫睿瑒t，.由于線性無關，于是有當時，顯然有，此時，線性無關；反過來，若，線性相關)，故應選(B