空間幾何體的表面積和體積球、柱、錐、臺的表面積和體積的計算公式及其應(yīng)用

空間幾何體的外表積和體積球、柱、錐、臺的外表積和體積的計算公式及其應(yīng)用

二.課標要求：了解球、棱柱、棱錐、臺的外表積和體積的計算公式。

三.命題走向近些年來在高考中不僅有直接求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問題，也有面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問題。即使考查空間線面的位置關(guān)系問題，也常以幾何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時也要學(xué)會運用等價轉(zhuǎn)化思想，會把組合體求積問題轉(zhuǎn)化為根本幾何體的求積問題，會用體積轉(zhuǎn)化求解問題，會把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，會運用“割補法〞等求解。由于本講公式多反映在考題上，預(yù)測2021年高考有以下特色：〔1〕用選擇、填空題考查本章的根本性質(zhì)和求積公式；〔2〕考題可能為：與多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積、體積有關(guān)的計算問題；與多面體和旋轉(zhuǎn)體中某些元素有關(guān)的計算問題；

［教學(xué)過程］〔一〕根本知識要點回憶1.多面體的面積和體積公式名稱側(cè)面積〔S側(cè)〕全面積〔S全〕體積〔V〕棱柱棱柱直截面周長×lS側(cè)+2S底S底·h=S直截面·h直棱柱ChS底·h棱錐棱錐各側(cè)面面積之和S側(cè)+S底S底·h正棱錐ch′棱臺棱臺各側(cè)面面積之和S側(cè)+S上底+S下底h〔S上底+S下底+〕正棱臺

〔c+c′〕h′表中S表示面積，c′、c分別表示上、下底面周長，h表示高，h′表示斜高，l表示側(cè)棱長。2.旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式名稱圓柱圓錐圓臺球S側(cè)2πrlπrlπ〔r1+r2〕l

S全2πr〔l+r〕Πr〔l+r〕π〔r1+r2〕l+π〔r21+r22〕4πR2Vπr2h〔即πr2l〕πr2hπh〔r21+r1r2+r22〕πR3表中l(wèi)、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，r1、r2分別表示圓臺上、下底面半徑，R表示半徑。

【典型例題】例1.一個長方體全面積是20cm2，所有棱長的和是24cm，求長方體的對角線長.解：設(shè)長方體的長、寬、高、對角線長分別為xcm、ycm、zcm、lcm依題意得：

由〔2〕2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36〔3〕由〔3〕－〔1〕得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4〔cm〕。點評：涉及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長方體的外表積多被考查。我們平常的學(xué)習(xí)中要多建立一些重要的幾何要素〔對角線、內(nèi)切〕與面積、體積之間的關(guān)系。

例2.如下圖，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。〔1〕求證：頂點A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分線上；〔2〕求這個平行六面體的體積。解：〔1〕如圖，連結(jié)A1O，那么A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，連結(jié)A1M，A1N。由線面垂直得A1M⊥AB，A1N⊥AD?！摺螦1AM=∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA，∴A1M=A1N，從而OM=ON。∴點O在∠BAD的平分線上?！?〕∵AM=AA1cos=3×=∴AO==。又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12–AO2=9－=，∴A1O=，平行六面體的體積為。點評：垂直問題的證明和柱體的體積公式的應(yīng)用。

例3.〔2000全國，3〕一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是，這個長方體對角線的長是〔

〕A.2

B.3

C.6

D.解：設(shè)長方體共一頂點的三邊長分別為a=1，b＝，c＝，那么對角線l的長為l=；答案D。點評：解題思路是將三個面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的幾何要素—棱長。

例4.如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，假設(shè)E、F分別為AB、AC的中點，平面EB1C1將三棱柱分成體積為V1、V2的兩局部，那么V1∶V2=____

_。解：設(shè)三棱柱的高為h，上下底的面積為S，體積為V，那么V=V1+V2＝Sh。∵E、F分別為AB、AC的中點，∴S△AEF=S，V1=h〔S+S+〕=ShV2=Sh-V1=Sh，∴V1∶V2=7∶5。點評：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積的幾何元素之間的對應(yīng)關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可。

例5.〔2002京皖春文，19〕在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5?！踩鐖D所示〕〔Ⅰ〕證明：SC⊥BC；〔Ⅱ〕求三棱錐的體積VS－ABC。解析：〔Ⅰ〕證明：∵∠SAB=∠SAC=90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC。又AB∩AC=A，∴SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC。由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，∴BC⊥平面ASC，得BC⊥SC?！并颉辰猓涸赗t△SAC中，∵SA=，S△ABC=·AC·BC=×5×5=，∴VS－ABC=·S△ACB·SA=。點評：此題比擬全面地考查了空間點、線、面的位置關(guān)系。要求對圖形必須具備一定的洞察力，并進行一定的邏輯推理。

例6.ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求點B到平面EFC的距離？解：如圖，取EF的中點O，連接GB、GO、CD、FB構(gòu)造三棱錐B－EFG。設(shè)點B到平面EFG的距離為h，BD＝，EF，CO＝。

。而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。由，得·GC點評：該問題主要的求解思路是將點面的距離問題轉(zhuǎn)化為體積問題來求解。構(gòu)造以點B為頂點，△EFG為底面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵，利用同一個三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類題的方法，從而簡化了運算。〔等體積法〕

例7.〔2006江西理，12〕如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球〔與四個面都相切的球〕球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩局部，設(shè)四棱錐A－BEFD與三棱錐A－EFC的外表積分別是S1，S2，那么必有〔

〕A.S1S2

B.S1S2

C.S1=S2

D.S1，S2的大小關(guān)系不能確定解：連OA、OB、OC、OD，那么VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD+VO-ADFVA－EFC＝VO－AFC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC，而每個錐體的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故SABD＋SABE＋SBEFD+SADF＝SAFC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，應(yīng)選C點評：該題通過復(fù)合平面圖形的分割過程，增加了題目處理的難度，求解棱錐的體積、外表積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對應(yīng)關(guān)系。

例8.〔1〕〔1998全國，9〕如果棱臺的兩底面積分別是S、S′，中截面的面積是S0，那么〔

〕A.

B.

C.2S0＝S＋S′

D.S02＝2S′·S〔2〕〔1994全國，7〕正六棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，高為2，那么其體積為〔

〕A.32

B.28

C.24

D.20解：〔1〕設(shè)該棱臺為正棱臺來解即可，答案為A；〔2〕正六棱臺上下底面面積分別為：S上＝6··22＝6，S下＝6··42＝24，V臺＝，答案B。點評：此題考查棱臺的中截面問題。根據(jù)選擇題的特點此題選用“特例法〞來解，此種解法在解選擇題時很普遍，如選用特殊值、特殊點、特殊曲線、特殊圖形等等。

例9.〔2000全國理，9〕一個圓柱的側(cè)面積展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是〔

〕A.

B.

C.

D.解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，那么由題設(shè)知h=2πr.∴S全=2πr2+〔2πr〕2=2πr2〔1+2π〕.S側(cè)=h2=4π2r2，∴。答案為A。點評：此題考查圓柱的側(cè)面展開圖、側(cè)面積和全面積等知識。

例10.〔2003京春理13，文14〕如圖，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.假設(shè)放入一個半徑為r的實心鐵球，水面高度恰好升高r，那么=

。解：水面高度升高r，那么圓柱體積增加πR2·r。恰好是半徑為r的實心鐵球的體積，因此有πr3=πR2r。故。答案為。點評：此題主要考查旋轉(zhuǎn)體的根底知識以及計算能力和分析、解決問題的能力。

例11.〔1〕〔2002京皖春，7〕在△ABC中，AB=2，BC，∠ABC=120°〔如下圖〕，假設(shè)將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是〔

〕A.π

B.π

C.π

D.π〔2〕〔2001全國文，3〕假設(shè)一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，那么這個圓錐的全面積是〔

〕A.3π

B.3π

C.6π

D.9π解：〔1〕如下圖，該旋轉(zhuǎn)體的體積為圓錐C—ADE與圓錐B—ADE體積之差，又∵求得AB=1?！?，答案D。〔2〕∵S＝absinθ，∴a2sin60°＝，∴a2＝4，a＝2，a=2r，∴r＝1，S全＝2πr＋πr2＝2π＋π＝3π，答案A。點評：通過識圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力。而對空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向。

例12.過球面上三點的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的外表積。解：設(shè)截面圓心為，連結(jié)，設(shè)球半徑為，那么，在中，，∴，∴，∴。點評：正確應(yīng)用球的外表積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關(guān)系。

例13.如下圖，球面上有四個點P、A、B、C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，求這個球的外表積。解：如圖，設(shè)過A、B、C三點的球的截面圓半徑為r，圓心為O′，球心到該圓面的距離為d。在三棱錐P—ABC中，∵PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，∴AB=BC=CA=a，且P在△ABC內(nèi)的射影即△ABC的中心O′。由正弦定理，得

=2r，∴r=a。又根據(jù)球的截面的性質(zhì)，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，∴P、O、O′共線，球的半徑R=。又PO′===a，∴OO′=R－a=d=，〔R－a〕2=R2–〔a〕2，解得R=a，∴S球=4πR2=3πa2。點評：此題也可用補形法求解。將P—ABC補成一個正方體，由對稱性可知，正方體內(nèi)接于球，那么球的直徑就是正方體的對角線，易得球半徑R=a，下略。

例14.〔1〕〔2006四川文，10〕如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，如果，那么球的外表積是〔

〕A.

B.

C.

D.〔2〕半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內(nèi)，假設(shè)正方體棱長為，求球的外表積和體積。解：〔1〕如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，，，所以，R=2，球的外表積是，選D?！?〕作軸截面如下圖，，，設(shè)球半徑為，那么

∴，∴，。點評：此題重點考查球截面的性質(zhì)以及球面積公式，解題的關(guān)鍵是將多面體的幾何要素轉(zhuǎn)化成球的幾何要素。

例15.外表積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個正四棱柱的外表積。解：設(shè)球半徑為，正四棱柱底面邊長為，那么作軸截面如圖，，，又∵，∴，∴，∴，∴點評：作軸截面把立體幾何中的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問題。

例16.〔1〕我國首都靠近北緯緯線，求北緯緯線的長度等于多少？〔地球半徑大約為〕〔2〕在半徑為的球面上有三點，，求球心到經(jīng)過這三點的截面的距離。解：〔1〕如圖，是北緯上一點，是它的半徑，∴，設(shè)是北緯的緯線長，∵，∴答：北緯緯線長約等于.〔2〕設(shè)經(jīng)過三點的截面為⊙，設(shè)球心為，連結(jié)，那么平面，∵，∴，所以，球心到截面距離為.點評：了解經(jīng)緯的數(shù)學(xué)意義，抓住球中的直角三角形求解。

例17.在北緯圈上有兩點，設(shè)該緯度圈上兩點的劣弧長為〔為地球半徑〕，求兩點間的球面距離。解：設(shè)北緯圈的半徑為，那么，設(shè)為北緯圈的圓心，，∴，∴，∴，∴，∴中，，所以，兩點的球面距離等于.點評：要求兩點的球面距離，必須先求出兩點的直線距離，再求出這兩點的球心角，進而求出這兩點的球面距離。

［思維總結(jié)］1.正四面體的性質(zhì)

設(shè)正四面體的棱長為a，那么這個正四面體的〔1〕全面積：S全=a2；〔2〕體積：V=a3；〔3〕對棱中點連線段的長：d=a；〔4〕內(nèi)切球半徑：r=a；

〔5〕外接球半徑：R=a；〔6〕正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和為定值〔等于正四面體的高〕。2.直角四面體的性質(zhì)

有一個三面角的各個面角都是直角的四面體叫做直角四面體。直角四面體有以下性質(zhì)：如圖，在直角四面體AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a，OB=b，OC=c。那么：①不含直角的底面ABC是銳角三角形；②直角頂點O在底面上的射影H是△ABC的垂心；③體積

V=abc；④底面S△ABC=；⑤外切球半徑

R=；⑥內(nèi)切球半徑

r=3.球的截面用一個平面去截一個球，截面是圓面.〔1〕過球心的截面截得的圓叫做球的大圓；不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫做球的小圓；〔2〕球心與截面圓圓心的連線垂直于截面；〔3〕球心和截面距離d，球半徑R，截面半徑r有如下關(guān)系：r=.4.經(jīng)度、緯度：經(jīng)線：球面上從北極到南極的半個大圓；緯線：與赤道平面平行的平面截球面所得的小圓；經(jīng)度：某地的經(jīng)度就是經(jīng)過這點的經(jīng)線與地軸確定的半平面與經(jīng)線及軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。緯度：某地的緯度就是指過這點的球半徑與赤道平面所成角的度數(shù)。5.兩點的球面距離：球面上兩點之間的最短距離，就是經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，我們把這個弧長叫做兩點的球面距離兩點的球面距離公式：〔其中R為球半徑，為A，B所對應(yīng)的球心角的弧度數(shù)〕

【模擬試題】一、選擇題1、以下圖是由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的〔

〕2、過圓錐的高的三等分點作平行于底面的截面，它們把圓錐側(cè)面分成的三局部的面積之比為〔

〕A、

B、

C、

D、3、在棱長為的正方體上，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方形，那么截去個三棱錐后，剩下的幾何體的體積是〔

〕A、

B、

C、

D、4、圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為和，那么〔

〕A、

B、

C、

D、5、如果兩個球的體積之比為，那么兩個球的外表積之比為〔

〕A、