2018年數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)達(dá)標(biāo)檢測（三十五）圓的方程命題3角度-求方程、算最值、定軌跡理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE5學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精高考達(dá)標(biāo)檢測（三十五)圓的方程命題3角度——求方程、算最值、定軌跡一、選擇題1．(2017·寧波“十?！甭?lián)考（一)）圓M：x2＋y2＋2x＋2eq\r（3）y－5＝0的圓心坐標(biāo)為（)A．（1，eq\r(3)） B．（1，－eq\r(3)）C．（－1，eq\r(3）) D．（－1，－eq\r(3））解析:選Dx2＋y2＋2x＋2eq\r(3）y－5＝0配方得（x＋1）2＋(y＋eq\r（3））2＝9,故圓心坐標(biāo)為(－1，－eq\r（3）)，選D.2．(2016·鶴崗一模）經(jīng)過點(1，0），且圓心是兩直線x＝1與x＋y＝2的交點的圓的方程為(）A．（x－1）2＋y2＝1 B．(x－1）2＋(y－1）2＝1C．x2＋（y－1)2＝1 D．(x－1）2＋(y－1)2＝2解析:選B由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1，,x＋y＝2))得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，)）即所求圓的圓心坐標(biāo)為(1,1），又由該圓過點（1,0），得其半徑為1，故圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1。3．（2017·廣州測試)圓（x－1)2＋(y－2)2＝1關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程為（）A．(x－2)2＋（y－1)2＝1 B．(x＋1）2＋(y－2)2＝1C．(x＋2）2＋(y－1）2＝1 D．(x－1)2＋（y＋2)2＝1解析：選A∵圓心（1，2)關(guān)于直線y＝x對稱的點為(2,1），∴圓（x－1)2＋（y－2)2＝1關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.4．方程｜y｜－1＝eq\r（1－x－12)表示的曲線是（）A．一個橢圓 B．一個圓C．兩個圓 D．兩個半圓解析：選D由題意知|y|－1≥0，則y≥1或y≤－1，當(dāng)y≥1時，原方程可化為（x－1)2＋(y－1)2＝1（y≥1），其表示以(1，1）為圓心、1為半徑、直線y＝1上方的半圓；當(dāng)y≤－1時,原方程可化為(x－1）2＋（y＋1）2＝1(y≤－1)，其表示以（1，－1）為圓心、1為半徑、直線y＝－1下方的半圓．所以方程|y|－1＝eq\r(1－x－12）表示的曲線是兩個半圓,選D。5．（2017·南昌檢測）圓心在y軸上,且過點（3，1）的圓與x軸相切,則該圓的方程是(）A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0解析：選B根據(jù)題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為（0,r），半徑為r,則32＋(r－1）2＝r2,解得r＝5，可得圓的方程為x2＋y2－10y＝0，故選B。6．若圓（x－3）2＋（y＋5）2＝r2上有且只有兩個點到直線4x－3y＝2的距離等于1，則半徑r的取值范圍是（）A．（4,6） B．［4，6］C．［4,6) D．(4，6]解析：選A易求圓心(3，－5）到直線4x－3y＝2的距離為5.令r＝4，可知圓上只有一點到已知直線的距離為1；令r＝6,可知圓上有三點到已知直線的距離為1，所以半徑r取值范圍在（4,6）之間符合題意．7．已知圓C與直線y＝x及x－y－4＝0都相切，圓心在直線y＝－x上,則圓C的方程為（）A．(x＋1)2＋（y－1）2＝2B．(x＋1）2＋（y＋1)2＝2C．(x－1）2＋(y－1）2＝2D．(x－1)2＋（y＋1)2＝2解析：選D由題意知x－y＝0和x－y－4＝0之間的距離為eq\f（｜4｜,\r（2）)＝2eq\r（2)，所以r＝eq\r(2)；又因為y＝－x與x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0聯(lián)立得交點坐標(biāo)為（0，0），由y＝－x和x－y－4＝0聯(lián)立得交點坐標(biāo)為(2，－2），所以圓心坐標(biāo)為（1,－1），圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－1)2＋(y＋1）2＝2。8．已知圓C：(x－3)2＋(y－4）2＝1和兩點A（－m，0）,B（m，0)（m>0）．若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為（）A．7 B．6C．5 D．4解析：選B根據(jù)題意，畫出示意圖,如圖所示，則圓心C的坐標(biāo)為（3，4），半徑r＝1，且|AB|＝2m,因為∠APB＝90°，連接OP，易知｜OP｜＝eq\f（1,2）|AB｜＝m.要求m的最大值，即求圓C上的點P到原點O的最大距離．因為|OC｜＝eq\r(32＋42）＝5，所以｜OP|max＝|OC｜＋r＝6，即m的最大值為6.二、填空題9．(2016·浙江高考）已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是________,解析:由二元二次方程表示圓的條件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1。當(dāng)a＝2時，方程為4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋eq\f（5，2）＝0，配方得eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f(1,2））)2＋（y＋1)2＝－eq\f(5，4）＜0，不表示圓;當(dāng)a＝－1時，方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得（x＋2)2＋(y＋4)2＝25，則圓心坐標(biāo)為（－2，－4),半徑是5。答案：(－2，－4）510．(2016·天津高考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，eq\r（5)）在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為eq\f（4\r（5），5），則圓C的方程為________．解析:因為圓C的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C（a，0），且a＞0，所以圓心到直線2x－y＝0的距離d＝eq\f（2a，\r(5))＝eq\f(4\r（5）,5）,解得a＝2，所以圓C的半徑r＝|CM｜＝eq\r(4＋5）＝3，所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9。答案:（x－2)2＋y2＝911．(2016·山東濟(jì)寧一模)當(dāng)方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圓的面積取最大值時，直線y＝（k－1)x＋2的傾斜角α＝________。解析：由題意知，圓的半徑r＝eq\f(1,2）eq\r（k2＋4－4k2）＝eq\f(1,2）eq\r(4－3k2）≤1，當(dāng)半徑r取最大值時，圓的面積最大，此時k＝0，r＝1，所以直線方程為y＝－x＋2，則有tanα＝－1，又α∈［0，π)，故α＝eq\f（3π,4).答案：eq\f(3π，4)12．(2016·大連模擬)點P(1,2）和圓C：x2＋y2＋2kx＋2y＋k2＝0上的點的距離的最小值是________．解析：圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為（x＋k）2＋（y＋1)2＝1。∴圓心C（－k,－1）,半徑r＝1.易知點P（1,2）在圓外．∴點P到圓心C的距離為：|PC|＝eq\r(k＋12＋32)＝eq\r（k＋12＋9）≥3.∴｜PC|min＝3.∴點P和圓C上點的最小距離dmin＝｜PC｜min－r＝3－1＝2.答案：2三、解答題13．(2017·湖南六校聯(lián)考)已知直線l：4x＋3y＋10＝0,半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方．(1)求圓C的方程；（2)過點M（1，0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方），問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB?若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：(1）設(shè)圓心C(a，0)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(a＞－\f(5，2)))，則eq\f(|4a＋10|,5）＝2?a＝0或a＝－5（舍去)．所以圓C的方程為x2＋y2＝4.(2)當(dāng)直線AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB。當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1）,N（t,0）,A(x1，y1）,B（x2，y2），由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋y2＝4，,y＝kx－1，))得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0,所以x1＋x2＝eq\f(2k2,k2＋1）,x1x2＝eq\f（k2－4,k2＋1）.若x軸平分∠ANB，則kAN＝－kBN?eq\f(y1，x1－t)＋eq\f（y2，x2－t)＝0?eq\f（kx1－1,x1－t）＋eq\f（kx2－1,x2－t)＝0?2x1x2－（t＋1)（x1＋x2)＋2t＝0?eq\f(2k2－4，k2＋1)－eq\f（2k2t＋1,k2＋1)＋2t＝0?t＝4，所以當(dāng)點N為（4,0)時,能使得∠ANM＝∠BNM總成立．14．（2016·陜西模擬)在△OAB中，已知O(0,0)，A（8，0），B(0,6），△OAB的內(nèi)切圓的方程為(x－2）2＋(y－2）2＝4，P是圓上一點．(1)求點P到直線l:4x＋3y＋11＝0的距離的最大值和最小值；(2）若S＝|PO｜2＋｜PA｜2＋|PB|2，求S的最大值和最小值．解：(1)由題意得圓心(2,2）到直線l：4x＋3y＋11＝0的距離d＝eq\f(|4×2＋3×2＋11|,\r(42＋32)）＝eq\f（25,5）＝5＞2，故點P到直線l的距離的最大值為5＋2＝7，最小值為5－2＝3.（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），則S＝x2＋y2＋（x－8)2＋y