2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷

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例1已知橢圓C：+=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)，離心率為，直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線l交y軸于點(diǎn)M，且=λ，=μ，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，探求λ+μ的值是否為定值?若是，求出λ+μ的值;否那么，請(qǐng)說(shuō)明理由.

破題切入點(diǎn)(1)待定系數(shù)法.

(2)通過(guò)直線的斜率為參數(shù)建立直線方程，代入橢圓方程消y后可得點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)的關(guān)系式，然后根據(jù)向量關(guān)系式=λ，=μ.把λ，μ用點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)表示出來(lái)，只要證明λ+μ的值與直線的斜率k無(wú)關(guān)即證領(lǐng)略其為定值，否那么就不是定值.

解(1)依題意得b=，e==，a2=b2+c2，

∴a=2，c=1，∴橢圓C的方程為+=1.

(2)因直線l與y軸相交于點(diǎn)M，故斜率存在，

又F坐標(biāo)為(1,0)，設(shè)直線l方程為

y=k(x-1)，求得l與y軸交于M(0，-k)，

設(shè)l交橢圓A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由

消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，

∴x1+x2=，x1x2=，

又由=λ，∴(x1，y1+k)=λ(1-x1，-y1)，

∴λ=，同理μ=，

∴λ+μ=+=

所以當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，直線λ+μ的值為定值-.

題型二定直線問(wèn)題

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)定點(diǎn)C(0，p)作直線與拋物線x2=2py(p>0)相交于A，B兩點(diǎn).

(1)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求△ANB面積的最小值;

(2)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值?若存在，求出l的方程;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

破題切入點(diǎn)假設(shè)符合條件的直線存在，求出弦長(zhǎng)，利用變量的系數(shù)恒為零求解.

解方法一(1)依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(0，-p)，

可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直線AB的方程為y=kx+p，

與x2=2py聯(lián)立得

消去y得x2-2pkx-2p2=0.

由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2pk，x1x2=-2p2.

于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=·2p|x1-x2|

=p|x1-x2|=p

=p=2p2，

∴當(dāng)k=0時(shí)，(S△ABN)min=2p2.

(2)假設(shè)得志條件的直線l存在，其方程為y=a，

AC的中點(diǎn)為O′，l與以AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P，Q，PQ的中點(diǎn)為H，

那么O′H⊥PQ，Q′點(diǎn)的坐標(biāo)為(，).

∵O′P=AC==，

O′H==|2a-y1-p|，

∴PH2=O′P2-O′H2

=(y+p2)-(2a-y1-p)2

=(a-)y1+a(p-a)，

∴PQ2=(2PH)2=4[(a-)y1+a(p-a)].

令a-=0，得a=，

此時(shí)PQ=p為定值，故得志條件的直線l存在，

其方程為y=，即拋物線的通徑所在的直線.

方法二(1)前同方法一，再由弦長(zhǎng)公式得

AB=|x1-x2|

=·

=·

=2p·，

又由點(diǎn)到直線的距離公式得d=.

從而S△ABN=·d·AB

=·2p··

=2p2.

∴當(dāng)k=0時(shí)，(S△ABN)min=2p2.

(2)假設(shè)得志條件的直線l存在，其方程為y=a，

那么以AC為直徑的圓的方程為

(x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0，

將直線方程y=a代入得x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0，

那么Δ=x-4(a-p)(a-y1)

=4[(a-)y1+a(p-