高中數(shù)學(xué)教師在培養(yǎng)學(xué)生良好思維習(xí)慣方法總結(jié)

高中數(shù)學(xué)教師在培養(yǎng)學(xué)生良好思維習(xí)慣方法總結(jié)

(節(jié)選自課題：“高一數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)對學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)例說”)

李瑾思維能力主要是指：會觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；會用歸納、演繹和類比進行推理；會合乎邏輯地、準(zhǔn)確地闡述自己的思想和觀點；能運用數(shù)學(xué)概念、思想和方法，辨明數(shù)學(xué)關(guān)系，形成良好的思維品質(zhì)。良好的思維習(xí)慣不是生來就有的，它是在有意識的培養(yǎng)中形成，并在不斷的實踐中得到發(fā)展。培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)良好的思維習(xí)慣是每一位數(shù)學(xué)教育工作者的追求和職責(zé)，是指導(dǎo)學(xué)生后繼行為的重要認(rèn)知策略，也是學(xué)生智慧技能學(xué)習(xí)的最高階段.1．基礎(chǔ)知識的融會貫通知識和思維能力是相輔相成的，離開知識，培養(yǎng)能力就成了無源之水、無本之木。基礎(chǔ)知識是解決問題強有力的武器，但這里所說的基礎(chǔ)知識決不是死記硬背而獲得的內(nèi)容。而是指想通悟透其實質(zhì)，徹底理順其來龍去脈的邏輯關(guān)系，并且能組成有機網(wǎng)絡(luò)的概念、公式、圖案、規(guī)律等.如果沒有對數(shù)學(xué)概念、原理和方法的理解和掌握，就不可能順利地進行分析、綜合、抽象、概括、判斷和推理等思維活動。而最好培養(yǎng)學(xué)生基礎(chǔ)知識靈活、善變的思維訓(xùn)練就是填空、選擇題訓(xùn)練。教師往往到高三為了應(yīng)試才注重填空的單獨訓(xùn)練。其實，筆者認(rèn)為在高一階段就可以選擇適當(dāng)時機，在課內(nèi)限時操作訓(xùn)練，類似英語課內(nèi)的速讀練習(xí)。在操作中，注意掌控時間，題目難度適中、題目數(shù)量適當(dāng)、題目解析適度(可能的話讓學(xué)生完成答問，此時學(xué)生剛做完習(xí)題，新鮮程度讓他們躍躍欲試)。下表中是我校高一年級填空、選擇練習(xí)的一份練習(xí)，一般時間在25分鐘到30分鐘之間，題量在12到16道左右。高一填空、選擇題練習(xí)一設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)20的解集為{x|1Wx〈2},g(x)三0的解集為TOC\o"1-5"\h\z，則不等式f(x)?g(x)〉O的解集為.定義A-B={x|xWA且x電B}，若M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},則N-M=。已知集合A二{x|-x2+3x+10三0},B二{x|m+1WxW2m-1}工①，若BUA,則m取值范圍是。已知全集U=R，集合A={x||x-2|W1}，集合B={x|lg(x2+5)〉lg6x},TOC\o"1-5"\h\z則(/)門B=。已知f(x)為奇函數(shù)，定義域為{x|xWR且xHO},又f(x)在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù),且f(-l)=0,則滿足f(x)>0的x的取值范圍是。函數(shù)f(x)=logfx+-^—+1](x>1)的最大值為。11x-1丿2(1\7?已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+8)上的增函數(shù)，且f-二0，則不等式V3丿/、TOC\o"1-5"\h\zflog』x>0的解集是。V8丿8?已知f(x)=|log3x|,若f(a)>f(2),則a的取值范圍為。。9?已知關(guān)于x的不等式|ax+2|〈8的解集為(-3,5),則a二.10.方程x3+lgx=18的根x~.(結(jié)果精確到0.1)11?設(shè)集合M二{x|x=3m+1,m丘Z},N二{y|y=3n+2,n丘Z},若x°丘M,y°丘N,則x°y0與集合M、N的關(guān)系是()A.x0y0GM；B.x0y0電M；C.x0y0^N；D.x0y0電N。已知a>b>c且a+b+c=0,下列不等式中恒成立的是()A.a2>b2>c2;B.a|b|>c|b|;C.ac>bc;D.ab>ac.13?若函數(shù)f(x)=，則該函數(shù)在(-8,+8)上是()2x+1A?單調(diào)遞減無最小值；B.單調(diào)遞減有最小值；C?單調(diào)遞增無最大值；D.單調(diào)遞增有最大值。答案：一、1?{x|x<1或x±2}；2.{6}；3.[2，3]；4.(0，1)U(5，+8)；5.(-1，0)U(1，+8)；6.-2；7.。，甘止，+8)；8.0,1]u(2,+^)9.-2；10.2.6；11.C；12.D；V2丿V2丿A重視課本知識的挖掘與思辯，幫助學(xué)生建立有序思維.數(shù)學(xué)課本是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的載體，課堂上指導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)課本，不僅可以正確理解書中的基礎(chǔ)知識，同時，可以從書中字里行間挖掘更豐富的內(nèi)容.此外，還可以發(fā)揮課本使用文字的垂范作用，潛移默化培養(yǎng)和提高學(xué)生準(zhǔn)確說練的文字表達能力和學(xué)習(xí)能力．中學(xué)數(shù)學(xué)教材中知識點的抽象性和隱含性比其它學(xué)科顯得更為突出．?dāng)?shù)學(xué)中的知識點要通過想象思維和邏輯推理才能揭示，由于學(xué)生受思維和推理能力的限制，以及沒有閱讀數(shù)學(xué)課本的習(xí)慣，許多學(xué)生對數(shù)學(xué)教材看不懂，不理解．為了完成中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)目的和任務(wù)，首先教師要認(rèn)真鉆研和熟悉教材，把蘊藏在教材中那些隱含的知識點挖掘出來，幫助學(xué)生理解教材和掌握教材，以培養(yǎng)學(xué)生的研究能力．例如，高一代數(shù)中關(guān)于幕函數(shù)y二xn(nGN)的圖象和性質(zhì)一節(jié)，教材篇幅較長，圖象規(guī)律難懂，學(xué)生難以接受?為了突破這一難點，在講完課本中n>0和n<0時的性質(zhì)以后，與學(xué)生一起通過幾個圖象的觀察以后，概括出關(guān)于幕函數(shù)圖象的四條規(guī)律：定點：n>0時，圖象過定點(0,0),(1,1)；n<0時，圖象過定點(1,1).方向：在第一象限，當(dāng)n>1時圖象向上遞增伸展；當(dāng)0<n<1時，圖象向右遞增伸展；當(dāng)n<0時，圖象向兩條坐標(biāo)軸無限靠近.象限：y二xn(ngQ)為奇函數(shù)時，圖象分布在一、三象限，關(guān)于原點對稱；為偶函數(shù)時，圖象分布在一、二象限，關(guān)于y軸對稱；為非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限；在第四象限沒有圖象.特殊：n=0時，平行于x軸的一條直線，除去點(0,1)；n=1時，平分一、三象限的一條直線.經(jīng)過這樣的概括，同學(xué)們對幕函數(shù)的性質(zhì)和圖象規(guī)律已基本掌握.由此對知識的歸納、概括不僅是學(xué)習(xí)的需要，乃至在今后的工作實踐中，這種對事物的分析，對解決問題先后的邏輯推理能力也是不可缺少的，我們教師要在教學(xué)中逐步培養(yǎng)學(xué)生這種能力，以適應(yīng)社會工作的需要，這也是思維培養(yǎng)的的一個重要方面.重視定理、結(jié)論的推理過程的理解數(shù)學(xué)運算的實質(zhì)是根據(jù)運算定義及其性質(zhì)從已知數(shù)據(jù)和算式推導(dǎo)出結(jié)果的過程，也是一種推理過程。數(shù)學(xué)推理過程中，蘊涵著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，尤其在數(shù)學(xué)定理、公式的證明中更能得到體現(xiàn)。通過定理、公式的推導(dǎo)證明，可以獲得解決問題的思想方法和技巧。在教學(xué)過程中，教師要充分揭示數(shù)學(xué)思想和方法，盡可能地將自己(學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的思維過程)的思維活動過程清晰地呈現(xiàn)給學(xué)生，使他們看到教師是怎樣思考問題的，這種示范作用對幫助學(xué)生形成正確的認(rèn)知方式和提高推理能力會有很好的影響。數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)強調(diào)數(shù)學(xué)的“過程”與“結(jié)果”的平衡，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得過程，而不是只注意數(shù)學(xué)活動的結(jié)果。這里，“經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得過程”的含義是什么呢？我們認(rèn)為，其實質(zhì)是要讓學(xué)生有機會通過自己的概括活動，去探究和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律。例如，筆者在徐匯區(qū)“百課工程”系列活動中的展示課“抽象函數(shù)的分析與探討”中的開始引用了這一方法，來揭示解決抽象函數(shù)綜合問題時的解決思路，讓知識點層層剝離：例1：函數(shù)f(x)對于任何a,b為正實數(shù)，恒有f(ab)=f(a)+f(b).你能想到什么結(jié)論嗎？若f(8)=6,可以求出哪些函數(shù)值，或聯(lián)想到哪些結(jié)論？若f(x)的定義域改成:xW(-a,0)U(0,+°°)，恒有f(ab)=f(a)+f(b),你能想到什么結(jié)論?若x>1時，f(x)〈O,你又能發(fā)現(xiàn)這個函數(shù)的什么性質(zhì)？在解決抽象函數(shù)性質(zhì)問題中,還是存在通法的,例如在(3)中在判斷其單調(diào)性時，我們一般是這樣完成的：在題意中指出存在某一個值x0,使f(x0)=0。所以我們可以通過題意中x>1時，f(x)<0這個條件找出不等關(guān)系，建立關(guān)系式用來比較大?。蝗缓罅顑蓚€變量一個為xi,另一個為x2，通過“湊”的方法找出f(xi),f(x2)之差與0的關(guān)系。(湊的方法有f(xi)=f(xi-x2+x2);f(x)=f―1-x；1211221x2f(x-x)=f(x+f(x-x)=f(x+如果直接告訴學(xué)生如何解決抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的解決方法，學(xué)生一定感到莫名其妙，而且肯定會產(chǎn)生諸如“老師，您是怎樣想到的？”的問題，畢竟高一學(xué)生對“f(ab)=f(a)+f(b)”的認(rèn)識還是相當(dāng)陌生。所以，教師要從學(xué)生的思維特征出發(fā)，盡量從“特殊”到“一般”地逐步遞進。4．回顧評價，培養(yǎng)反思意識荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力?！毙抡n程標(biāo)準(zhǔn)也強調(diào)反思“有助于學(xué)生對客觀事物中蘊涵的數(shù)學(xué)模式進行思考和做出判斷”。數(shù)學(xué)教學(xué)中，要逐步培養(yǎng)學(xué)生的反思意識，在數(shù)學(xué)活動過程中不斷進行回顧、思考、總結(jié)評價和調(diào)節(jié)。其中包括對數(shù)學(xué)具體知識、內(nèi)容的反思，對數(shù)學(xué)所包含的思想、觀念、方法的反思，對解題方法、解題思路、解題策略的反思，對自己學(xué)習(xí)的經(jīng)驗或長處、教訓(xùn)或弱點的反思等。當(dāng)然，要求學(xué)生做到有意識地反思，教師本身也是有心人，我們可以從作業(yè)分析或試卷分析這一環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生入手。因此，作業(yè)分析就是筆者在每堂課開始必備階段，一般采取兩種方法：方法一：列舉錯誤解法，請學(xué)生比較。對于批改中存在的普遍問題，讓學(xué)生進行甄別，讓學(xué)生用自己的理解反駁錯誤，避免錯誤地再次發(fā)生。由此學(xué)生在一節(jié)課的開始，就進行思考，展開爭論，很快進入狀態(tài)。方法二：列舉相似問題進行比較。這是分析作業(yè)的關(guān)鍵。比如作業(yè)只有五道題，而每道題在教師的引導(dǎo)下進行舉一反三，那就是十五題，甚至更多。所以，我對于作業(yè)分析的備課量也很大，為了類似于習(xí)題課的效果，我把相似類型題目編成一組，讓已經(jīng)有過初次實踐的學(xué)生進行積極的思考。拓展性的思維從這里培養(yǎng)起來。時間長了，學(xué)生開始學(xué)會了“這一招”，有時侯，學(xué)生也會自己想出些結(jié)論，當(dāng)場就進行論證，課堂氣氛相當(dāng)活躍；有時侯，學(xué)生下課后也會來問，如果變了某某條件，怎么辦？11+x例如：判斷函數(shù)f(x)=(x-l)彳匚x的奇偶性為學(xué)生往往注重求f(-x)是否等于土f(x)的過程，而忽略判斷奇偶性的前提條件，確定定義域的過程，其實該題是“非奇非偶函數(shù)”。X2(x+1)同時，教師可以例舉具有類似特征的函數(shù)：”y二"(非奇非偶函數(shù))；X+1"y=H"(奇函數(shù))；"y=JX2-1+J1_X2"(既奇又偶函數(shù))等。x+3-3其次，在分析例題的過程中適當(dāng)采取“一