2021-2022學(xué)年山東省菏澤市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年山東省荷澤市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1

z=-----

1.已知復(fù)數(shù)1+i,則復(fù)數(shù)z共枕復(fù)數(shù)的虛部為（）

,11

A.-1B.1C.2D.2

D

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)z,利用共規(guī)復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的定義可得結(jié)果.

11-i11j-11.

【詳解】z*（l+i）0T）22,則“萬+于，

故復(fù)數(shù)Z共規(guī)復(fù)數(shù)的虛部為E.

故選：D.

2.高一、1班有學(xué)生54人，高一、2班有學(xué)生42人，用分層抽樣的方法從這兩個(gè)班中

抽出一部分人組成4x4方隊(duì)，進(jìn)行會(huì)操比賽，則高一、1班和高一、2班分別被抽取的人

數(shù)是（）

A.9.7B.15.1C.8.8D.12.4

A

【分析】利用分層抽樣的定義求解即可

54xl6=9

【詳解】由題意得高一、1班被抽取的人數(shù)為54+42人，

42_

------x16=7

高一、2班被抽取的人數(shù)54+42人，

故選：A

3.甲、乙兩名同學(xué)做同一道數(shù)學(xué)題，甲做對的概率為0.8,乙做對的概率為0.9,下列

說法錯(cuò)誤的是（）

A.兩人都做對的概率是0.72B.恰好有一人做對的概率是0.26

C.兩人都做錯(cuò)的概率是0.15D.至少有一人做對的概率是0.98

C

【分析】甲乙兩人做題屬于相互獨(dú)立事件，根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式求得兩人都做對

的概率和兩人都做錯(cuò)的概率，判斷A,C;根據(jù)互斥事件的概率加法公式可求恰好有一人

做對的概率，判斷B；至少有一人做對的概率等于1減去兩人都做錯(cuò)的概率，判斷D.

【詳解】由于甲做對的概率為0.8,乙做對的概率為0.9,

故兩人都做對的概率是°Sx0.9=0.72,所以A正確；

恰好有一人做對的概率是S8x（l_09）+（1-68）x0.9=0.26,故B正確；

兩人都做錯(cuò)的概率是（1-°-8）X（1一°-9）=002,故C錯(cuò)誤；

至少有一人做對的概率是1一（1一°》）x（1-09）=098,故D正確,

故選：C

4.已知向量"=（T2）,書=（2,加），若力5,則加=（）

」1

A.-1B.1C.4D.4

B

【分析】根據(jù)數(shù)量積公式，即可得答案.

【詳解】因?yàn)?/p>

所以（-l）x2+2m=0,解得機(jī)=1.

故選：B

5.紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺

型眾多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)

圓臺(tái)，如圖給出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm）,那么該壺的最大盛水量為

（）

A.68萬cm，B152^cm3c.20Vi^rcm'Q204/rcnr'

B

【分析】由題得上底面半徑為4,下底面半徑為6,圓臺(tái)高為6,代入臺(tái)體體積公式，

即可得答案.

【詳解】由題意得上底面半徑為4,面積SLIX42=16〃，

下底面半徑為6,面積邑="*62=36萬，圓臺(tái)高〃為6,

V=-（S,+S,+JS.S.,V=-（i6^+36^+Vf6^x36^'|x6=152萬,

則圓臺(tái)的體積3、-=3、/cm.

故選：B

6.甲，乙兩個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，為保證產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)從兩車間抽取100件產(chǎn)品進(jìn)

行檢驗(yàn).采取以下方法抽?。簭难b有除顏色不同外完全相同的2個(gè)紅球和3個(gè)白球的袋

子里抽取兩個(gè)球，如果抽到兩球顏色相同就從甲車間抽取一件產(chǎn)品，如果兩球顏色不

同就從乙車間抽取一件產(chǎn)品，兩車間分別抽取的產(chǎn)品數(shù)最接近的是（）

A.甲車間30件，乙車間70件B.甲車間70件，乙車間30件

C.甲車間59件，乙車間41件D.甲車間41件，乙車間59件

D

【分析】根據(jù)題意，分別計(jì)算出從裝有除顏色不同外完全相同的2個(gè)紅球和3個(gè)白球

的袋子里抽取兩個(gè)球，抽到兩球顏色相同的概率及抽到兩球顏色不同的概率，從而即

可求解.

【詳解】解：因?yàn)閺难b有除顏色不同外完全相同的2個(gè)紅球和3個(gè)白球的袋子里抽取

C；+C；42

兩個(gè)球，抽到兩球顏色相同的概率為仁105,抽到兩球顏色不同的概率為

C；C63

100x-=40

所以從兩車間抽取100件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，甲車間抽取產(chǎn)品數(shù)為5件，乙車間

3

100x-=60

抽取產(chǎn)品數(shù)為5件，

所以兩車間分別抽取的產(chǎn)品數(shù)最接近的是甲車間41件，乙車間59件，

故選：D.

cosA_\[3a

7.在中，角48、C對邊分別為Ac,且sinB3b,當(dāng)。=近，6=2時(shí),

△Z8c的面積是（)

正幣3百377

A.2B.2C.2D.2

C

,冗

A--

【分析】利用正弦定理求出3,利用余弦定理求出c=3,即可求出的面積.

cos4_y[3acosAy/3sinA

【詳解】對于sin8"一36,用正弦定理得.sin83sin8

因?yàn)槿f），且tan/=E，所以，一3

7=4+C2-2X2CX-

由余弦定理/=〃+/得：2,

解得：。=33=一1舍去）.

S=-6csin/4=-x2x3x2=巫

所以的面積是2222

故選：C

8.某餐廳提供自助餐和點(diǎn)餐兩種服務(wù)，為了進(jìn)一步提高菜品及服務(wù)質(zhì)量，餐廳從某日

中午就餐的顧客中隨機(jī)抽取了100人作為樣本，進(jìn)行滿意度調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)表格

（單位：人次），則下列說法正確的是（）

老年人中年人青年人

滿意度

自助餐點(diǎn)餐自助餐點(diǎn)餐自助餐點(diǎn)餐

10分（滿意）121202201

5分（一般）2263412

0分（不滿意）116232

A.滿意度為0.5

B.不滿意度為0.1

C.三種年齡層次的人群中，青年人更傾向于選擇自助餐

D.從點(diǎn)餐不滿意的顧客中選取2人，則兩人都是中年人的概率是0.1

D

【分析】對A、B：根據(jù)表格中所給數(shù)據(jù)即可求解；對C：根據(jù)表格中數(shù)據(jù)分別計(jì)算三

種年齡層次選擇自助餐的頻率，比較大小即可判斷：對D：根據(jù)古典概型的概率計(jì)算

公式即可求解.

12+1+20+2+20+1…

-------------------=0.56

【詳解】解：對A：滿意度為10。，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

1+1+6+2+3+2.

=UA.15

對B：不滿意度為10。，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

一

對C：老年人選擇自助餐的頻率為19,中年人選擇自助餐的頻率為39,青年

人選擇自助餐的頻率為342,由可得中年人更傾向于選擇自助餐，故

選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對D：從點(diǎn)餐不滿意的顧客中選取2人有種選法，其中兩人都是中年人有

亡=1種選法，所以從點(diǎn)餐不滿意的顧客中選取2人，則兩人都是中年人的概率是

—=0.1

1。，故選項(xiàng)D正確.

故選：D.

二、多選題

9.某學(xué)校有1000名學(xué)生，為更好的了解學(xué)生身體健康情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生

進(jìn)行測試，測試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的有

A.頻率分布直方圖中。的值為0.005

B.估計(jì)這100名學(xué)生成績的中位數(shù)約為77

C.估計(jì)這100名學(xué)生成績的眾數(shù)為80

D.估計(jì)總體中成績落在卜0，7°）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為160

AB

【分析】對于A,由各組頻率和為1可求出。的值，對于B,利用中位數(shù)的定義求解，

對于C,由從數(shù)的定義求解，對于D,先求出［6°，7°）的頻率，再利用總?cè)藬?shù)乘以頻率

可求得答案

【詳解】對于A,由頻率分布直方圖可得l°（2a+3〃+7a+6a+2a）=l,解得。=0.005,

所以A正確，

對于B,由頻率分布直方圖可知，前2組的頻率和為l°x5x0.005=0.25<0.5,前3組

的頻率和為10xl2x0.005=0.6>0.5,所以中位數(shù)在第3組，設(shè)中位數(shù)為L則

0.25+7x0.005（x-70）=0.5）解得x=77,所以B正確，

對于C,由頻率分布直方圖可知成績在70到80的最多，所以眾數(shù)為75,所以C錯(cuò)誤,

對于D,由頻率分布直方圖可知成績在16°，70）的頻率為3x0.005x10=0.15,所以總體

中成績落在［6°，70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)約為0.15x1000=150人，所以口錯(cuò)誤，

故選：AB

ZC=-

10.已知△N8C三個(gè)內(nèi)角/B,。的對應(yīng)邊分別為mb,&且3,C=2,則

下列結(jié)論正確的有（）

A.”5C面積的最大值為打B.bcosA+acosB=6

cos8

C.A，8c周長的最大值為6D.cosZ的取值范圍為

、

u

7

AC

【分析】A選項(xiàng)，利用余弦定理和基本不等式求解面積的最大值；B選項(xiàng)，利用余弦

定理計(jì)算可判斷；C選項(xiàng)，利用余弦定理和基本不等式求解周長的最大值；D選項(xiàng)，

cosB_百tanA1

用cos'=-cos（'+C）進(jìn)行變換得到嬴7-^tan-5,結(jié)合”的取值范圍得到

cosB

cos%的取值范圍.

-a2+h2-41

cosC=-------------=—

【詳解】解：對于A,由余弦定理得：2ab2,解得:

22

a+b=ab+4f

22

由基本不等式得：a+b=ab+4>2ab）當(dāng)且僅當(dāng)。=方時(shí)，等號(hào)成立,

S=—a/>sinC<V3

所以故'"Be2,故A正確；

6cos/+acos8=/2+c2―q2+a/+。2.2二竺一穌?

對于B,2bclac2c,故B不正確;

COSC_Q2+〃_4_1

對于C,由余弦定理得：c°s-2ab~2,解得：a2+b2=ab+4,

（a+b^=3ab+4<3x（—]+4

所以I2J,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

解得a+644,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)，等號(hào)成立，

所以，周長/=a+6+c44+2=6,所以AN8C周長的最大值為6,故C正確:

?-cos（/+父—siny4--cos^cz.

對于D,cos/cosJcos422,

因?yàn)?'I吟）,所以tan?「百力（。,+8）,

tangle（一叫一2）7（_；,+8

所以22故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.如圖，在“8C中，BC=6,D,￡是8c的三等分點(diǎn)，且歷?荏=4,則

()

BI)C

—2—1—

AE=-AB+-ACAD=—AB+—AE

A.33B.22

C.AB?AC=—4D.AB2+AC2=28

BCD

【分析】由向量的線性運(yùn)算即可判斷A,B,取。E的中點(diǎn)G,由BC=6,D,E是BC

■,-——21——2

ADAE=AG——DE——2

的三等分點(diǎn)得G是8c的中點(diǎn)，計(jì)算可得4,進(jìn)而得出4G=5,

計(jì)算可判斷選項(xiàng)C,由C可知方+就=2而，兩邊平方，化簡計(jì)算可判斷選項(xiàng)D.

AE=AC+CE=AC+-CB=AC+-(AB-AC}=-AB+-AC

【詳解】對于A,33'/33,故選

項(xiàng)A不正確；

AD=^-AB+^AE

對于B,由題意得。為8E的中點(diǎn)，所以22,故選項(xiàng)B正確；

對于C,取。E的中點(diǎn)G,由8c=6,D,E是8C的三等分點(diǎn)得G是8c的中點(diǎn)，且

DE=2,所以

而.荏=(就-g閘]芯+；硝=彷患=4

22

_2AB-AC=[AG--Bc\{AG+-Bc'\=AG--BC=5-9=-4

所以/G=5,12八2J4，故選

項(xiàng)C正確；

對于D,由G是8。的中點(diǎn)得方+X=2/，兩邊平方得

一—一2-‘…2.?2‘?22

AB+2AB-AC+AC=4AG,所以N8+AC=20+8=28,故選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

12.如圖1所示，四邊形/8。是邊長為2的正方形，E、F、M分別為8C、CD、

5E的中點(diǎn)，分別沿4E、4尸及E尸所在直線把0AEB、ZUED和折起，使B、

C、。三點(diǎn)重合于點(diǎn)p,得到如圖2所示的三棱錐尸-4E/"則下列結(jié)論中正確的有

()

圖2

A.四面體P/E尸中互相垂直的棱有3對

2

B.三棱錐4七產(chǎn)的體積為§

C.4M與平面尸￡尸所成角的正切值為4

7T3兀

D.過點(diǎn)〃的平面截三棱錐尸-NE廠的外接球所得截面的面積的取值范圍為14,2.

ACD

【分析】利用翻折的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；利用錐體的體積公式可判斷B選項(xiàng)；利用線

面角的定義可判斷C選項(xiàng)；計(jì)算出過點(diǎn)"的平面截三棱錐尸-NEF的外接球所得截面

的面積的取值范圍，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，易知/E=AF=M/=布,EF=yl\2+l2=72,

翻折前/818E,CELCF,ADS.DF,

翻折后，則有PALPF,PEVPF,

因?yàn)锳NE/是非直角的等腰三角形，所以，四面體己4所中互相垂直的棱有3對，A對;

對于B選項(xiàng)，因?yàn)镻ZLPE,PALPF,PE1PF,PE"F=P,

PE、PFu平面尸E/7,，_L平面尸即，

1111

dcyr--=-0Q=-X—X112=—

???M為PE的中點(diǎn)，則△AXA曲2PEF224,

,,—M-AEF=yA-MEF=T=^X"7X~

3346,B錯(cuò)；

對于C選項(xiàng)，因?yàn)镻/_L平面尸EF,.JM與平面PEF所成角為乙4MP,

P4

tanNAMP=——=4

在Rt"例尸中，PM,C對；

對于D選項(xiàng)，將三棱錐尸-ZEF補(bǔ)成長方體PE"一/GN",

H

則三棱錐P-4跖的外接球球心。為體對角線PN的中點(diǎn)，

,______RJL

2

^PN=yjPE+PF-+PA-=y[6t即球。的半徑為2,

所以，過點(diǎn)M的平面截三棱錐P-AEF的外接球所得截面圓的半徑設(shè)為r,

設(shè)球心。到截面圓的距離為〃，則OVdWOM,

712+22_V5

OM=-EN

???°、M分別為PN、PE的中點(diǎn)，則2

J_V6

0<d<—胃一優(yōu)G71371

2*V7ire

則2,

因此，過點(diǎn)”的平面截三棱錐P-/EF的外接球所得截面的面積的取值范圍為

-42」，D對.

故選：ACD.

方法點(diǎn)睛：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：

（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在

平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；

（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度3從而不必

sin6=一

作出線面角，則線面角°滿足/（/為斜線段長），進(jìn)而可求得線面角；

（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)￡為直線/的方向向量，片為平面的

法向量，則線面角?的正弦值為s’”"lC0S<"，〃>[

13.復(fù)數(shù)（”-i）（3+4i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上，則實(shí)數(shù)

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，可得（a-i）（3+4i）=3a+4+（4“-3）i,根據(jù)其幾何意義,

可得在復(fù)平面所對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意，列出方程，即可得答案.

【詳解】由題意得("一DR+4i)=3a+4ai-3i-4i2=3a+4+(4a-3)i

在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(34+4,4。-3)

因?yàn)樵擖c(diǎn)在第一、三象限的角平分線上，

所以3a+4=4"3,解得a=7.

故7

14.5c中，AB=AC=5,BC=8,則此三角形的外接圓半徑是.

25

~6

【分析】根據(jù)余弦定理，可得cos”,進(jìn)而可得sin/的值，根據(jù)正弦定理，即可得答

案.

,AC2+AB2-BC225+25—647

cos>4=_______________

【詳解】由余弦定理得2ACAB2x5x525,

,‘八、sinA=-71-cos2A=—

因?yàn)閆￡（0"）,所以25,

,解得夫程

設(shè)外接圓半徑為H，由正弦定理得25

25

故6

15.如圖，已知二面角夕的棱/上有48兩點(diǎn)，Cea,AC11,Dw0,

BDAJ,若AC=AB=BD=2,CD=2叵,有以下結(jié)論:

(1)直線與CD所成角的大小為45°：

(2)二面角的大小為60°；

(3)三棱錐"-88的體積為26；

顯

(4)直線與平面廣所成角的正弦值為4.

則正確結(jié)論的序號(hào)為.

(1)(2)(4)

【分析】采用平行線法作出直線與8所成角，解三角形求出角的大小，判斷(1)；

通過作輔助線，作出二面角a-'一6的平面角，解三角形求得角的大小，判斷(2)；

根據(jù)等體積法求得…一J"一不一2"，判斷C)；通過作垂線，找到

直線。與平面尸所成角，解三角形求得該角大小，判斷(4).

【詳解】如圖，在B內(nèi)作DE〃碼4EBD,交于E煎,

則NCDE即為直線AB與CD所成角或其補(bǔ)角，

因?yàn)?Z）_L/,AB=BD=2,則,

故四邊形ZED8為正方形，則DEiE,又"―，則OEL/C,

而4Cc4E=4，故。平面/CE,CEu平面/CE,

DEV2

Cos/1_）卜,——.

故DELCE,又CD=20DE=AB=2,故'~CD~2

由于0。＜/?！?90°,故NCZ)E=45。，故m正確:

由于/C148,￡4,48,故NCAE為二面角a-/一/的平面角,

由以上分析可知=JCD。-DE。=J8-4=2,AE=BD-2,AC=2

故"CE為正三角形，貝|JNC/E=6O。，故(2)正確；

由于OE_L平面/CE,OEu平面AEDB,故平面ACE-i-平面AEDB,

且平面ACE^平面4EDBME,故作CH1AE，垂足為H,

則CH1平面AEDB,且=/Csin60=6,

、￥A-BCt）=Vc-ABD=gs.ABD.CH=g*gx2x2x百=

所以3323,故（3）錯(cuò)誤;

連接DH,由于CH1平面4EDB,故?DH為直線CD與平面方所成角,

CH73_V6

sinZCDH=

CD-2及-4

在Rt^CHD中,，故(4)正確,

故(1)(2)(4)

四、雙空題

16.已知樣本的各個(gè)個(gè)體的值由小到大依次為2,3,3,7,a,b,12,13,19,20

(“’6eN),且樣本的中位數(shù)為105,則；若要使該樣本的方差最

小，則就二.

21110

【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義可得。與人的關(guān)系，要使樣本的方差最小，即

(aT°)2+3-l0『最小，利用。與人的關(guān)系消去。，得關(guān)于人的一元二次式，利用配方

法可求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而可得。和°的值，從而即可得成的值.

【詳解】解：因?yàn)闃颖镜母鱾€(gè)個(gè)體的值由小到大依次為

2,3,3,7,a,b,12,13,19,20(0力")，且樣本的中位數(shù)為10.5,

生叱=10.5

所以2,即。+6=21；

2+3+3+7+O+6+12+13+19+20，八

=10

所以樣本平均數(shù)為10--------------------,

要使樣本方差最小，即(a-10)2+ST°)2最小，

又因?yàn)?4-10)2+(3-10)2=(21-6-10)2+(6-10)2

=(11-6)2+(6-10)2=2b2-42b+221=2^b-^+；

因?yàn)閐beN,

所以當(dāng)6=11或20時(shí)，("I。)?+3-l°)2取得最小值，

又。+6=21,

所以。=11/=10或〃=10/=11,

所以。6=110.

故21；110.

五、解答題

17.如圖，Z2是的直徑，4垂直于0°所在的平面，C是圓周上不同于48的

任意一點(diǎn)，且4=48.求證：

⑴平面P/C，平面P8C；

(2)當(dāng)點(diǎn)C(不與48重合)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求平面P8C與0°所在的平面所成二面

角大小的范圍.

(1)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可得"'SC,根據(jù)圓的性質(zhì)，可得

AC±BC,根據(jù)線面垂直的判定定理，即可得證.

(2)由(1)可得”C，3C,BC1PC,所以NP。即為平面P8C與°°所在的平面

ZCAB=0,Oe\O,-\

所成二面角的平面角，設(shè)12人圓。的半徑為R,根據(jù)三角函數(shù)的定

義，可得tan/PCZ的表達(dá)式，根據(jù)6的范圍，計(jì)算求解，即可得答案.

【詳解】(1)因?yàn)榭诖怪庇凇恪闼诘钠矫?8C,BCu平面”8C,

所以P/'BC,PA1AC,

因?yàn)?8是0°的直徑，

所以"_L8C,

因?yàn)?4'Cu平面4c,

所以BCJ?平面P/C,

因?yàn)?Cu平面pg。，

所以平面尸平面P8C

0因?yàn)?cl平面pzc,PCu平面尸/c,

所以8CJ.PC,又4C1BC,

所以NPCA即為平面pBc與所在的平面所成二面角的平面角,

ZC/iS=6?,<9e|0,-|

設(shè)I2人圓。的半徑為七

則NC=2Rcos，，又P4=AB=2R,

tanZPCA=——

AC2Rcos0cos0,

所以cos。e(0,1)

tanZ.PCA=---->1

所以cos。

NPCAw

因?yàn)镮2)

所以￡2<

18.第24屆北京冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2022年2月4日至2月20日由北京和張家口

聯(lián)合舉辦，這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，它掀起了中國人民參與冬季運(yùn)動(dòng)

的熱潮.某比賽場館為了順利完成比賽任務(wù)，招募了100名志愿者，并分成醫(yī)療組和服

務(wù)組，根據(jù)他們的年齡分布得到如圖頻率分布直方圖.

頻率

4砸

0.025

0.020

0.015

0.010

年齡(歲)

40506070

(1)試估計(jì)100名志愿者的平均年齡及第75百分位數(shù)；

(2)己知醫(yī)療組40人，服務(wù)組60人，如果按分層抽樣的方法從醫(yī)療組和服務(wù)組中共選

取5人，再從這5人中選取3人組成綜合組，求綜合組中至少有1人來自醫(yī)療組的概

率.

(1)平均年齡43.5歲，第75百分位數(shù)為52.5

⑵0.9

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中，所有小矩形面積和為1,可求得。值，根據(jù)頻

率分布直方圖中平均數(shù)的求法，代數(shù)即可得平均值，根據(jù)百分位數(shù)的求法，可得答案.

(2)根據(jù)分層抽樣，可得醫(yī)療組抽取2人，設(shè)為a,6,服務(wù)組抽取3人，設(shè)為

A.B.C,列出綜合組所有可能情況，選出滿足題意的情況，代入概率公式，即可得

答案.

【詳解】⑴由題意得?015+0025+。+0.02+0.01)*10=1,解得〃=0.030,

所以100名志愿者的平均年齡為25x0.015x10+35x0.025x10

+45x0.03x10+55x0.02x10+65x0.01x10=43.5歲，

因?yàn)?.015x10+0.025x10+0.03x10=0.7<0.75,

0.015xl0+0.025xl0+0.03xl0+0.02xl0=0.9>0,75,

所以第75百分位數(shù)位于［50,60)內(nèi)，設(shè)第75百分位數(shù)為工,

則0.7+(x-50)x0.02=0.75,解得x=52.5,

所以第75百分位數(shù)為52.5

「40今

(2)醫(yī)療組抽取人數(shù)為40+60-人，設(shè)為0,b,則服務(wù)組抽取5-2=3人，設(shè)為

A>B、C,

5人中選取3人組成綜合組，情況可能為伍也⑷，(。也8),伍也C),①,48),(4,40),

(a,B,C),(b,A,A,C),(b,B,C),(A,B,C)t共10種,

至少有1人來自醫(yī)療組的情況為

(a,b,A),(a9b,B),(a,b,C),(a,A,B),(a,A,C),(a,B,C),(b9A9B)9(b9A,C),(h,B,C),共9種,

9

P=—=0.9

所以綜合組中至少有1人來自醫(yī)療組的概率10

19.如圖，一條河兩岸平行，河的寬度/C=Gkm,一艘船從河邊的4點(diǎn)出發(fā)到達(dá)對

岸的8點(diǎn)，船只在河內(nèi)行駛的路程XS=2km,行駛時(shí)間為0.2h.已知船在靜水中的速度

匕的大小為同，水流的速度匕的大小為同=2km/h.求：

⑴同;

(2)船在靜水中速度匕與水流速度馬夾角的余弦值.

后

⑵14

【分析】(1)先求出船只沿鉆方向的速度為年攻曲11,卜2#>=60°,利用向量的

數(shù)量積運(yùn)算求出ML(2)利用數(shù)量積及夾角公式求出船在靜水中速度匕與水流速度

”夾角.

【詳解】（1）因?yàn)榇辉诤觾?nèi)行駛的路程43=2km,行駛時(shí)間為0.2h,

Ivl=-^-=10km/h

所以船只沿方向的速度為"0.2

由NC=ekm,/IB=2km,根據(jù)勾股定理可得：BC=7?t=lkm,所以/8ZC=30。,

即.%6。。

由三F+E,得：涓心“

|v,|=JG-'J=J%2-2%-v+J=V22-2x2xl0cos60°+102=2V2T

⑵因?yàn)?=i+E,所以J=G+垃，

2___

即100=&VITj+2x2&lx2cosN，動(dòng)+22,解得COS,E）=F-

后

即船在靜水中速度匕與水流速度匕夾角的余弦值為14.

20.如圖，在四棱錐「-IBS中，底面NBC。是梯形，AD//BC,且ZO=28C,

PALPD,AB=PB.

(1)若尸為P4的中點(diǎn)，求證8尸〃平面尸CD

⑵求證P/工平面PCD

(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)取尸。中點(diǎn)￡,連接EF、EC,可得EF〃BC且EF=BC,則四邊形

ERBC為平行四邊形，則8尸□□￡<?,根據(jù)線面平行的判定定理，即可得證

(2)根據(jù)三角形性質(zhì)，可證BFLZP,結(jié)合(1)可得ECJ.NP,根據(jù)線面垂直的判

定定理，即可得證

【詳解】(1)取中點(diǎn)E，連接EE、EC,如圖所示

因?yàn)镋、F分別為PD、P4中點(diǎn),

EF=-AD

所以E尸口口/。，且2,

又因?yàn)閆O〃8C,且ZO=28C,

所以EF〃BC且EF=BC,

所以四邊形EFBC為平行四邊形，

所以8尸“EC,

因?yàn)?尸CZ平面尸8,ECu平面尸CA,

所以5尸〃平面PCD

⑵因?yàn)?B=PB,F為P4中點(diǎn),

所以BFJ.”,則EdP,

因?yàn)槭?_LP。，ECPOu平面pep,

所以尸4_L平面尸CD

21.如圖，在“8C中，已知ZC=1,AB=3,N&4c=60。，且蘇+方+1=6.求

cosZAPC

1而

182

______PA=--(AB+7C)

【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算結(jié)合已知4+P8+PC=°可得故3,

PC=-(2AC-AB)——

3,平方后利用數(shù)量積的運(yùn)算法則求得上出，1"Cl,再利用向量的夾角

公式即可求得答案.

【詳解】由題意得1=3,|%|=1,AB,AC的夾角為N8/C=60。,

PA+PB+PC=0,則麗辰=_莎,

又AB=PB-PA,AC=PC-PA,所以刀+太=而-強(qiáng)+定一刀=-3萬，

PA=--(AB+AC)PC=-(BC+AC)=-(AC-JB+AC)=-(2AC-JB)

故3,同理333

于是

|P^|2=[-|(ZB+/IC)]2=1(A52+2JS-JC+JC2)=1(9+2x3xlx1+l)=y

.?阿=半

|2

|定『=|(2JC-^5)1=^(AB2-4AB-AC+4AC2)