2018數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題五解析幾何第3講圓錐曲線的綜合問題課時規(guī)范練文

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE15學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第3講圓錐曲線的綜合問題一、選擇題1．已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦點，點P在橢圓上運動，則eq\o(PF1，\s\up13(→）)·eq\o(PF2，\s\up13（→))的最大值是(）A．－2 B．1C．2 D．4解析：設(shè)P(x,y)，依題意得點F1(－eq\r(3)，0），F(xiàn)2(eq\r（3），0)，eq\o(PF1,\s\up13(→））·eq\o(PF2，\s\up13(→))＝(－eq\r(3）－x）（eq\r（3）－x）＋y2＝x2＋y2－3＝eq\f（3，4）x2－2，因為－2≤x≤2，所以－2≤eq\f（3，4）x2－2≤1,因此eq\o（PF1,\s\up13(→）)·eq\o(PF2,\s\up13(→))的最大值是1.答案：B2．(2017·沈陽二模）若點P為拋物線y＝2x2上的動點,F為拋物線的焦點,則|PF|的最小值為（)A．2 B。eq\f(1,2)C。eq\f(1,4） D.eq\f(1,8）解析：根據(jù)題意，點P在拋物線y＝2x2上，設(shè)P到準線的距離為d,則有｜PF｜＝d，拋物線的方程為y＝2x2，即x2＝eq\f（1，2）y，其準線方程為y＝－eq\f(1,8）,所以當點P在拋物線的頂點時，d有最小值eq\f(1，8)，即|PF|min＝eq\f(1，8）.答案：D3．（2017·北京西城區(qū)調(diào)研)過拋物線y2＝4eq\r（3）x的焦點的直線l與雙曲線C：eq\f（x2,2)－y2＝1的兩個交點分別為（x1，y1)，（x2,y2），若x1·x2＞0，則k的取值范圍是（)(導(dǎo)學(xué)號55410132)A。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(1，2)，\f(1，2)))B。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1，2）))∪eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)，＋∞))C。eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(\r（2),2）,\f（\r(2)，2）))D。eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞,－\f(\r（2），2))）∪eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r（2），2),＋∞））解析：易知雙曲線兩漸近線y＝±eq\f(\r(2)，2)x，當k＞eq\f（\r（2)，2)或k＜－eq\f（\r（2），2）時，l與雙曲線的右支有兩個交點，滿足x1x2＞0.答案:D4．(2017·全國卷Ⅰ改編）橢圓C：eq\f(x2,3)＋eq\f（y2,m)＝1的焦點在x軸上，點A，B是長軸的兩端點,若曲線C上存在點M滿足∠AMB＝120°，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．(3，＋∞) B．[1，3)C．（0，eq\r(3）） D．（0,1]解析:依題意，當0＜m＜3時，焦距在x軸上,要在曲線C上存在點M滿足∠AMB＝120°,則eq\f（a，b)≥tan60°,即eq\f（\r(3），\r(m))≥eq\r（3）.解得0＜m≤1.答案：D5．在直線y＝－2上任取一點Q，過Q作拋物線x2＝4y的切線，切點分別為A,B，則直線AB恒過的點的坐標為（)A．（0,1) B．（0，2)C．（2，0) D．（1,0）解析：設(shè)Q(t，－2)，A(x1,y1），B(x2，y2)，拋物線方程變?yōu)閥＝eq\f(1，4）x2，則y′＝eq\f（1，2）x，則在點A處的切線方程為y－y1＝eq\f（1,2)x1(x－x1），化簡得y＝－eq\f(1,2)x1x－y1,同理，在點B處的切線方程為y＝－eq\f(1,2）x2x－y2，又點Q（t，－2）的坐標適合這兩個方程,代入得－2＝－eq\f（1,2）x1t－y1,－2＝－eq\f(1,2）x2t－y2，這說明A(x1,y1)，B(x2，y2)都滿足方程－2＝－eq\f(1，2）xt－y，則直線AB的方程為y－2＝－eq\f（1,2)tx，直線AB恒過點（0，2）．答案：B二、填空題6．設(shè)雙曲線C:eq\f(x2，a2）－eq\f(y2,b2）＝1（a＞0,b＞0）的一條漸近線與拋物線y2＝x的一個交點的橫坐標為x0,若x0＞1，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是________．解析：雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f（y2，b2)＝1的一條漸近線為y＝eq\f（b,a）x，聯(lián)立eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(y2＝x，,y＝\f（b，a）x)）消去y，得eq\f(b2，a2）x2＝x。由x0＞1，知eq\f(b2，a2)＜1，b2＜a2.所以e2＝eq\f（c2,a2）＝eq\f（a2＋b2,a2)＜2，因此1＜e＜eq\r（2）.答案：（1，eq\r（2））7．已知拋物線C：x2＝8y的焦點為F，動點Q在C上，圓Q的半徑為1，過點F的直線與圓Q切于點P，則eq\o（FP,\s\up13（→）)·eq\o(FQ，\s\up13（→）)的最小值為________．解析:如圖，eq\o(FP，\s\up13（→)）·eq\o(FQ,\s\up13（→)）＝｜eq\o(FP，\s\up13(→））｜2＝|eq\o（FQ,\s\up13（→））｜2－1.由拋物線的定義知：|eq\o(FQ，\s\up13（→)）｜＝d（d為點Q到準線的距離），易知，拋物線的頂點到準線的距離最短，所以|eq\o（FQ,\s\up13(→)）|min＝2，所以eq\o（FP，\s\up13（→））·eq\o（FQ,\s\up13(→）)的最小值為3.答案:38．(2017·濟南模擬)已知拋物線y2＝4x,過焦點F的直線與拋物線交于A,B兩點，過A，B分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為C,D,則｜AC|＋｜BD｜的最小值為________．解析：不妨設(shè)A（x1，y1）（y1＞0）,B（x2，y2)(y2＜0)．則|AC｜＋|BD｜＝x2＋y1＝eq\f（yeq\o\al(2，2），4)＋y1.又y1y2＝－p2＝－4.所以｜AC｜＋｜BD|＝eq\f（yeq\o\al(2，2),4）－eq\f（4，y2）(y2＜0)．利用導(dǎo)數(shù)易知y＝eq\f(yeq\o\al(2，2），4)－eq\f（4,y2)在(－∞，－2）上遞減，在(－2，0)上遞增．所以當y2＝－2時，|AC｜＋|BD|的最小值為3。答案：3三、解答題9．(2017·西安調(diào)研）已知橢圓E：eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2，b2）＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f（\r（3）,2)，點Peq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1，\f（\r(3)，2)）)在橢圓E上．(1)求橢圓E的方程；(2)過點P且斜率為k的直線l交橢圓E于點Q（xQ，yQ)(點Q異于點P)，若0＜xQ＜1，求直線l斜率k的取值范圍．解:(1)由題意得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（\f（c,a）＝\f(\r（3)，2），,\f(1,a2)＋\f(3,4b2)＝1,,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1,，c＝\r（3),）)故橢圓E的方程為eq\f(x2，4)＋y2＝1.（2）設(shè)直線l的方程為y－eq\f（\r（3)，2)＝k(x－1),代入方程eq\f(x2，4)＋y2＝1，消去y，得（1＋4k2）x2＋（4eq\r(3）k－8k2)x＋(4k2－4eq\r(3）k－1）＝0,所以xQ·1＝eq\f(4k2－4\r(3)k－1,1＋4k2）.因為0＜xQ＜1，所以0＜eq\f(4k2－4\r(3）k－1，1＋4k2)＜1，即eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(\f(4k2－4\r(3)k－1，1＋4k2）＞0，,\f(4k2－4\r(3）k－1,1＋4k2)＜1.))解得－eq\f(\r(3),6)＜k＜eq\f(\r(3）－2，2)或k＞eq\f（\r(3)＋2，2)，經(jīng)檢驗，滿足題意．所以直線l斜率k的取值范圍是－eq\f(\r(3），6)＜k＜eq\f（\r（3）－2,2)或k＞eq\f（\r(3）＋2,2）.10．(2017·新鄉(xiāng)三模)已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點為F，直線2x－y＋2＝0交拋物線C于A，B兩點，P是線段AB的中點,過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q。（導(dǎo)學(xué)號55410133）(1）D是拋物線C上的動點,點E(－1，3），若直線AB過焦點F，求|DF|＋|DE｜的最小值;(2）是否存在實數(shù)p，使|2eq\o(QA，\s\up13（→）)＋eq\o(QB,\s\up13(→)）｜＝｜2eq\o(QA，\s\up13（→))－eq\o(QB，\s\up13(→)）|？若存在，求出p的值;若不存在，說明理由．解：（1)因為直線2x－y＋2＝0與y軸的交點為(0，2），所以F（0，2），則拋物線C的方程為x2＝8y，準線l：y＝－2。設(shè)過D作DG⊥l于G,則｜DF|＋｜DE|＝|DG｜＋｜DE｜，當E，D,G三點共線時，|DF|＋｜DE|取最小值為2＋3＝5。(2）假設(shè)存在實數(shù)p,滿足條件等式成立．聯(lián)立x2＝2py與2x－y＋2＝0，消去y,得x2－4px－4p＝0。設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2)，則x1＋x2＝4p，x1x2＝－4p，所以Q(2p,2p)．因為｜2eq\o(QA,\s\up13(→）)＋eq\o（QB,\s\up13（→))|＝｜2eq\o(QA,\s\up13(→)）－eq\o（QB,\s\up13(→)）|，所以QA⊥QB，則eq\o(QA，\s\up13（→)）·eq\o（QB,\s\up13（→））＝0.因此(x1－2p）(x2－2p）＋（y1－2p）（y2－2p)＝0.（x1－2p)（x2－2p）＋(2x1＋2－2p）·(2x2＋2－2p)＝0,5x1x2＋(4－6p）（x1＋x2）＋8p2－8p＋4＝0，把x1＋x2＝4p，x1x2＝－4p代入得4p2＋3p－1＝0，解得p＝eq\f(1，4）或p＝－1(舍去)．因此存在實數(shù)p＝eq\f(1,4),使得｜2eq\o（QA，\s\up13（→))＋eq\o(QB，\s\up13(→)）|＝|2eq\o（QA，\s\up13(→)）－eq\o(QB，\s\up13(→））|成立．11．(2017·唐山一模)已知橢圓C:eq\f(x2，a2)＋eq\f（y2，b2）＝1（a＞b＞0)的離心率為eq\f（\r（2）,2），點Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，\f(a，b))）在橢圓上,O為坐標原點．(1）求橢圓C的方程；（2)已知點P,M，N為橢圓C上的三點，若四邊形OPMN為平行四邊形，證明四邊形OPMN的面積S為定值,并求該定值．解：（1)因為橢圓eq\f（x2，a2)＋eq\f（y2,b2）＝1(a＞b＞0）的離心率為eq\f（\r（2），2)，所以e2＝eq\f（c2，a2）＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1，2），得a2＝2b2,①又點Qeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，\f（a，b）））在橢圓C上，所以eq\f（b2，a2）＋eq\f(a2，b4）＝1，②聯(lián)立①、②得a2＝8，且b2＝4.所以橢圓C的方程為eq\f（x2,8）＋eq\f(y2，4）＝1。(2)當直線PN的斜率k不存在時，PN的方程為x＝eq\r(2)或x＝－eq\r（2），從而有｜PN|＝2eq\r(3），S＝eq\f(1，2）|PN|·|OM｜＝eq\f(1，2）×2eq\r(3）×2eq\r（2）＝2eq\r(6）；當直線PN的斜率k存在時，設(shè)直線PN的方程為y＝kx＋m（m≠0),P（x1，y1），N(x2，y2）；將PN的方程代入C整理得(1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2所以x1＋x2＝eq\f(－4km,1＋2k2）,x1·x2＝eq\f(2m2－8，1＋2k2)，y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2m＝eq\f(2m，1＋2k2).由eq\o(OM,\s\up13（→））＝eq\o（OP,\s\up13(→））＋eq\o(ON,\s\up13（→))，得Meq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(－4km，1＋2k2),\f（2m,1＋2k2）)）。將M點坐標代入橢圓C方程得m2＝1＋2k2。又點O到直線PN的距離為d＝eq\f(|m｜,\r（1＋k2)）,｜PN｜＝eq\r（1＋k2)|x1－x2|，S＝d·｜PN｜＝｜m|·｜x1－x2|＝eq\r（1＋2k2)·｜x1－x2｜＝eq\r(16k2－8m2＋32)＝2eq\r(6）.綜上可知,平行四邊形OPMN的面積S為定值2eq\r（6).[典例］(本小題滿分12分）設(shè)圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E。(1)證明|EA|＋｜EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；(2）設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍．規(guī)范解答：(1）因為｜AD｜＝｜AC|，EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC,所以｜EB|＝|ED|,故｜EA｜＋｜EB｜＝|EA|＋｜ED|＝|AD|.又圓A的標準方程為（x＋1)2＋y2＝16,從而圓心A（－1，0)，｜AD|＝4。所以｜EA|＋|EB|＝4.（2分)又因為B（1,0)，所以|AB|＝2,由橢圓定義可得點E的軌跡方程為eq\f（x2,4）＋eq\f(y2,3）＝1(y≠0）．(4分)(2)解：當l與x軸不垂直時,設(shè)l的方程為y＝k（x－1)（k≠0)，M(x1,y1），N（x2，y2）．由eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,\f(x2，4)＋\f（y2，3）＝1))得(4k2＋3）x2－8k2x＋4k2－12＝0，則x1＋x2＝eq\f（8k2,4k2＋3），x1x2＝eq\f(4k2－12，4k2＋3)，所以|MN｜＝eq\r(1＋k2)｜x1－x2｜＝eq\f(12（k2＋1）,4k2＋3)。（6分）過點B(1，0)且與l垂直的直線m：y＝－eq\f（1，k）（x－1），點A到直線m的距離為eq\f(2,\r（k2＋1)），所以｜PQ｜＝2eq\r(42－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(k2＋1）)）)\s\up12(2）)＝4eq\r（\f（4k2＋3，k2＋1）).(8分)故四邊形MPNQ的面積S＝eq\f（1，2)｜MN｜｜PQ|＝12eq\r(1＋\f(1,4k2＋3）)。（9分）可得當l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12，8eq\r（3))．(10分）當l與x軸垂直時，其方程為x＝1，｜MN|＝3，|PQ｜＝8，故四邊形MPNQ的面積為12.綜上可知，四邊形MPNQ面積的取值范圍為［12，8eq\r(3））．（12分)1．正確使用圓錐曲線的定義：牢記圓錐曲線的定義，能根據(jù)圓錐曲線定義判斷曲線類型,如本題第（1)問就涉及橢圓的定義．2．注意分類討論：當用點斜式表示直線方程時，應(yīng)分直線的斜率存在和不存在兩種情況求解,易出現(xiàn)忽略斜率不存在的情況，導(dǎo)致扣分，如本題第（2）問中的得分10分，導(dǎo)致失2分.3．寫全得分關(guān)鍵：在解析幾何類解答題中,直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立后得到的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程得到的兩根之和與兩根之積、弦長、目標函數(shù)等一些關(guān)鍵式子和結(jié)果都是得分點，在解答時一定要寫清楚．解題程序第一步：利用條件與幾何性質(zhì)，求|EA｜＋|EB｜＝4.第二步：由定義,求點E的軌跡方程eq\f（x2，4）＋eq\f（y2，3)＝1（y≠0)．第三步：聯(lián)立方程，用斜率k表示｜MN|.第四步：用k表示出｜PQ｜，并得出四邊形的面積．第五步：結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，求出當k存在時S的取值范圍．第六步：求出斜率不存在時面積S的值，正確得出結(jié)論．［跟蹤訓(xùn)練］（2017·郴州三模）已知拋物線E：y2＝8x，圓M：(x－2）2＋y2＝4，點N為拋物線E上