2015級(jí)第一高等數(shù)學(xué)期末考試復(fù)習(xí)

15級(jí)第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試

第一 集合與函數(shù)小yfxDf4y

xx,xx,x,

5yfu與ugxyfgx的概念.（yarcsinxyarccosx為主）（加強(qiáng)點(diǎn)：冪函數(shù)的根式、分式轉(zhuǎn)換；指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)）1sin2例1：求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x) x21;(2)f(x1sin2 x(1)f(x)sin(x3);(2)f(x)x

x);(3)f(x)

1(xsinx1.nlimxAnlimfx

第二 極限與連續(xù)知識(shí)點(diǎn)歸limfxAlimfx

limfx fx00limfxAfx00limfx2

x

x 唯一性：若limfxA（或limx

limfxB（或limxB）則AB 有界性：收斂數(shù)列必有界.（37頁定理（或負(fù)（或負(fù)limfxAlimfxlimfxA

limfxAlimfxlimfxA

x

x

f(x)

f(x)無窮小與無窮大的關(guān)系（53頁例3、55頁例9，57頁的引理 (1x)a1~x1：12 n(1)lim2n12 n

x2

n

x1

3x2x 4x32x

;(5)lim ;(6) x

x

x1x

x1

x6

2x

6x72x53x7x613x32x2x

2x(1)limsinx1

sinu(x)1

u(

5：當(dāng)afx

sin2x,3x

x

x0

x

第三 導(dǎo)數(shù)與微分小f(x)＝

f(x0x)f(x0)，f

)limf(x0hf(x0) f(x)

f(x)f(x0) x

x2、f(x0表示曲線yf(x在(x0,f(x0處切線的斜率1：f(a2，求極限

f(a)f(ah)；

f(ahf(ah 2：fxx21在點(diǎn)(0,13、函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系4、求導(dǎo)基本與法(uv)uv3：

(u)v

uvuv(1)f(x)ex(sinxcosx);(2)f(x)

lnx;(3fxarctanxx 5、函數(shù)微分的計(jì)算dy6、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法

f(x)由uf(x)yg(u)yg(f(xdydy 即dgf(x))dg(u)df(x) du 4：(1)f(x)esinx;(2)f(x)cosx3;(3)f(x)lnsin7、有關(guān)隱函數(shù)（一階）的求導(dǎo)xy33y2y(siny)ycosy，等等。5求yxsinx的導(dǎo)數(shù)。

lnylnxsinx

lnysinxlnxx

ycosxlnxsinx，所以yy(cosxlnxsinx 6：yy

(1)x2y2xy1;(2yxlny;(3)eyxye4xy307：求由方程e2yxye4x0yyx在點(diǎn)(0,08（1）微分的定義及計(jì)算：dy

f(8：求下列函數(shù)的微分dy(1ysinx;(2yln(1x);(3yexx3x1

第四 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用小至少存在一點(diǎn)(abf(0

f(b，則fx函數(shù)：1）在[ab上連續(xù)；2）在(ab(abf(

f(bf(a)b2、微分中值定理的應(yīng)用之一 法1）0

型：設(shè)limfxlimgx0

fx)Agx0)，則g(

f(x)

fx)A

g(

g(）

型：設(shè)limfxlimgx

fx)Agx0)，則g(

f(x)

fx)A

g(

g(ex ln(1 tan (1)lim ; (3) ;(4) x0x

xtan32

xlim( 1x1x lny327x9x23x34例題：某廠生產(chǎn)某種商品q千件的邊際成本為C(q)q36（萬元/千件9800（萬元）.求（1）產(chǎn)量為多少時(shí)能使平均成本最低？（2）最低平均成本是第五 不定積分小不定積分概念：f(x)dx＝F(xF(x)

f基本性質(zhì)f(x)dx'

f(x)或df(x)dx

ff'(x)dx

f(xC或df(x)

f(xC不定積分的性質(zhì)：1）fxdx

f(x)；2）f(x)dxdf(x)

fxC3）[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx；4）af(x)a(a1：fx)dxlnxexfx。2：fxsinx2x1f(11fxx3：1、2x4

2、sinx cos2x

1x23 3

4(10xx10151x2

6、 x2 3x2

(11

x、x21x2

8、 x9、(1x)2x

10(

xx)dxx二、第一類換元積分x如果f(u)duF(uC，1xf(x2b)dx1f(x2b)d(x2b)＝1F(x2b) 2

f(lnx)dx f(lnx)dlnxF(lnx)C1f(x

3

x dxf(x)d(x)F(x)45

f(sinx)cosxdxf(sinx)dsinxF(sinx)f(ex)exdxf(ex)dexF(ex)4：1

xx2 (2)lnx (3)ex (4)esinxcosxdx;

excose11 1exx311 1exx3

(7)cos2xdx;

dx;

ex

三、分部積分基 ：udvuv基本類型xe5xdxxcos6xdxxsin7xdxx8ln5：(1)ln (2) (3)sinxexdx;(4)xcos

(6)

xdx;

ex

lnx 導(dǎo)數(shù)基 積分基本1、C

1、0dx2、

)'

（為常數(shù)

xdx1

(3、lnxx

3、dxlnxx4、(axaxln

4、axdx

axC5、(exex6、(sinxcos7、(cosxsin

5、exdxex6、cosxdxsinx7、sinxdxcosx8

tanx)'sec2