2022北京海淀高三（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第10頁/共10頁2022北京海淀高三（上）期中數(shù)學(xué)2022．11一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．（1）已知全集，集合，則（） （A） （B） （C） （D）（2）在同一個坐標系中，函數(shù)與且的圖象可能是（）（3）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，則（） A．4 B． C． D．（4）若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，則的公比為（） （A）2 （B） （C）4 （D）（5）已知實數(shù)滿足，則下列不等式中正確的是（） （A） （B） （C） （D）（6）在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于直線對稱．若，則（） （A） （B） （C） （D）（7）已知函數(shù)．甲同學(xué)將的圖象向上平移1個單位長度，得到圖象；乙同學(xué)將的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），得到圖象．若與恰好重合，則下列給出的中符合題意的是（） （A） （B） （C） （D）（8）已知函數(shù)，則""是"為奇函數(shù)"的（） （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（9）若是內(nèi)部或邊上的一個動點，且，則的最大值是（） （A） （B） （C）1 （D）2（10）我們可以用下面的方法在線段上構(gòu)造出一個特殊的點集：如圖，取一條長度為1的線段，第1次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去．若經(jīng)過次這樣的操作后，去掉的所有線段的長度總和大于，則的最小值為（）（參考數(shù)據(jù)：） （A）9 （B）10 （C）11 （D）12第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．（11）若復(fù)數(shù)，則____．（12）函數(shù)的定義域是____．（13）已知向量，．若存在實數(shù)，使得與的方向相同，則的一個取值為____．（14）若函數(shù)和的圖象的對稱中心完全重合，則____；____．（15）已知函數(shù)（1）當時，的極值點個數(shù)為____；（2）若恰有兩個極值點，則的取值范圍是____．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．（16）（本小題13分）已知等差數(shù)列的前項和為，且，．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）等比數(shù)列的首項為1，公比為，在下列三個條件中選擇一個，使得的每一項都是中的項．若，求．（用含的式子表示）條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分．（17）（本小題14分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最小正周期；（Ⅲ）求在區(qū)間上的最大值和最小值．（18）（本小題14分）已知函值．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若在區(qū)間上的取值范圍是，求的取值范圍．（19）（本小題14分）某自然保護區(qū)為研究某動物種群的生活習(xí)性，設(shè)立了兩個相距的觀測站和，觀測人員分別在處觀測該動物種群，如圖，某一時刻，該動物種群出現(xiàn)在點處，觀測人員從兩個觀測站分別測得，，經(jīng)過一段時間后，該動物種群出現(xiàn)在點處，觀測人員從兩個觀測站分別測得．（注：點在同一平面內(nèi)）（Ⅰ）求的面積； （Ⅱ）求點之問的距離．（20）（本小題15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）當時，證明：函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點；（Ⅲ）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．

（21）（本小題15分）對于一個行列的數(shù)表，用表示數(shù)表中第行第列的數(shù)，．對于給定的正整數(shù)，若數(shù)表滿足以下兩個條件，則稱數(shù)表具有性質(zhì)：①，；②．（Ⅰ）以下給出數(shù)表1和數(shù)表2．（?。?shù)表1是否具有性質(zhì)？說明理由；（ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得數(shù)表2具有性質(zhì)？若存在，直接寫出的值，若不存在，說明理由；（Ⅱ）是否存在數(shù)表具有性質(zhì)？若存在，求出的最小值，若不存在，說明理由；（Ⅲ）給定偶數(shù)，對每一個，將集合具有性質(zhì)中的最小元素記為．求的最大值．

參考答案一、選擇題題目12345678910答案BACBADBCAD二、填空題（11） （12） （13）答案不唯一，小于1的實數(shù)均可（14）2；或1 （15）2；（0，2）三、解答題（16）（本小題13分）解：（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，所以解得所以.（Ⅱ）選擇條件③.因為，，所以因為，即.得因為為奇數(shù)，為偶數(shù)，所以.可得.（17）（本小題14分）解：（I）（I）所以的最小正周期為（Ⅲ）因為，所以當，即時，取得最大值，所以在區(qū)間上的最大值為；當，即時，取得最小值，所以在區(qū)間上的最小值為.（18）（本小題14分）解：（I）的定義域為.，令，，.02+0—0+極大值極小值由表可得，的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.（IⅡ）由函數(shù)解析式及（I）可知.①當時，，不符合題意；②當時，在區(qū)間上的取值范圍是，符合題意；③當時，由在區(qū)間上單調(diào)遞增可知，不符合題意。綜合上述，（19）（本小題14分）解：（I）在中，，，所以.由正弦定理：，得，所以，，所以的面積為（II）由，得.在中由余弦定理，得所以即點之間的距離為.（20）（本小題15分）解：（I）當時，，則.，則.曲線在處的切線方程為.（II）當時，記，則.當時，，所以所以在上單調(diào)遞增因為，所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點。（II）設(shè)則.設(shè).則.因為當時，，所以當時，時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.（1）當時，，，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以存在唯一，使得.當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.可得，所以與題意不符（2）當時，..由可知：在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增。所以區(qū)間上恒成立.符合題意。（3）當時，.由（2）可知，此時在區(qū)間上恒成立.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.（21）（本小題15分）解：（I）（i）數(shù)表1不具有性質(zhì).理由：.（ii）存在.時，數(shù)表2具有性質(zhì).（Ⅱ）不存在數(shù)表具有性質(zhì).假設(shè)存在使得數(shù)表具有性質(zhì)，則.即在這兩行中，有6列的數(shù)不同，設(shè)其中有列是第行的數(shù)為1，第行的數(shù)為0，則有列是第行的數(shù)為0，第行的數(shù)為1.所以，從第行到第行，一共增加了個1，1的個數(shù)的奇偶性不變.……7分所以，任意兩行中，1的個數(shù)的奇偶性相同。與數(shù)表第一行有2023個1，最后一行有0個1矛盾.所以，不存在具有性質(zhì)的數(shù)表（Ⅲ）的最大值的為.定義行列的數(shù)表：其第行第列為則，且表示，表示兩數(shù)相同，表示兩數(shù)不同.因為數(shù)表的第1行確定，所以給定數(shù)表后，數(shù)表唯一確定、①先證.我們按照如下方式，構(gòu)造數(shù)表：對于第行和第行，，令，且在這兩行其余的列中，任選相同的列都為1，其他列都為0.于是可得到具有性質(zhì)的數(shù)表如下：第1列第2列第3列第4列第列第列第1行1111…11…第3行0011…11…第5行0000…11…第行0000…00即對于每個，當時，都存在數(shù)表具有性質(zhì).所以.②再證時，.記.因為是奇數(shù)