第6講-期望效用和隨機占優(yōu)

第六講vonNeumann-Morgenstern期望效用函數(shù)

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6.1“圣彼德堡悖論”的討論5概率論的早期歷史JacobBernoulli(1654-1705)1713年發(fā)表《猜度術(shù)(ArsConjectandi)》。這是當(dāng)時最重要、最有原創(chuàng)性的概率論著作。由此引起所謂“圣彼德堡悖論”問題。6“圣彼德堡悖論”問題有這樣一場賭博：第一次贏得1元，第一次輸?shù)诙乌A得2元，前兩次輸?shù)谌乌A得4元，……一般情形為前n-1次輸，第n次贏得元。問：應(yīng)先付多少錢，才能使這場賭博是“公平”的？如果用數(shù)學(xué)期望來定價，答案將是無窮！78“圣彼德堡悖論”的金融學(xué)含義“倍賭策略”是一種“套利策略”。在一個有等價概率鞅測度的“二叉樹”“存貸－賭博”市場上，采用“倍賭策略”，如果允許無限借貸和無限次賭博，那么其“贏錢概率”為1。它可以作為某些股票在一定時期內(nèi)會“瘋漲”的理由。9“圣彼德堡悖論”1738年發(fā)表《對機遇性賭博的分析》提出解決“圣彼德堡悖論”的“風(fēng)險度量新理論”。指出用“錢的數(shù)學(xué)期望”來作為決策函數(shù)不妥。應(yīng)該用“錢的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望”。DanielBernoulli（1700-1782)10116.2vonNeumann--Morgenstern

期望效用函數(shù)的公理化陳述1213期望效用函數(shù)

1944年在巨著《對策論與經(jīng)濟行為》中用數(shù)學(xué)公理化方法提出期望效用函數(shù)。這是經(jīng)濟學(xué)中首次嚴格定義風(fēng)險。JohnvonNeumann(1903-1957)OskarMorgenstern(1902-1977)14用期望效用函數(shù)來刻劃風(fēng)險所謂期望效用函數(shù)是定義在一個隨機變量集合上的函數(shù)，它在一個隨機變量上的取值等于它作為數(shù)值函數(shù)在該隨機變量上取值的數(shù)學(xué)期望。用它來判斷有風(fēng)險的利益，那就是比較“錢的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望”。假定(x,y,p)表示以概率p獲得x,以概率(1-p)獲得y的機會，那么其期望效用函數(shù)值為u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y).15一個簡化的公理體系公理1“不確定利益”是隨機變量所構(gòu)成的一個集合

L，并且對于任何兩個“不確定利益”x,y來說，“以概率p獲得x,以概率1-p獲得y”也是“不確定利益”。這一“不確定利益”可稱為x以概率p與y的“平均”，并記為(x,y;p).公理2任何兩個“不確定利益”都可比較好壞。公理3“不確定利益”中有一個最好的以及一個最差的。16一個簡化的公理體系(續(xù))公理4如果有三個“不確定利益”一個比一個好，那么處于中間的“不確定利益”相當(dāng)于另外兩個“不確定利益”的對某個概率的“平均”。反之，兩個“不確定利益”的對某個概率的“平均”的好壞必處于兩者之間。假定b“最好”，w“最壞”。那么任何x一定相當(dāng)于b關(guān)于概率p與w的“平均”。取u(x)=p,即得所求期望效用函數(shù)。1718192021222324期望效用函數(shù)的爭論期望效用函數(shù)似乎是相當(dāng)人為、相當(dāng)主觀的概念。一開始就受到許多批評。其中最著名的是“Allais悖論”(1953)。由此引起許多非期望效用函數(shù)的研究，涉及許多古怪的數(shù)學(xué)。但都不很成功。MauriceAllais(1911-)1986年諾貝爾經(jīng)濟獎獲得者。256.3Allais悖論和

Kahneman-Tversky

的研究262728293031Kahneman-Tversky理論DanielKahneman,(1934-)2002年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者Kahneman

與

AmosTversky,(1937-1996)兩位心理學(xué)家于1979年發(fā)表的論文“展望理論(ProspectTheory)”已成為《計量經(jīng)濟學(xué)(Econometrica)》有史以來被引證最多的經(jīng)典。他們企圖改變期望效用函數(shù)理論框架。32Kahneman

諾貝爾演說的問題問題1.假設(shè)有一場這樣的賭博：你贏150元的概率是50%,而你輸100元的概率也是50%.你能接受這樣的賭博嗎？如果你身邊的錢少于100元，你是否會改變你的決定？調(diào)查結(jié)果是：除非把所贏的錢提高到200元以上，絕大多數(shù)的人都不接受這樣的賭博，只有少數(shù)人接受這樣的賭博。但對于后一種情況，所有人都不接受。

33Kahneman

諾貝爾演說的問題問題2.現(xiàn)在有這樣兩種情況：一種情況是肯定損失100元；另一種情況是參加這樣的賭博：你贏50元的概率是50%,而你輸200元的概率也是50%.對于這樣的兩種情況你選擇哪一種？如果你身邊的錢多于100元，你是否會改變你的決定？調(diào)查結(jié)果是絕大多數(shù)的人選擇賭博，即使身邊有多于100元的錢也并沒有多大影響。34353637383940416.4Arrow--Pratt

風(fēng)險厭惡度量42有風(fēng)險與無風(fēng)險之間的比較機會(x,y,p)與肯定得到px+(1-p)y之間的利益比較就是比較u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y)與u(px+(1-p)y)

之間的大小。如果它們相等，表示對風(fēng)險中性(不在乎)；一般取<，表示對風(fēng)險厭惡。取>表示對風(fēng)險愛好。

把u理解為“定價”，這就是“非線性定價”與“P-F線性定價”之間的比較。4344Arrow-Pratt

風(fēng)險厭惡度量這就歸結(jié)為函數(shù)u的凸性的比較。它的程度可用–u’’/u’