2023北京東城高三（上）期末數(shù)學（教師版）

第11頁/共11頁2023北京東城高三（上）期末數(shù)學2023.1本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知集合，，則（A） （B）（C）（D）（2）在下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是（A）（B）（C）（D）（3）在的展開式中，若第3項的系數(shù)為10，則（A）（B）（C）（D）（4）在等比數(shù)列中，，，則（A） （B） （C） （D）北京中軸線是世界城市建設歷史上最杰出的城市設計范例之一.其中鐘鼓樓、萬寧橋、景山、故宮、端門、天安門、外金水橋、天安門廣場及建筑群、正陽門、中軸線南段道路遺存、永定門，依次是自北向南位列軸線中央相鄰的11個重要建筑及遺存.某同學欲從這11個重要建筑及遺存中隨機選取相鄰的3個游覽，則選取的3個中一定有故宮的概率為（A）（B）（C）（D）（6）在平面直角坐標系中，角以為始邊，終邊位于第一象限，且與單位圓交于點，軸，垂足為．若的面積為，則（A） （B） (C) （D）（7）已知雙曲線的左、右焦點分別為，其漸近線方程為，是上一點，且.若△的面積為，則的焦距為（A）（B）（C）（D）（8）在△中，“對于任意，”是“△為直角三角形”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（9）在平面直角坐標系中，若點在直線上，則當變化時，直線的斜率的取值范圍是（A）（B）（C）（D）（10）如圖，在正方體中，是棱上的動點，下列說法中正確的是①存在點，使得；②存在點，使得；③對于任意點，到的距離為定值；④對于任意點，△都不是銳角三角形.（A）①③（B）②③（C）②④（D）①④第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．（11）若復數(shù)滿足，則（12）已知函數(shù)，則；若將的圖象向左平行移動個單位長度后得到的圖象，則的一個對稱中心為.（13）經(jīng)過拋物線焦點的直線與拋物線交于不同的兩點，經(jīng)過點和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點，則點的縱坐標與點的縱坐標的大小關系為.(用“”“”“”填寫）（14）設函數(shù)當時，的值域為__________；若的最小值為1，則的取值范圍是___________.對于數(shù)列，令，給出下列四個結論：=1\*GB3①若，則；=2\*GB3②若，則；③存在各項均為整數(shù)的數(shù)列，使得對任意的都成立；④若對任意的，都有，則有.其中所有正確結論的序號是.三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）如圖，在銳角△中，，點在邊的延長線上，且CD＝10.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求△的周長．（17）（本小題15分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，為的中點，為上一點，平面.（=1\*ROMANI）求證：為的中點；（=2\*ROMANII）再從條件=1\*GB3①、條件=2\*GB3②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.條件=1\*GB3①：；條件=2\*GB3②：.注：如果選擇條件=1\*GB3①和條件=2\*GB3②分別解答，按第一個解答計分．

（18）（本小題13分）“雙減”政策執(zhí)行以來，中學生有更多的時間參加志愿服務和體育鍛煉等課后活動.某校為了解學生課后活動的情況，從全校學生中隨機選取100人，統(tǒng)計了他們一周參加課后活動的時間（單位：小時），分別位于區(qū)間[7,9)，[9,11)，[11,13)，[13,15)，[15,17)，[17,19]，用頻率分布直方圖表示如下：假設用頻率估計概率，且每個學生參加課后活動的時間相互獨立.（Ⅰ）估計全校學生一周參加課后活動的時間位于區(qū)間[13,17)的概率；（Ⅱ）從全校學生中隨機選取3人，記ξ表示這3人一周參加課后活動的時間在區(qū)間[15,17)的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望；（Ⅲ）設全校學生一周參加課后活動的時間的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的估計值分別為a，b，c，請直接寫出這三個數(shù)的大小關系.(樣本中同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點值替代）（19）（本小題14分）已知橢圓的離心率為，長軸長與短軸長的和為，，分別為橢圓的左、右焦點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設為橢圓上一點，.若，，成等差數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.（20）（本小題15分）已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求的極值；（Ⅲ）證明：當時，曲線與曲線至多存在一個交點.

（21）（本小題15分）已知數(shù)列，滿足：，從中選取第項、第項、…、第項（），稱數(shù)列為的長度為m的子列．記為所有子列的個數(shù).例如，其.（Ⅰ）設數(shù)列，寫出A的長度為3的全部子列，并求；（Ⅱ）設數(shù)列，，，判斷的大小，并說明理由；（Ⅲ）對于給定的正整數(shù)，若數(shù)列滿足：，求的最小值.

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）A（2）C（3）B（4）D（5）D（6）D（7）C（8）A（9）B（10）C二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）（12）（答案不唯一）（13）（14）（15）=1\*GB3①=2\*GB3②④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：又因為在銳角△ABC中，，所以．…6分（Ⅱ）因為，所以.在△中，由余弦定理得所以△的周長為．…13分（17）（共15分）解：（=1\*ROMANI）在△中，過點作//交于點，連接.因為//，所以//，所以，，，四點共面.因為//平面，平面，平面平面，所以//所以四邊形是平行四邊形.所以所以為的中點.…6分（=2\*ROMANII）選條件=1\*GB3①：.因為底面為正方形，所以.又，，所以平面.所以.如圖建立空間直角坐標系，因為底面是邊長為2的正方形，，則，，，，所以，，.設平面的一個法向量為，則即令，則.于是.設直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角為的正弦值為.…15分選條件=2\*GB3②：.如圖，連接.因為底面是邊長為2的正方形，所以，.因為，，所以.所以.因為，，所以平面所以.以下同選條件=1\*GB3①.…15分（18）（共13分）解：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，可得學生一周參加課后活動的時間位于區(qū)間[13,17)的頻率為，因此估計全校學生一周參加課后活動的時間位于區(qū)間[13,17)的概率為．…3分（Ⅱ）從全校學生中隨機選取1人，其一周參加課后活動的時間在區(qū)間[15,17)的概率為．因此ξ．則的分布列為：0123．…10分（Ⅲ）c<b<a．…13分（19）（共14分）解：（Ⅰ）由題設，解得所以橢圓的方程為.…5分（Ⅱ）設為橢圓上一點，則有．由，，成等差數(shù)列，得即由，則.又在橢圓上，有，故，因為，所以.即，所以所以實數(shù)的取值范圍是.…14分（共15分）解：（Ⅰ）因為所以.所以，所以曲線在點處的切線方程為.…4分（Ⅱ）令，得.當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；當時，，在時取得極小值.所以函數(shù)的極小值為，不存在極大值.…9分（Ⅲ）令，其定義域為.令，，所以在上單調(diào)遞增.當時，，即，單調(diào)遞減；當時，，即，單調(diào)遞增；當時，，即，取得極小值.，因為，所以，，所以.因此，當時，，所以，，即，，曲線與曲線無交點；當時，，所以存在且僅存在一個，使得，對且，都有，即.所以當時，曲線與曲線有且僅有一個交點；故當時，曲線與曲線至多存在一個交點.…15分（共15分）解：（Ⅰ）由的定義以及，可得：A的長度為3的子列為：，的長度為的子列有個，的長度為的子列有個，所以.…5分（Ⅱ）理由如下：若是的一個