線性代數(shù)與空間解析幾何第四章

4.2

向量組的線性相關(guān)性一、向量組的線性組合二、向量組的線性相關(guān)性返回向量組：同維數(shù)的向量所組成的集合.向量組與矩陣：例如向量組稱為矩陣A的列向量組.向量組,,…，稱為矩陣A的行向量組．

反之，由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個矩陣.一、向量組的線性組合定義1

若存在數(shù)

k1,k2,…,km

使得則稱向量為向量組1，2，…，m的線性組合，或稱可由1，2，…，m線性表出.L(1,2,…,m):1,2,…,m線性組合的全體.例1

零向量是任一向量組的線性組合.例2

向量組1,2,…,m中任一向量都可由這個向量組線性表出.例3即，任一n維向量均可由線性表出.設(shè)1,2,…,mRn,則L(1,2,…,m)為Rn的一個子空間——由1,2,…,m生成的子空間.定理1

設(shè)A=(1,2,…,n),則下列命題等價：1o

bL(1,2,…,n);2o

AX=b有解;證

有數(shù)

x1,x2,…,xn

使得bL(1,2,…,n)1o2o：3o

設(shè)R(A)=r,2o3o：AX=b與BX=d同解.所以AX=b有解dr+1=0

R(B,d)=r

例1

將=(1,0,-4)T用1=(0,1,1)T,2=(1,0,1)T,

3

=(1,1,0)T

線性表出.解

定義2(Ⅰ):1,2,…,r

,

(Ⅱ):1,2,…,s

,

若組(Ⅰ)中每一個向量都可由(Ⅱ)中的向量線性表出，則稱組(Ⅰ)可由(Ⅱ)線性表出.若組(Ⅰ)與組(Ⅱ)可以互相線性表出，則稱組(Ⅰ)與組(Ⅱ)等價.等價關(guān)系有性質(zhì)：(1)反身性：每一向量組都與自身等價；

(2)對稱性：(Ⅰ)與(Ⅱ)等價，則(Ⅱ)與(Ⅰ)等價；

(3)傳遞性：(Ⅰ)與(Ⅱ)等價，(Ⅱ)與(Ⅲ)等價,則

(Ⅰ)與(Ⅲ)等價.二、向量組的線性相關(guān)性

定義若存在不全為零的數(shù)x1,x2,…,xm使得

x11+x22+…+xmm=0(*)

則稱1,2,…,m線性相關(guān)；否則，稱1,2,…,m線性無關(guān).

特殊情形：

(1)一個向量：

線性相關(guān)=0

(線性無關(guān)0)；(2)兩個向量1,2

：

1,2線性相關(guān)(無關(guān))它們的對應(yīng)分量(不)成比例.例1

n維單位向量組線性無關(guān).證例2

含有零向量的向量組線性相關(guān).證

1

0

+01+…+0m=0定理2

設(shè)有m維向量組1,2,…,n,

A=(1,2,…,n),則下列命題等價：1o

1,2,…,n線性相關(guān);2o

AX=0有非零解;有不全為零的數(shù)

x1,x2,…,xn使1o2o：

1,2,…,n線性相關(guān)證3o

設(shè)R(A)=r,2o3o：AX=0與BX=0

同解.故，AX=0有非零解r<n.BX=0有非零解r<n

推論1

設(shè)有n維向量組1,2,…,n,

A=(1,2,…,n),則下列命題等價：1o

1,2,…,n線性相關(guān);2o

AX=0有非零解;3o

det

A=0.向量個數(shù)=向量維數(shù)：幾何意義:在R2,R3中，1,2線性相關(guān)1//2(或共線).在

R3中，1,2，3線性相關(guān)1,2，3共面.推論2

向量個數(shù)>向量維數(shù)的向量組必線性相關(guān).證設(shè)A=(1,2,…,n)

m×n,

n>m,則R(A)≤m<n,所以

1,2,…,n

線性相關(guān).在Rn中，任n+1個向量必線性相關(guān).例3

判斷向量組1=(0,1,1),2=(1,0,1),3

=(1,1,0)的線性相關(guān)性：解1

所以,1,2，3線性無關(guān).解2

R(A)=3,所以，1,2，3線性無關(guān).例4

設(shè)1,2，3線性無關(guān)，證1=1+2，2=2+3,3=3+1線性無關(guān).證設(shè)x1

1+x22+x33=0,即

x1(1+2)+x2(2+3)+x3(3+1)=0.即

(x1+x3)1+(x1+x2)2+

(x2+x3)3=0.因為1,2，3線性無關(guān)，所以只有所以(*)只有零解.故1,2,3

線性無關(guān).線性相關(guān)性的基本定理

定理3

若1,2,…,m線性相關(guān)，則1,2,…,m,m+1

,…,n線性相關(guān).

證

由1,2,…,m線性相關(guān)，知有不全為零的數(shù)x1,x2,…,

xn使

x11+x22+…+xmm=0.

x11+x22+…+

xmm+0m+1+…+0n=0.

x1,x2,…,

xm,0,…,0

不全為零，故1,2,…,n線性相關(guān).“部分相關(guān)，則整體相關(guān).”“整體無關(guān)，則部分無關(guān).”性質(zhì)若向量組

線性無關(guān)，則向量組

也線性無關(guān)

.也線性相關(guān).反之,若向量組

線性相關(guān),則向量組的縮短組.向量組

常稱為向量組

的延伸組；注：稱為而

定理4

1,2,…,m(m≥2)線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個向量可由其余m-1個向量線性表出.

證充分性不妨設(shè)1可由2,…,m線性表出，即有數(shù)

x2,…,

xm

使得

因-1,x2,…,

xm不全為零，故1,2,…,m線性相關(guān).

必要性有不全為零的數(shù)k1,k2,…,

km使

k11+k22+…+kmm=0.1可由2,…,m線性表出.因k1,k2,…,km不全為零，不妨設(shè)k1≠0，則即“1,2,…,m線性無關(guān)其中任一向量都不能由其余向量線性表出.”

定理5

若1,2,…,m線性無關(guān)，1,2,…,m，線性相關(guān)，則可由1,2,…,m

線性表出，且表式惟一.有不全為零的數(shù)k1,k2,…,km,k

使

k11+k22+…+kmm+k=0.若k=0，則