2021年九年級中考數(shù)學 三輪查漏補缺相似三角形及其應用

2021中數(shù)三輪補：三形應一、選題

如圖，在△中，，E分別是AB，AC邊上的點，∥BC，若AD=2，AB=3，DE=4則BC于()A.5

B.6C7D.8

下列命題是真命題的是()A.如果兩個三角形相似，相似比為49，那么這兩個三角形的周長比為∶3B.如果兩個三角形相似，相似比為49，那么這兩個三角形的周長比為∶9C.如果兩個三角形相似，相似比為49，那么這兩個三角形的面積比為∶3D.如果兩個三角形相似，相似比為49，那么這兩個三角形的面積比為∶9

如圖，每個小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角(陰影部分)與△AC相似的是()111

如圖平行四邊形ABCD中F為BC點，延長AD至，使DE∶AD=1∶，連接EFDC點，則

eq\o\ac(△,S)

=()A.2∶3

B.3∶2C9∶D.4∶9

如圖所示，P是菱形ABCD的對角線上一動點，過P垂直于AC的直線交菱形邊于M、N點，設＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN面積為，則y1

關于x的函數(shù)圖象的大致形狀是()

(2019?

沈陽)已知△∽△ADA'D'是它們的對應中若AD=10=6，則△與△的周長比是A．3∶5C．5∶3

B．9∶25D．25∶9

（2020·重慶卷）如圖，在平面直角坐標系中，△的頂點坐標分別是A（1,2）,B（1,1），（3,1），以原點為位似中心，在原點的同側畫△DEF，使△DEF與成位似圖形，且相似比為2:1，則線段DF的長度為（）A．5B．CD

（2020·新疆）如圖，在中，∠A＝90°，AB的中點，過點DBC的平行線交AC點作BC的垂線交BC點F若＝CE且△DFE的積為1，則BC長為······················（）A．25二、填題

B．5C．

D．10

(2019?煙臺)如圖，在邊長為1小正方形組成的網(wǎng)格中，建立平面直角坐標系△A'B'O'是以點P為位似中心的位似圖形，它們的頂點均在格2

點(網(wǎng)格線的交點)上，則點P的坐標為__________．

(2019

臺州)如圖，直線

lll1

，A，BC分別為直lll上的動13點，連接AB，，線段交直線

l2

于點D．設直線

ll1

之間的距離為

，直線

l2

，

l3

之間的距離為

，若90BD4且

，則

m的最大值為__________．

如圖，△OAB與△OCD是以點O位似中心的位似圖形，相似比為∶4，∠90°，∠60°，若點B的坐標是(6，0)，則點C的坐標是

.

《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，書中有下列問題“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何?”意思:“今有直角三角形，(短直角)長為步，股(長直角邊)長為12步，問該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少步?”該問題的答案是

步.3

（2020·臨沂如圖ABC中，D，邊的三等分點，////AC，H為AF與DG的交點若，則DH_________.

(2019

瀘州)如圖，在等腰Rt△中90，在CB上，，點D在邊AB上，CDAE，垂足為，長為__________．

如圖，在Req\o\ac(△,t)中，＝90°，＝3，BC＝4，⊥AB，垂足，EBC的中點，AECD交于點F，則DF的長為_________．BEC

FA（2020湖州）在每個小正方形的邊長1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都是格點的三角形稱為格點三角形．如圖，已Req\o\ac(△,t)是6×6網(wǎng)格圖形中的格點三角形該圖中所有與Req\o\ac(△,t)相似的格點三角形中積最大的三角形的斜邊長是．4

三、解題

如圖，過☉O一點P作☉的切線PA，切☉于點，連接PO并延長，與☉O于C，點，M是半圓CD的中點，連接AM交CD點N，連接AC，CM.(1)求證:CM=MN·;(2)若∠P=30°，2，求CM長.

如圖，在Rt△中，∠90°，AD平分∠交BC點D，O為AB上一點，經(jīng)過點A，的☉別交，AC點EF，連接OFAD于點G.(1)求證:BC☉O切線;(2)設，，試用含x，代數(shù)式表示線段AD長;(3)若BE=8，sinB=，求DG的長.

（2020·通遼）如圖，⊙的直徑交弦（不是直徑）于點P，且PC

＝PBPA，求證：AB⊥CD．

D5

攀枝花）三角形三條邊上的中線交于一點，這個點叫三角形的重心.如圖G是的重心.求證：GDG

D

（2020·杭州）如圖，在正方ABCD

中，點在BC邊上，連接，

∠DAE

的平分線A與C邊交于點G，與C的延長線交于點F．設

EB

．DEC（1）若

AB

，λ＝1，求線段的長．（2）連接E，若AF

，①求證：點G為邊的中點．②求

的值．

（2020·蘇州）如圖，在矩形ABCD中，是BC的中點，AE，垂足為F.（1）求證：ABE∽；（2）若AB，BC，求的長.6

OFOF

(2019

廣東)如圖，ABC中，點D是邊的一點．(1)請用尺規(guī)作圖法ABC內(nèi)求(不要求寫作法，保留作圖痕跡)

，交于E(2)在(1)的條件下，若

AD，求的值．DB

︵如圖，AB為半圓的直徑，圓心，OC⊥，DB的中點，連接DA、DB、DC，過點CDC的垂線交DA于點E，OC于點.(1)求證：∠＝45°；(2)求證：AE＝BD；(3)求

AO的值．2021中數(shù)三輪補：三形應答案一、選題答】

B[解析]∵DE∥BC，∴△ADE∽，∴=，即，解得6，故選B.7

答】

B【案B[解析根據(jù)勾股定理分別表示出已知三角形的各邊長同理利用勾股定理表示出四個選項中陰影三角形的各邊長用三邊長對應成比例的兩個三角形相似可得結果，△AC各邊長分別為1，111

，選項A陰影三角形三邊長分別為

三邊不與已知三角形各邊對應成比例，故兩三角形不相似;選項B中陰影三角形三邊長分別為:

，2，，三邊與已知三角形的各邊對應成比例兩三角形相似;選項C中陰影三角形三邊長分別為1，

，三邊不與已知三角形各邊對應成比例，故兩三角形不相似選項D中陰影三角形三邊長分別為:2，不相似，故選B.

，三邊不與已知三角形各邊對應成比例故兩三角形案

[解析]因為四邊形ABCD是平行四邊形以AD=BC.因為DE∶AD=1∶3，BC點，所以DE∶CF=2∶3，因為平行四邊形ABCD中∥CF，所以△DEG∽，相似比為23，所以

eq\o\ac(△,S)

=4∶9故選D.【案

C【解析】本題考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).解題思路設AC交于點O由于點P是菱形ABCD的對角線AC上一動點，所以0＜x＜2.當0時，△AMN∽△ABD

APMN＝?AOBDxMN1＝?MN＝x?＝x112

2

.此二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸是x，此時y隨x的增大而增大.所以B和D均不符合條件．當1時，△CMN∽△CBD

CPCO＝

MN2－xMN11?＝?MN＝2－x?＝＝－xBD1122

2

此二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸是x＝1，此時y隨x的增大而減小.以A不符合條件．綜上所述，只有C是符合條件的．答】

C【解析】∵△∽△A'B'C'，和A'D'是它們的對應中線，=10，A'D'=68

＝EG，所以BDBDDF1＝，5AEAD15＝EG，所以BDBDDF1＝，5AEAD15∴△與△的周長比=AD∶′D′=10∶6=5∶3．故選C答】

D【解析】（1,2）,B（1,1）（3,1），∴AB=1，BC=2,AC=.∵與△ABC成位似圖形，且相似比為2，∴DF=2AB=2答】

A【解析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理．如答圖，過點E作EG⊥BC于G，過點A作AH⊥BC于．又因為DF⊥BC，所以∥AH∥EG，四邊形DEGF是矩形．所以BDF∽△BAH，DF＝，因為D為AB中點，所以＝，所以＝．設DFAHBABAAH＝EG＝x，則AH＝2．因為∠BAC＝90°，所以∠B＋∠C＝90°，因為，所以∠C＋∠CEG＝90°所∠B＝∠CEG又因為∠＝∠CGE＝90°AB＝CE，所以△ABH≌△CEG所以CG＝AH＝2x同理可證△BDF∽△ECG所以

BFEGEC因為BD＝AB＝CE，所以BF

＝EG＝x．在Req\o\ac(△,t)中，由勾股定理得BD＝

DF

＝

1)2

＝x以AD＝所以CE＝AB＝2AD＝因2為DE∥BC，所以＝＝，所以AE＝AC＝CE＝．AB2在Req\o\ac(△,t)中由勾股定理DE＝

AE

＝

(

x)

x)

＝x因△DEF的面積為1所以＝1即×xx＝1解得＝5所以DE＝×2

＝，因為AD，AE＝CE，所以BC＝2DE＝25，因此本題選．二、填題答】

(【解析】如圖，連接B'B并延長，A'A并延長，B'BA'A的交點即為位似中心P點，9

由圖可知B'B、在一條直線上，則P點橫坐標為–，由圖可△位似比為

OB16

，所以

PBPB1PB2

，解得PB=2，所以P縱坐標為2，即P點坐標為

(

．故答案為：

(

．【案】

【解析】如圖，過B

作

BEl1

于E，延l于F過A作3

ANl

2

于，過C

作

l

2

于M，設xCF，BN，BMy，∵BD4，∴

DMy

，ABCAEBABECBF90∴，△ABE△BFC，∴

AEBEBFCF

x，即，∴xyny∵CDM，CMD△，∴

ANDNCMDM

m4，即，n310

))∴y

，∵

m23

，∴，∴)

最大

，∴當最大時，(m)

最大

m，∵mn(10)

xxm，∴當

x時，m，最2∴m最大

，∴

m

的最大值為33

．故答案為：．【案】

(2，2)[解析]如圖，作AE⊥x于E，∵∠90°，∠AOB=60°，∴∠∠30°.∵點B坐標是(6，∴AO=OB=3，∴OE=OA=，∴AE===

，∴A.∵△與△OCD是以點O位似中心的位似圖形，相似比為3∶，∴點C坐標為，即(2，2).11

【案】

[解析]如圖①，∵四邊形CDEF是正方形，CD=ED=CF.設，則，12-x.∵DE∥CF，∴∠∠C，∠∠B，∴△ADE∽，∴=，∴

，∴x=.如圖②，四邊形DGFE是正方形，過C作CP⊥P交DG于QS=AC·BC=AB·CP，則12×5=13CP，∴CP=.ABC

△設，同理得:△∽△CAB，∴

=，∴=

，y=<，∴該直角三角形能容納的正方形邊長最大是步，故答案為:.【案】

1【解析】∵D、E為邊AB的三等分點，∴BE=ED=AD=AB.∵EFDG//，∴EF

∴DHEF

.【案】【解析】如圖，過D于

，則∠AHD=90°，∵在等腰Rt△ABC中，∠C，∴BC，CAD

，12

91668ADDF91668ADDF∴∠ADH=90°–∠CAD=45°=∠，∴AH，∴CH=AC–AH=15–，CFAE，又∵∠ANH=∠DNF，，△△DHC，∴

CHCE

，∵CE，CE+BE=BC=15，∴CE，∴

15

，∴DH，∴

AD

AH

DH

2

，故答案為：9．【案】

【解析】本題考查平行線分段成比例定理相似三角形的判定與性質(zhì)已知∠ACB＝90°＝3，BC＝4，由勾股定理，得A＝5．CD，由三角形的面積，得CD＝

＝．易得△∽△∽△由相似三角形對應邊成比例，AB5得AD＝＝，BD＝＝．過E∥AB交CD點G，由平行AB59線分線段成比例，得DG＝＝，EG＝，所以，即，所5GFEG55以DF＝，故答案為．BE

F

C

A【案】

解：∵在Req\o\ac(△,t)中，AC＝1，BC＝2，∴AB，AC＝1：2，∴與Req\o\ac(△,t)相似的格點三角形的兩直角邊的比值為：2，若該三角形最短邊長為4則另一直角邊長為8但在6×6網(wǎng)格圖形中，最長線段為6但此時畫出的直角三角形為等腰直角三角形從而畫不出端點都在格點且長為8的線段，故最短直角邊長應小于，在圖中嘗試，可畫出，EF＝2，DF＝5的三角形，13

∵，∴△ABC∽△DEF∴∠DEF＝∠C＝90°，∴此時△DEF的面積為：2

2＝10，△DEF為面積最大的三角形，其斜邊長為：5．故答案為：．三、解題【案】解:(1)證明:∵在☉O中，點M是半圓CD的中點，∴∠CAM=∠DCM，又∵∠是△和△的公共角，∴△CMN∽△(2)連接OA，DM，

=

CM=MN.∵PA☉O切線，∴∠90°，又∵∠P=30°，∴OA=PO=(PC+CO)設☉O半徑為，∵PC=2∴r=(2+)，解得r=2.又∵CD直徑，∴∠CMD=90°，∵點M半圓CD的中點，∴CM=DM，∴△是等腰直角三角形，∴在Rt△中，由勾股定理得CM

+DM=CD

，∴2CM2=(2)

2=16，∴CM=8，∴CM=2

.【案】[解析](1)連接OD，根據(jù)同半徑相等及角平分線條件得到∠DAC=∠，得OD∥AC切線得證;(2)連接EF根據(jù)直徑所對圓周角為直角證明∠AFE=90°，可得EF∥BC，因此∠B=∠，再利用同弧所對圓周角相等可得B=∠ADF，從而證明△ABD∽ADF，可得AD，AF的關;(3)根據(jù)∠AEF=∠，利用三角函數(shù)分別在Rt△和Rt△AFE中求出半徑和AF代入2)的結論中出，再利用兩角對應相等，證明△OGD∽△FGA，再利用對應邊成比例，求出DG∶AG的值，即可求得DG長.14

解:(1)證明:連接OD，∵，∴∠∠，∵AD分∠，∴∠∠，∴∠∠，∴OD∥AC，∴∠∠C=90°，∴OD⊥BC.∵OD☉O半徑，∴BC☉O切線.(2)連接EF，∵AE☉O的直徑，∴∠90°，∴∠AFE=∠90°，∴EF∥BC，∴∠∠AEF.∵∠∠，∴∠B=∠又∵∠∠，∴△∽△ADF，∴=，∴AD·AF，∴AD=.(3)設☉O徑為，在Rt△中，sinB==，∴

=，解得r=5，∴10.在Rt△中，sin∠AEF=sinB=，∴AF=10×=，∴AD==.∵∠∠，∠DGO=∠，∴△OGD∽，∴==，∴∴DG=.

=，15

APCPADBCAPCPADBC【案】解：如圖，連結AC，．∵∠=∠，∠C=∠，∴△ACP∽△DBP，=，DPBP∴PCPD＝PBPA，∵PC＝?PA，∴PC=，即平分CD，∵CD弦（不是直徑AB直徑，∴AB⊥CD．

D【案】證明：連接DE，∵點G△ABC的重心，∴點E點D分別是AB和BC中點，∴DE△ABC中線，1∴DEAC且DE=，2∴△DEG∽△ACG，AGAC∴，DG∴GD∴即AD=3GD【案】解：（1）∵四邊形ABCD正方形，∴AD∥BC，AB，∴∠DAF＝∠F．平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF，，∴EA＝EF．∵λ＝1，＝1．在Rt△ABE中，由勾股定理得EA