2018年數(shù)學(xué)黃金100題系列第01題集合的性質(zhì)與運算理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE2學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第1題集合的性質(zhì)與運算I．題源探究·黃金母題【例1】已知集合求,，，.，.精彩解讀【試題來源】人教版A版必修一第14頁A組第10題【母題評析】本題以不等式為載體，考查集合的運算問題。本類考查方式是近幾年高考試題常常采用的命題形式，達(dá)到一箭雙雕的目的.【思路方法】借助數(shù)軸為工具，利用集合各類運算的方法直接求解，但需要注意區(qū)間方向以及區(qū)間端點值的驗證,確保準(zhǔn)確無誤！II．考場精彩·真題回放【例2】【2017高考天津，理1】設(shè)集合，則A．B．C．D．【答案】【解析】,選B?！纠?】【2017高考山東，理1】設(shè)函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域為，則A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，由得，故，選D.【命題意圖】本類題通常主要考查集合的交、并、補運算?！究荚嚪较颉窟@類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn),難度較小，往往與函數(shù)的定義域、值域、解不等式有聯(lián)系?！倦y點中心】對集合運問題,首項要確定集合類型,其次確定集合中元素的特征，先化簡集合,若元素是離散集合,緊扣集合運算定義求解，若是連續(xù)數(shù)集，常結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行集合運算，若是抽象集合，常用文氏圖法，本題是考查元素是離散的集合交集運算,是基礎(chǔ)題.PAGEIII．理論基礎(chǔ)·解題原理考點一集合的基本概念1．元素與集合（1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性;（2）集合中元素與集合的關(guān)系：元素與集合之間的關(guān)系有屬于和不屬于兩種，表示符號為和；（3）集合的表示法：列舉法、描述法、Venn圖.2．常見數(shù)集及其表示符號自然數(shù)集用表示,正整數(shù)集用或表示，整數(shù)集用表示，有理數(shù)集用表示,實數(shù)集用表示?？键c二集合間的基本關(guān)系（1）子集：對任意的,都有，則（或）；{xk;w｝(2）真子集:若集合，但存在元素，且，則（或)；（3）性質(zhì)：;（4)集合相等：若，且，則。考點三集合的并、交、補運算：（1）并集：，或；（2)交集：，且;(3）補集：，且；為全集，表示集合相對于全集的補集．（4）集合的運算性質(zhì):①；②;③;④。IV．題型攻略·深度挖掘【考試方向】這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較小，往往與函數(shù)的定義域、值域、解不等式有聯(lián)系.【技能方法】解決此類問題一般要把參與運算的集合化為最簡形式再進(jìn)行運算,如果是不等式解集、函數(shù)定義域及值域有關(guān)數(shù)集之間的運算，先化簡集合，常借助數(shù)軸求交集.求集合的基本運算時，要認(rèn)清集合元素的屬性（是點集、數(shù)集或其他情形）和化簡集合,這是正確求解集合運算的兩個先決條件。【易錯指導(dǎo)】（1）在涉及集合之間的關(guān)系時，若未指明集合非空,則要考慮空集的可能性，如(），則有和兩種可能;（2）在子集個數(shù)問題上，要注意是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，任何集合是其本身的子集，在列舉時千萬不要忘記；（3)在用數(shù)軸法判斷集合間的關(guān)系時，其端點值能否取到，一定要注意用回代檢驗的方法確定。如果兩個集合的端點值相同，則這兩個集合是否能取到端點值往往決定這兩個集合之間的關(guān)系。V．舉一反三·觸類旁通考向1集合關(guān)系的判斷【例4】【2016河北石家莊質(zhì)檢二,理1】設(shè)集合，,則下列結(jié)論正確的是（)A。B.C.D?！敬鸢浮緾【解析】,所以，，，故選C。考向2根據(jù)集合關(guān)系求參數(shù)的值或范圍【例5】【2017高考課標(biāo)II,理2】設(shè)集合。若，則A.B。C.D.【答案】C【點評】集合中元素的三個特性中的互異性對解題影響較大,特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性。兩個防范：一是不要忽視元素的互異性；二是保證運算的準(zhǔn)確性?！纠?】【2017高考江蘇，1】已知集合，，若則實數(shù)的值為▲?！敬鸢浮?【解析】由題意,顯然，所以,此時，滿足題意，故答案為1．【考點】元素的互異性【名師點睛】（1)認(rèn)清元素的屬性，解決集合問題時，認(rèn)清集合中元素的屬性（是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個先決條件。(2）注意元素的互異性.在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互異性,否則很可能會因為不滿足“互異性”而導(dǎo)致解題錯誤。(3）防范空集。在解決有關(guān)等集合問題時，往往忽略空集的情況，一定先考慮是否成立，以防漏解?？枷?集合中的子集或元素個數(shù)問題【例7】【2017高考全國III，理1】已知集合A=,B=,則AB中元素的個數(shù)為A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【名師點睛】求集合的基本運算時,要認(rèn)清集合元素的屬性（是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合，這是正確求解集合運算的兩個先決條件。集合中元素的三個特性中的互異性對解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.【例8】【2017北京朝陽區(qū)二?！恳阎獌蓚€集合，滿足．若對任意的，存在,使得（），則稱為的一個基集．若，則其基集元素個數(shù)的最小值是．【答案】4【解析】若基集元素個數(shù)不超過三個:互不相等）,則最多可表示九個元素，因此基集元素個數(shù)的最小值是4個,如。【例9】【2015高考湖北文10理】已知集合，，9定義集合,則中元素的個數(shù)為(）A．77 B．49 C．45 D．30【答案】。【點評】用集合、不等式的形式表示平面區(qū)域,以新定義為背景，涉及分類計數(shù)原理,體現(xiàn)了分類討論的思想方法的重要性以及準(zhǔn)確計數(shù)的科學(xué)性，能較好的考查學(xué)生知識間的綜合能力、知識遷移能力和科學(xué)計算能力。考向4集合與不等式【例10】【2017高考新課標(biāo)，理1】已知集合則A． B．C． D．【答案】A【解析】由可得,則，即故選A?！纠?1】【江西百校聯(lián)盟2017年2月聯(lián)考】已知集合A={x|-5+21x-4A.3B。4C。5【答案】C【解析】因為A={x|4x2-21x【點評】本題考查集合的概念與運算,利用解一元二次不等式的解法化簡集合并求集合的補集、交集，本題屬基礎(chǔ)題，要求學(xué)生最基本的算運求解能力.考向5集合與解析幾何【例12】設(shè)集合.若，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】。或,所以實數(shù)的取值范圍是。解決此類問題要挖掘問題的條件，并適當(dāng)轉(zhuǎn)化，畫出必要的圖形,得出求解實數(shù)的取值范圍的相關(guān)條件.考向6集合與計數(shù)原理、數(shù)學(xué)歸納法【例13】【2015江蘇高考，23】已知集合，，整除或整除，令表示集合所含元素的個數(shù).（1）寫出的值；（2)當(dāng)時，寫出的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明?！敬鸢浮浚?）13(2）【分析】(1）根據(jù)題意按分類計數(shù)：共13個（2）由(1)知，所以當(dāng)時，的表達(dá)式要按除的余數(shù)進(jìn)行分類,最后不難利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時,，結(jié)論成立;②假設(shè)(）時結(jié)論成立,那么時,在的基礎(chǔ)上新增加的元素在，,中產(chǎn)生，分以下情形討論：1)若，則，此時有,結(jié)論成立；2）若，則，此時有,結(jié)論成立；3）若,則，此時有6）若，則，此時有,結(jié)論成立．綜上所述，結(jié)論對滿足的自然數(shù)均成立．【點評】用數(shù)