2023年高考數(shù)學(xué)命題角度5.3直線與拋物線位置關(guān)系大題狂練文

命題角度5.3：直線與拋物線位置關(guān)系1．拋物線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，直線與拋物線相交于不同的，兩點(diǎn)．〔1〕求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2〕如果直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，求的值；〔3〕如果，直線是否過(guò)一定點(diǎn)，假設(shè)過(guò)一定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；假設(shè)不過(guò)一定點(diǎn)，試說(shuō)明理由．【答案】〔1〕;〔2〕∴;〔3〕．【解析】【試題分析】〔1〕借助題設(shè)與條件待定拋物線的參數(shù)即可；〔2〕依據(jù)題設(shè)條件，建立直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組，運(yùn)用向量的坐標(biāo)形式求解：〔3〕先假設(shè)存在，再運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析探求。〔3〕解：假設(shè)直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)：與聯(lián)立，得，設(shè)，，∴，．由，解得，∴：過(guò)定點(diǎn)．點(diǎn)睛：此題的設(shè)置旨在考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與直線與拋物線的位置關(guān)系等根底知識(shí)與根本方法的綜合運(yùn)用。求解第一問(wèn)時(shí)，直接借助題設(shè)條件求出參數(shù)的值使得問(wèn)題獲解；解答第二問(wèn)時(shí)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，借助向量的坐標(biāo)形式的數(shù)量積公式求解，使得問(wèn)題獲解；第三問(wèn)的求解那么借助坐標(biāo)之間的關(guān)系建立方程推得直線過(guò)定點(diǎn)，使得問(wèn)題獲解。2.拋物線的焦點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，且.〔1〕當(dāng)取得最小值時(shí)，求的值；〔2〕當(dāng)時(shí)，假設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與圓相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得的長(zhǎng)為定值？假設(shè)存在，求出的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】〔1〕；〔2〕當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為定值2.【解析】試題分析：〔1〕依據(jù)題設(shè)條件建立函數(shù)關(guān)系運(yùn)用根本不等式求解；〔2〕借助直線與拋物線的位置關(guān)系，運(yùn)用坐標(biāo)之間的關(guān)系分析探求;〔2〕當(dāng)時(shí)，，那么拋物線.設(shè)直線，代入得，設(shè)，那么，，因?yàn)?，所以，即，又，那么，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為定值2.3.拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn).〔1〕求過(guò)點(diǎn)，且與相切的圓的方程；〔2〕過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求證：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】〔1〕;〔2〕見解析.【解析】試題分析：〔1〕圓過(guò)可得，圓與直線相切，可得.由，得.從而得圓的方程.試題解析：解法一：〔1〕拋物線的準(zhǔn)線的方程為：，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)所求圓的圓心，半徑為，圓過(guò)，，圓與直線相切，.由，得.過(guò)，且與直線相切的圓的方程為.〔2〕依題意知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，，，，，聯(lián)立，消去得.，.直線的方程為，令，得.直線過(guò)定點(diǎn),解法二：〔1〕同解法一.〔2〕直線過(guò)定點(diǎn).證明：依題意知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，，，，，聯(lián)立，消去得，，.，.，即，三點(diǎn)共線，直線過(guò)定點(diǎn).解法三：〔1〕同解法一.〔2〕設(shè)直線的方程：，，，那么.由得，.，.，直線的方程為..直線過(guò)定點(diǎn).點(diǎn)睛:定點(diǎn)、定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定點(diǎn)〞是什么、“定值〞是多少，或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題，證明該式是恒定的.定點(diǎn)、定值問(wèn)題同證明問(wèn)題類似，在求定點(diǎn)、定值之前該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).4.拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn).〔1〕求拋物線的方程以及的值；〔2〕記拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，假設(shè)，，求實(shí)數(shù)的值.【答案】〔1〕2〔2〕【解析】試題分析：〔1〕先根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程得，最后求出A點(diǎn)坐標(biāo)，并根據(jù)拋物線定義求的值；〔2〕設(shè)，那么根據(jù)，得，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理得，再將化成坐標(biāo)關(guān)系40，解方程組可得，.試題解析：〔1〕依題意，橢圓中，，故，故，故，那么，故拋物線的方程為.將代入，解得，故.易得，那么，那么，當(dāng)，解得，故.5.設(shè)圓以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，且與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn).〔1〕求圓的方程；〔2〕過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線與拋物線分別交于點(diǎn)，和，，求經(jīng)過(guò)，，,四點(diǎn)的圓的方程.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】〔2〕設(shè)過(guò)點(diǎn)與圓相切的斜率為正的一條切線的切點(diǎn)為，連接，那么，且，，∴，那么直線的方程為，與聯(lián)立，得，記直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為，，那么，，，從而的垂直平分線的方程為，令，得，由圓與拋物線的對(duì)稱性，可知圓的圓心為，，又點(diǎn)到直線的距離，∴圓的半徑，∴圓的方程為.考點(diǎn)：1.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)；2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)．【名師點(diǎn)睛】對(duì)于圓錐曲線的綜合問(wèn)題，①要注意將曲線的定義性質(zhì)化，找出定義賦予的條件；②要重視利用圖形的幾何性質(zhì)解題(本書多處強(qiáng)調(diào))；③要靈活運(yùn)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、斜率公式、中點(diǎn)公式、判別式等解題，巧妙運(yùn)用“設(shè)而不求〞、“整體代入〞、“點(diǎn)差法〞、“對(duì)稱轉(zhuǎn)換〞等方法.6.如圖，拋物線：，過(guò)焦點(diǎn)斜率大于零的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，且與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)．〔Ⅰ〕假設(shè)線段的長(zhǎng)為，求直線的方程；〔Ⅱ〕在上是否存在點(diǎn)，使得對(duì)任意直線，直線，，的斜率始終成等差數(shù)列，假設(shè)存在求點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕存在點(diǎn)或，使得對(duì)任意直線，直線，，的斜率始終成等差數(shù)列．【解析】試題分析：〔Ⅰ〕因?yàn)橹本€過(guò)焦點(diǎn)，所以設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為，利用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，，解得直線方程；〔Ⅱ〕設(shè)，用坐標(biāo)表示直線的斜率，假設(shè)成等差數(shù)列，那么,代入〔1〕的坐標(biāo)后，假設(shè)恒成立，解得點(diǎn)的坐標(biāo).試題解析：〔Ⅰ〕焦點(diǎn)∵直線的斜率不為，所以設(shè)，，由得，，，，，∴，∴．∴直線的斜率，∵，∴，∴直線的方程為．〔Ⅱ〕設(shè)，，同理，，∵直線，，的斜率始終成等差數(shù)列，∴恒成立，即恒成立．∴，把，代入上式，得恒成立，．∴存在點(diǎn)或，使得對(duì)任意直線，直線，，的斜率始終成等差數(shù)列．考點(diǎn)：1.拋物線的幾何性質(zhì)；2.直線與拋物線的位置關(guān)系.【方法點(diǎn)睛】此題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系問(wèn)題，屬于難題，對(duì)于此題的第二問(wèn)，考查的是恒成立的問(wèn)題，假設(shè)存在，說(shuō)明與直線無(wú)關(guān)，即與直線的斜率無(wú)關(guān)，可求得定點(diǎn)M,解析幾何中有很多未知量，要通過(guò)設(shè)直線，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件進(jìn)行消元，從而化簡(jiǎn)，例如此題，通過(guò)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示斜率，再通過(guò)直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，通過(guò)消元得到點(diǎn)M的坐標(biāo)與直線斜率的關(guān)系，組合通過(guò)恒成立解決.7.拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上，拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于5.〔Ⅰ〕求拋物線的方程；〔Ⅱ〕如圖，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與圓交于兩點(diǎn)，假設(shè)，求三角形的面積.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.【解析】〔Ⅱ〕顯然直線的斜率存在，設(shè)其斜率為，由于過(guò)焦點(diǎn)，所以直線的方程為，取的中點(diǎn)，連接，那么，由于，所以點(diǎn)也是線段的中點(diǎn)，設(shè)、、，那么，由得，所以，，，即，即，整理得，即，原點(diǎn)到直線的距離為考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．【方法點(diǎn)睛】此題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要無(wú)視判別式的作用．8.拋物線，焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且到的距離比到直線的距離小1.〔1〕求拋物線的方程；〔2〕假設(shè)點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線與，切點(diǎn)分別為，求證:直線恒過(guò)某一定點(diǎn).【答案】〔1〕〔2〕【解析】試題分析：〔1〕根據(jù)拋物線定義可得直線為拋物線的準(zhǔn)線，即得，〔2〕關(guān)鍵求出直線AB方程，先設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可得切線斜率，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程，求兩切線方程交點(diǎn)可得點(diǎn)坐標(biāo)，由于點(diǎn)在直線上，所以可得.最后聯(lián)立AB方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理得，即得直線恒過(guò)定點(diǎn).試題解析：〔1〕因?yàn)榈降木嚯x與到直線的距離相等，由拋物線定義知，直線為拋物線的準(zhǔn)線，所以，得,所以拋物線的方程為.〔2〕設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，由(1)知，.那么切線的斜率分別為,,故切線的方程分別為,,聯(lián)立以上兩個(gè)方程，得故的坐標(biāo)為.因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即.設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，得，所以，即，所以.故的方程為,故直線恒過(guò)定點(diǎn).9.如圖，拋物線與圓相交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.過(guò)劣弧上動(dòng)點(diǎn)作圓的切線交拋物線于兩點(diǎn)，分別以為切點(diǎn)作拋物線的切線，與相交于點(diǎn).〔1〕求拋物線的方程；〔2〕求點(diǎn)到直線距離的最大值.【答案】〔1〕;〔Ⅱ〕當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.【解析】試題分析：(1)且在圓上可得點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋拋線方程可得.(2)設(shè)兩切點(diǎn)，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求兩切線和其交點(diǎn)為,又由得從而為.再利用點(diǎn)到線的距離公式求解即可.試題解析：〔1〕由得，故.于是，拋物線的方程為.〔Ⅱ〕設(shè)，，切線：，代入得，由解得,方程為，同理方程為,聯(lián)立，解得,易得方程為，其中，滿足，,聯(lián)立方程得，那么,∴滿足,即點(diǎn)為.點(diǎn)到直線：的距離關(guān)于單調(diào)減，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.10.設(shè)拋物線：〔〕的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且．〔1〕求拋物線的方程；〔2〕為拋物線上不與原點(diǎn)重合的一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上異于點(diǎn)，的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線依次交拋物線和軸于點(diǎn)，，求證：．【答案】〔1〕；〔2〕證明見解析.【解析】試題解析：〔1〕解：由拋物線定義知，所以，∴該拋物線的方程為．〔2〕證明：如圖，設(shè)過(guò)點(diǎn)的垂線為