第三講隨機現(xiàn)象與基礎(chǔ)概率

第三講隨機現(xiàn)象與基礎(chǔ)概率第一頁，共四十六頁，2022年，8月28日知識點隨機現(xiàn)象及其特征概率的定義概率的加法定理概率的乘法定理概率與二項分布第二頁，共四十六頁，2022年，8月28日一、隨機現(xiàn)象及其特征隨機現(xiàn)象例子：全國每天有多少嬰兒出生？多少人因車禍死亡？多少人結(jié)婚，多少人離婚？多少人晚間收看新聞聯(lián)播？天氣的變化？手術(shù)的成功？骰子的點數(shù)？……這些現(xiàn)象的共同點：在一定條件下（例如某天、某日）事物出現(xiàn)只具有可能性而但不具有必然性。這種現(xiàn)象就是隨機現(xiàn)象，大量存在自然、經(jīng)濟、社會領(lǐng)域內(nèi)。

社會現(xiàn)象分成兩種確定性現(xiàn)象和非確定性現(xiàn)象第三頁，共四十六頁，2022年，8月28日確定性現(xiàn)象與非確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象:在一定的條件(S)下某種結(jié)果必然會發(fā)生的現(xiàn)象,此時現(xiàn)象的可能結(jié)果只有一個,并且事先就能夠確定.EG,向空中扔一石塊必然會落地;標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下水在100℃時肯定會沸騰.非確定性現(xiàn)象:指在某種條件實現(xiàn)后,某種結(jié)果可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象.也就是說,此時存在多種可能性,但究竟發(fā)生哪種結(jié)果事先卻不能肯定.EG,向空中拋擲一枚硬幣,落地后正面朝上的結(jié)果是不能事先確定的,從副洗好的撲克牌中任意抽出一張來，它是黑桃2的結(jié)果也是不能事先確定的。第四頁，共四十六頁，2022年，8月28日問題：既然社會中存在大量的非確定性現(xiàn)象，那么預(yù)期或預(yù)測如何可能？統(tǒng)計規(guī)律：從表面上看來非確定性現(xiàn)象好像是捉摸不定的，純粹是偶然性起支配作用，但實際上，在研究了大量同類現(xiàn)象后，通常會揭示出一種確定的規(guī)律性，這就是所謂的統(tǒng)計規(guī)律。EG，如果無數(shù)次投擲硬幣，就可以斷定正面朝上的次數(shù)與拋擲總次數(shù)的比接近1/2。。。。。。第五頁，共四十六頁，2022年，8月28日1、隨機現(xiàn)象具有雙重性：偶然性：在一次試驗或觀察中事件出現(xiàn)的可能具有偶然性；可能會出現(xiàn)它表示為：若……，可能……統(tǒng)計規(guī)律性：在相同條件下，進行大量重復(fù)試驗或觀察時，隨機事件出現(xiàn)可能的大小是穩(wěn)定的。

概率論研究的正是隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。第六頁，共四十六頁，2022年，8月28日EG重復(fù)投擲骰子，根據(jù)概率論，可以知道出現(xiàn)1點、2點、3點、4點、5點和6點的可能性均為1/6。2009年在武漢市發(fā)生的經(jīng)濟適用房抽簽中出現(xiàn)的“六連號”事件。顯然不符合概率論。第七頁，共四十六頁，2022年，8月28日2、偶然性和規(guī)律性的關(guān)系

單獨的現(xiàn)象具有偶然性，但對于大量的現(xiàn)象，具有規(guī)律性?！霸诒砻嫔鲜桥既恍栽谄鹱饔玫牡胤?，這種偶然性始終是受內(nèi)部的隱蔽著的規(guī)律支配的，而問題在于發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律?！薄鞲袼古既皇录S機事件）的概率就是隨機事件隱蔽著的規(guī)律。隨機現(xiàn)象是概率論的研究對象，概率論是統(tǒng)計推論的理論（數(shù)學(xué)）基礎(chǔ)，概率是統(tǒng)計推論的依據(jù)。統(tǒng)計推論的所有數(shù)學(xué)表都是以概率為基礎(chǔ)的。第八頁，共四十六頁，2022年，8月28日二、概率隨機事件（例子）：誕生的嬰兒將是男孩；某人將活到80歲以上；明年報考公務(wù)員的人數(shù)將超過200萬人；明天將下雨；隨機事件：對隨機現(xiàn)象進行的觀察或試驗稱為隨機試驗。在一定條件下所進行的隨機試驗中，可能發(fā)生或可能不發(fā)生的事情稱為隨機事件。通常用大寫字母A、B、C等來表示。隨機事件有兩種極端情況：必然事件：如拋擲一枚在硬幣若無支撐落于地上；不可能事件：如拋擲一枚硬幣懸于空中。

第九頁，共四十六頁，2022年，8月28日日常生活中，人們常用“比較級”來表示隨機事件發(fā)生可能性的大小，例如：某生明年不可能考上大學(xué)；某生明年可能考上大學(xué)；某生明年很可能考上大學(xué)；概率就是隨機事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量表示。概率的表達實質(zhì)和這些“比較級”是一樣的，只是更為精確。第十頁，共四十六頁，2022年，8月28日下面是一些試驗者（著名數(shù)學(xué)家）所做試驗的記錄試驗者投擲總次數(shù)n出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)m（頻數(shù)）頻率=m/n狄摩根204810610.518布豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005第十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日2、隨機事件的概率

在一組不變的條件S下，重復(fù)做n次試驗，m為在n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)。當(dāng)n很大時，事件A發(fā)生的頻率m/n穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附件擺動，并且隨著試驗次數(shù)n的增加，其擺動幅度會越來越小，則事件A稱為隨機事件，并把數(shù)值p稱為隨機事件A發(fā)生的概率，記作：P(A)=p第十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日概率的取值范圍（0，1）不可能發(fā)生的事件，稱為不可能事件，概率p=0;一定發(fā)生的事件，稱為必然事件，概率p=1;一般的隨機事件，發(fā)生的可能性處于“必然”與“不可能”之間，發(fā)生的概率為：

0≤P(A)≤1概率值越大，這一事件發(fā)生的可能性越大。另外，如果記為事件A的逆事件，表示“事件A不發(fā)生”，那么P(A)+P()=1。第十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日三、概率的計算方法

1、頻率法在相同條件下進行N次實驗或觀察，隨機事件A出現(xiàn)的次數(shù)為n，頻次n與實驗次數(shù)N的比值n/N，稱作N次實驗或觀察中事件A的頻率，即這一事件出現(xiàn)的概率第十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日2、古典概率類型在古典概率類型問題中，所有可能的試驗結(jié)果是有限的，即試驗的基本事件數(shù)是有限的，并且，所有這些基本事件都是等可能的。若事件組滿足下面三個條件，則稱該事件為等可能完備事件組。（1）發(fā)生的機會相同（等可能性）；（2）在任何一次試驗中，至少有一個發(fā)生（完備性）；（3）在任何一次試驗中，最多只有一個發(fā)生（互不相容性）。第十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日

所謂古典概率：若是一個等可能完備事件組，而事件A由其中的某m個基本事件所構(gòu)成，則大量實踐經(jīng)驗表明，事件A發(fā)生的概率為：

P(A)=m/n第十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日例題1：拋擲一個骰子一次，問出現(xiàn)5點的概率是多少？出現(xiàn)奇數(shù)點的概率是多少？第十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日例題2一個袋子中裝有3白2黑共5個同樣大小的塑料球。(1)從中任取一個，取到白球的概率是多少？

(2)任取兩球，全是白球的概率是多少？第十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日復(fù)習(xí)：組合一般來說，從n個不同元素中，任取m（m<n)個元素編成一組，稱為從n個不同元素中每次取m個元素的一個組合，這些組合的種數(shù)記作n!表示n的階乘，n!=n×(n-1)(n-2)……3×2×1第十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日復(fù)習(xí)：排列一般來說，從n個不同元素中，任取m（m<n)個元素按照一定的順序排成一列，稱為從n個不同元素中每次取m個元素的一個排列，這些排列的種數(shù)記作n!表示n的階乘，n!=n×(n-1)(n-2)……3×2×1第二十頁，共四十六頁，2022年，8月28日排列和組合的區(qū)別有順序——排列；無順序——組合；兩者的聯(lián)系：第二十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日四、概率的加法運算1、特殊情況若事件A與事件B互不相容（互斥），即兩件事情不可能同時發(fā)生，那么事件A或事件B發(fā)生的概率等于兩事件單獨發(fā)生概率之和：

P(A+B)=P(A)+P(B)第二十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日例3：拋擲骰子一次，若事件A表示出現(xiàn)5點的情況，事件B表示出現(xiàn)6點的情況。那么，拋擲骰子一次，出現(xiàn)5點或6點的概率為：例4：某年級共有學(xué)生100名，其中來自廣東省的有25名，來自廣西省的有10名，問任抽一名，來自兩廣的概率是多少？第二十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日2、一般情況對于任意兩個事件A和B，滿足事件A和事件B互不相容，則事件“A+B”的概率為事件A的概率與事件B的概率之和減去事件A與事件B同時發(fā)生的概率公式為：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

第二十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日例題5：為了研究父代文化程度對子代文化程度的影響，某大學(xué)統(tǒng)計出學(xué)生父親具有大學(xué)文化程度的占25%，母親具有大學(xué)文化程度的占18%，而父母雙方都具有大學(xué)文化的占10%，問學(xué)生中任抽一名，父代至少有一名具有大學(xué)文化程度的概率是多少？第二十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日例6：若事件A表示拋擲骰子一次，出現(xiàn)偶數(shù)點的情況，事件B表示出現(xiàn)的點數(shù)大于3的情況。請問，拋擲骰子一次，出現(xiàn)偶數(shù)點或點數(shù)大于3的概率為：第二十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日四、概率的乘法定理1、特殊情況若事件A與事件B相互獨立，即事件A的發(fā)生不影響事件B的發(fā)生，同時事件B的發(fā)生也不影響事件B的發(fā)生，那么事件A和事件B同時發(fā)生的概率為：

P(AB)=P(A)P(B)推論：第二十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日例7：拋擲一枚硬幣10次，求10次都正面朝上的概率。第二十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日2、一般情況對于任意兩個事件A和B，乘法公式為：

P(AB)=P(A)P(B/A)P(B/A)又稱為條件概率，表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。第二十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日例8：盒中裝有16個球，其中6個為玻璃球，剩下10個為木質(zhì)球。而玻璃球中有2個是紅色的，4個是藍色的；木質(zhì)球中有3個是紅色的，7個是藍色的?，F(xiàn)從中任取1個，問得到藍色玻璃球的概率是多少？第三十頁，共四十六頁，2022年，8月28日概率在日常生活中運用的例子:1.你結(jié)交了一位新朋友,問她是否有孩子.她說有兩個.你問,有女孩吧?她說有.那么兩個孩子都是女孩的概率是多少?2.你結(jié)交了一位新朋友,問她是否有孩子.她說有兩個.你問大的是女孩吧?她說是.那么兩個孩子都是女孩的概率是多少?第三十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日五、概率與二項分布第三十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日

1、概率分布概率分布是指對隨機變量取不同值時的概率的描述,一般用概率分布函數(shù)進行描述.第三十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日2.離散型變量與連續(xù)型變量根據(jù)隨機變量的類型,可以分為：離散型變量：隨機變量只能取特定的數(shù)值（一般是整數(shù)）。(如家庭成員數(shù);硬幣正面朝上的次數(shù)等)連續(xù)型變量：變量在兩個數(shù)值界限之間可以取任何數(shù)值。（如雨量、射擊的距離、身高、體重等。）第三十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日(1)離散型隨機變量的概率分布.設(shè)離散型隨機變量的一切可能值為且對應(yīng)于,有則上式稱為隨機變量X的概率分布或概率函數(shù),通常也可以表示為:xX1x2x3…xn….pP1p2p3…pn...第三十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日即每個概率值在0與1之間即所有變量對應(yīng)的概率值之和等于1.第三十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日概率分布與頻率分布的區(qū)別概率分布是基于理論而建立起的分布，是理論分布；頻率分布是隨機變量的統(tǒng)計分布，是一次隨機試驗的結(jié)果。當(dāng)試驗次數(shù)很大，頻率分布會越來越接近概率分布。第三十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日(2)連續(xù)型隨機變量的概率分布對于隨機變量X，如果存在一個非負(fù)的可積函數(shù)f(x)(-∞＜x＜+∞),使對任意的a、b都有(a<b)都有:

則稱隨機變量X具有連續(xù)型的分布,并稱f(x)為概率密度函數(shù)或密度.第三十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日3.二項分布二項分布是一種具有廣泛用途的離散型隨機變量的概率分布,它是由貝努里創(chuàng)始的,因此又稱為貝努里分布.第三十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日(1)二項試驗的概率公式一個二項實驗是一個滿足如下條件的實驗:第一.實驗由確定的試驗數(shù)所組成;第二.每個試驗只有兩個可能的結(jié)果,通常稱為”成功”和”失敗”;第三.任一試驗的結(jié)果獨立于任何其他試驗結(jié)果;第四.在各次實驗中,”成功”的概率和”失敗”的概率都是固定的常數(shù),并且他們的和等于1.第四十頁，共四十六頁，2022年，8月28日對于一個二項實驗,設(shè)在單次試驗中,事件A發(fā)生(成功)的概率為P,事件A不發(fā)生(失敗)的概率為q,即且,則在n次試驗中事件A恰好發(fā)生m次的概率為的二項展開式中當(dāng)P的指數(shù)是m的那一項,即第四十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日例題:拋擲一枚骰子20次,則恰好