2021北京重點(diǎn)校高三（上）期末數(shù)學(xué)匯編：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章節(jié)綜合

11/112021北京重點(diǎn)校高三（下）期中數(shù)學(xué)匯編一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章節(jié)綜合一、單選題1．（2021·北京市第十三中學(xué)高三期中）在長(zhǎng)方形中，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，設(shè)，，與的函數(shù)關(guān)系式記為，則（）A．函數(shù)有一個(gè)極大值，無極小值 B．是函數(shù)的對(duì)稱軸C．函數(shù)的最大值為 D．函數(shù)的增區(qū)間為2．（2021·北京四中高三期中）對(duì)于定義在R上的函數(shù)，若存在非零實(shí)數(shù)，使在和上均有零點(diǎn)，則稱為的一個(gè)“折點(diǎn)”，下列四個(gè)函數(shù)存在“折點(diǎn)”的是（）A． B．C． D．二、填空題3．（2021·北京師大附中高三期中）長(zhǎng)江流域水庫(kù)群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效益．每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險(xiǎn)，水利部門需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)上聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)=（水庫(kù)實(shí)際蓄水量）÷（水庫(kù)總蓄水量）×100）來衡量每座水庫(kù)的水位情況．假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：（?。┱{(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間；（ⅱ）調(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿指數(shù)都不能降低；（ⅲ）調(diào)度前后，各水庫(kù)之間的蓄滿指數(shù)排名不變．記x為調(diào)度前某水庫(kù)的蓄滿指數(shù)，y為調(diào)度后該水庫(kù)的蓄滿指數(shù)，給出下面四個(gè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式：①；②；③；④．則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號(hào)是__________．4．（2021·北京一七一中高三期中）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)_______．①；②當(dāng)時(shí)，；③是奇函數(shù)．三、雙空題5．（2021·北京一七一中高三期中）對(duì)于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì).（1）下列函數(shù)中具有性質(zhì)的有___________.①②③，（）④（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.四、解答題6．（2021·北京四中高三期中）已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）若方程恰有三個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.7．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高三期中）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．8．（2021·北京四中高三期中）設(shè)函數(shù)，其中.（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，證明：.9．（2021·北京師大附中高三期中）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的零點(diǎn)：（2）若，證明：函數(shù)是上的減函數(shù)；（3）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求a的值．10．（2021·北京·北大附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三期中）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.

參考答案1．B【分析】首先結(jié)合兩角和的正弦公式表示出函數(shù)的解析式，進(jìn)而結(jié)合對(duì)稱性的定義證得函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，即可判斷B選項(xiàng)，再結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性，先研究函數(shù)在上的圖象與性質(zhì)，即可判斷ACD選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，所以，所以因?yàn)椋?則因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；由函數(shù)的對(duì)稱性，不妨先討論上的圖象與性質(zhì)，令，則令，則，所以時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；且，，所以存在使得，且時(shí)，，即，所以單調(diào)遞減，且時(shí)，，即，所以單調(diào)遞增，且，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，由函數(shù)的對(duì)稱性可知，所以在內(nèi)也有一個(gè)極大值，故AD錯(cuò)誤；又時(shí)，，即，所以單調(diào)遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在單調(diào)遞減，因此處不是最大值，故C錯(cuò)誤；故選：B.【點(diǎn)睛】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)．關(guān)鍵是分離參數(shù)k，把所求問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題．（2）若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到．2．B【分析】根據(jù)函數(shù)存在“折點(diǎn)”的條件，對(duì)每一選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，所以沒有零點(diǎn)，從而沒有“折點(diǎn)”，故A不符合題意；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以在上有零點(diǎn)，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在上有零點(diǎn)，從而存在“折點(diǎn)”，故B符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在處取得極大值，在處取得極小值，而，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，所以C不符合題意；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，令解得，只有一個(gè)零點(diǎn)，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：B3．②④【分析】需滿足四個(gè)條件：1.自變量的取值范圍為；2.函數(shù)值域?yàn)榈淖蛹?.該函數(shù)在上恒有；4.該函數(shù)為上增函數(shù)；逐一對(duì)照分析求解即可.【詳解】①，該函數(shù)在時(shí)函數(shù)值為，超過了范圍，不合題意；②為增函數(shù)，且且，則，符合題意；③，當(dāng)時(shí)，不合題意④，當(dāng)時(shí)，，故該函數(shù)在上單調(diào)遞增，又設(shè)即，易知在上為減函數(shù)令，則存在，有當(dāng)，；當(dāng)，；故在遞增，在遞減.，故上即上故④符合題意故答案為：②④【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生實(shí)際運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力.需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)建模思想，將文字語(yǔ)言描述的要求轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式，再用數(shù)學(xué)方法分析求解.4．（答案不唯一，均滿足）【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得所求的.【詳解】取，則，滿足①，，時(shí)有，滿足②，的定義域?yàn)?，又，故是奇函?shù)，滿足③.故答案為：（答案不唯一，均滿足）5．①②④或．【分析】（1）令，由，可判斷；由sinx=有解，可判斷是否具有性質(zhì)P；令=，此方程無解，由此可判斷；由兩圖象在有交點(diǎn)可判斷；（2）問題轉(zhuǎn)化為方程有根，令，求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得所令函數(shù)的單調(diào)性及最值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：（1）在時(shí)，有解，即函數(shù)具有性質(zhì)P，令，即，∵，故方程有一個(gè)非0實(shí)根，故具有性質(zhì)P；的圖象與有交點(diǎn)，故sinx=有解，故具有性質(zhì)P；令=，此方程無解，故，（）不具有性質(zhì)P；令，則由兩圖象在有交點(diǎn)，所以有根，所以具有性質(zhì)P；綜上所述，具有性質(zhì)P的函數(shù)有：①②④；（2）具有性質(zhì)P，顯然，方程有根，令，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以的值域[，+∞），∴，解之可得：或．故答案為：①②④；或．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是審清題意，把方程的解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象有交點(diǎn)，本題考查的是方程的根，新定義，函數(shù)的值域，是方程和函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度比較大．6．（1）；（2）.【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，進(jìn)而將代入求出切線斜率，再求出切點(diǎn)縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程；（2）由（1）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，進(jìn)而求得答案.（1）,，則切線斜率，又，所以切線方程為：.（2），，則時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增.所以時(shí)，函數(shù)有極大值為，時(shí)，函數(shù)有極小值為.又，因?yàn)椋?因?yàn)榉匠糖∮腥齻€(gè)不同的解，所以.7．（1）（2）答案見解析.【分析】（1）求，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率為，計(jì)算可得切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式可得切線方程；（2）解不等式，可得單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間，由單調(diào)性可得極值.（1）由可得，所以函數(shù)在處的切線斜率為，切點(diǎn)為，所以函數(shù)在處的切線方程為：即.（2）因?yàn)?，由可得；由可得；所以函?shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，取得極大值為，無極小值.綜上所述：的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為，的極大值為，無極小值.8．（1）；（2）答案見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）由題意有，求出的值，檢驗(yàn)即可得答案；（2）令，得或，然后對(duì)分：，，三種情況討論即可得答案；（3）令，由，得在上單調(diào)遞增，又由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得存在，使，即，，從而可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得，從而得證原不等式成立.（1）解：，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得，當(dāng)時(shí)，檢驗(yàn)符合題意，所以a的值為；（2）解：，，令，得或，當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得；綜上，當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）證明：當(dāng)時(shí)，，設(shè)，因?yàn)?，，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使，即，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，所以，從而得證.9．（1）2（2）證明見解析.（3）0.【分析】（1）直接解方程即可求出零點(diǎn)；（2）利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）先由在點(diǎn)處的切線與直線平行，得到，用圖像法求出a=0.（1）當(dāng)時(shí)，.令，解得：x=2.即函數(shù)的零點(diǎn)是2.（2）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?所以.令，則當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，都有.所以在上恒成立，所以函數(shù)是上的減函數(shù).（3）.所以.因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線與直線平行，所以.即.記，則.當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增.而，所以a=