2023年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過專題46幾何概型文

考點(diǎn)46幾何概型〔1〕了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.〔2〕了解幾何概型的意義.一、幾何概型1．幾何概型的概念如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型.2．幾何概型的特點(diǎn)〔1〕試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果〔根本領(lǐng)件〕有無限多個(gè).〔2〕每個(gè)根本領(lǐng)件發(fā)生的可能性相等.3．幾何概型的概率計(jì)算公式.4．必記結(jié)論〔1〕與長度有關(guān)的幾何概型，其根本領(lǐng)件只與一個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)；〔2〕與面積有關(guān)的幾何概型，其根本領(lǐng)件與兩個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)，假設(shè)圖形不明確，可將兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣根本領(lǐng)件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題；〔3〕與體積有關(guān)的幾何概型.二、隨機(jī)模擬用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)的方法為隨機(jī)模擬方法或蒙特卡羅方法.這個(gè)方法的根本步驟是：〔1〕用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，并賦予每個(gè)隨機(jī)數(shù)一定的意義；〔2〕統(tǒng)計(jì)代表某意義的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)M和總的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N；〔3〕計(jì)算頻率作為所求概率的近似值.注意，用隨機(jī)模擬方法得到的結(jié)果只能是概率的近似值或估計(jì)值，每次試驗(yàn)得到的結(jié)果可能不同，而所求事件的概率是一個(gè)確定的數(shù)值.考向一與長度有關(guān)的幾何概型求解與長度有關(guān)的幾何概型的問題的關(guān)鍵是將所有根本領(lǐng)件及事件包含的根本領(lǐng)件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)長度，進(jìn)而求解．此處的“長度〞可以是線段的長短，也可以是時(shí)間的長短等.注意：在尋找事件發(fā)生對應(yīng)的區(qū)域時(shí)，確定邊界點(diǎn)是問題的關(guān)鍵，但邊界點(diǎn)能否取到不會(huì)影響事件的概率.典例1某學(xué)校星期一至星期五每天上午都安排五節(jié)課,每節(jié)課的時(shí)間為40分鐘．第一節(jié)課上課的時(shí)間為7:50~8:30,課間休息10分鐘．某同學(xué)請假后返校,假設(shè)他在8:50~9:30之間到達(dá)教室,那么他聽第二節(jié)課的時(shí)間不少于10分鐘的概率是A． B．C． D．【答案】A故所求概率為,選A．典例2在區(qū)間上隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù),那么事件“〞發(fā)生的概率為A．B．C．D．【答案】A【解析】區(qū)間的長度為2,由可得,所以所求事件的概率為P=.1．公共汽車在7:00到7:20內(nèi)隨機(jī)到達(dá)某站,李老師從家里趕往學(xué)校上班,7:15到達(dá)該站,那么她能等到公共汽車的概率為A．B．C．D．2．在長度為10的線段AB上任取一點(diǎn)C(不同于A,B),那么以AC,BC為半徑的圓的面積之和小于58π的概率為A．B．C．D．考向二與面積有關(guān)的幾何概型求解與面積有關(guān)的幾何概型的問題的關(guān)鍵是構(gòu)造出隨機(jī)事件對應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何特征找出兩個(gè)“面積〞，套用幾何概型的概率計(jì)算公式，從而求得隨機(jī)事件的概率.必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解．“面積比〞是求幾何概型的一種重要的方法.典例3在如下圖的扇形AOB中,∠AOB=,半圓C切AO于點(diǎn)D,與圓弧AB切于點(diǎn)B,假設(shè)隨機(jī)向扇形AOB內(nèi)投一點(diǎn),那么該點(diǎn)落在半圓C外的概率為A．B．C．D．【答案】AS'=×R2=,那么所求概率P=1-=1-,應(yīng)選A．典例4隨機(jī)向邊長為5，5，6的三角形中投一點(diǎn)P，那么點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于2的概率是________.【答案】【解析】假設(shè)點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于2，那么P的位置位于圖中陰影局部，三角形在三個(gè)圓的面積之和為，的面積為那么陰影局部的面積為，故所求的概率為.3．圓O內(nèi)有一內(nèi)接正三角形,向圓O內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn),那么該點(diǎn)落在正三角形內(nèi)的概率為A．B．C．D．4．是集合所表示的區(qū)域，是集合所表示的區(qū)域，向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn)，那么該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為________.考向三與體積有關(guān)的幾何概型的求法用體積計(jì)算概率時(shí)，要注意所求概率與所求事件構(gòu)成的區(qū)域的體積的關(guān)系，準(zhǔn)確計(jì)算出所求事件構(gòu)成的區(qū)域的體積，確定出根本領(lǐng)件構(gòu)成的區(qū)域的體積，求體積比即可.一般當(dāng)所給隨機(jī)事件是用三個(gè)連續(xù)變量進(jìn)行描述或當(dāng)概率問題涉及體積時(shí)，可以考慮用此方法求解.典例5一只小蜜蜂在一個(gè)棱長為30的正方體玻璃容器內(nèi)隨機(jī)飛行,假設(shè)蜜蜂在飛行過程中與正方體玻璃容器六個(gè)外表中至少有一個(gè)的距離不大于10,那么就有可能撞到玻璃上而不平安,即始終保持與正方體玻璃容器六個(gè)外表的距離均大于10,飛行才是平安的.假設(shè)蜜蜂在正方體玻璃容器內(nèi)飛行到任意位置的可能性相等,那么蜜蜂飛行平安的概率是A．B．C．D．【答案】C5．如圖,在一個(gè)棱長為2的正方體魚缸內(nèi)放入一個(gè)倒置的無底圓錐形容器,圓錐的上底圓周與魚缸的底面正方形相切,圓錐的頂點(diǎn)在魚缸的缸底上,現(xiàn)在向魚缸內(nèi)隨機(jī)地投入一粒魚食,那么“魚食落在圓錐外面〞的概率是A．B．C．D．考向四隨機(jī)模擬的應(yīng)用利用隨機(jī)模擬試驗(yàn)可以近似計(jì)算不規(guī)那么圖形A的面積,解題的依據(jù)是根據(jù)隨機(jī)模擬估計(jì)概率，然后根據(jù)列等式求解.典例6?周髀算經(jīng)?中給出了勾股定理的絕妙證明,如圖是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形,分別涂成朱(紅)色及黃色,其面積分別稱朱實(shí)、黃實(shí),利用2×勾×股+(股-勾)2=4×朱實(shí)+黃實(shí)=弦實(shí),化簡得勾2+股2=弦2.設(shè)勾股形中勾股比為1∶,假設(shè)向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲3000顆圖釘,那么落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)約為(≈1.732)A．134 B．268C．402 D．536【答案】C6．如圖,在一不規(guī)那么區(qū)域內(nèi),有一邊長為1m的正方形,向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地撒1000顆黃豆,數(shù)得落在正方形區(qū)域內(nèi)(含邊界)的黃豆數(shù)為375,以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計(jì)出該不規(guī)那么圖形的面積為A．

m2B．2m2C．

m2D．3m21．在內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)，那么的概率為A．B．C．D．2．假設(shè)任取,那么點(diǎn)滿足的概率為A．B．C．D．3．在區(qū)間上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)那么方程有兩個(gè)正根的概率為A．B．C．D．4．在直角坐標(biāo)系中,任取n個(gè)滿足x2+y2≤1的點(diǎn)(x,y),其中滿足|x|+|y|≤1的點(diǎn)有m個(gè),那么用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為A．B．C．D．5．某校航模小組在一個(gè)棱長為6米的正方體房間內(nèi)試飛一種新型模型飛機(jī),為保證模型飛機(jī)平安,模型飛機(jī)在飛行過程中要始終保持與天花板、地面和四周墻壁的距離均大于1米,那么模型飛機(jī)“平安飛行〞的概率為A．B．C．D．6．如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=1,以A為圓心、1為半徑作圓弧DE,點(diǎn)E在線段AB上,在圓弧DE上任取一點(diǎn)P,那么直線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率是A．B．C．D．7．函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù))的圖象與直線軸圍成的區(qū)域?yàn)?直線與軸、軸圍成的區(qū)域?yàn)?在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn),那么該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為A．B．C．D．8．?九章算術(shù)?中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？〞其大意：“直角三角形兩直角邊長分別為步和步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？〞現(xiàn)假設(shè)向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，那么豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是A．B．C．D．9．有一根長為1米的細(xì)繩,將細(xì)繩隨機(jī)剪斷,那么兩截的長度都大于

米的概率為__________.10．一個(gè)正方體的外接球的外表積為48π,從這個(gè)正方體內(nèi)任取一點(diǎn),那么該點(diǎn)取自正方體的內(nèi)切球內(nèi)的概率為__________.11．甲、乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位?？?小時(shí),假定它們在一天內(nèi)隨機(jī)到達(dá),假設(shè)兩船同時(shí)到達(dá)那么有一艘必須等待,試求這兩艘輪船中有一艘在?？坎次粫r(shí)必須等待的概率.12．某班早晨7：30開始上早讀課，該班學(xué)生小陳和小李在早上7：10至7：30之間到班，且兩人在此時(shí)間段的任何時(shí)刻到班是等可能的.(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出兩人到班的所有可能結(jié)果表示的區(qū)域；(2)求小陳比小李至少晚5分鐘到班的概率.13．函數(shù)

).(1)假設(shè)從集合中任取一個(gè)元素從集合中任取一個(gè)元素,求方程有實(shí)根的概率;(2)假設(shè)從區(qū)間中任取一個(gè)數(shù)從區(qū)間中任取一個(gè)數(shù),求方程沒有實(shí)根的概率.1．〔2023新課標(biāo)全國Ⅰ文科〕如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色局部和白色局部關(guān)于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，那么此點(diǎn)取自黑色局部的概率是 B．C． D．2．〔2023新課標(biāo)全國Ⅱ文科〕某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.假設(shè)一名行人來到該路口遇到紅燈，那么至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為A．B．C．D．3．〔2023江蘇〕記函數(shù)的定義域?yàn)椋趨^(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，那么的概率是▲．變式拓展變式拓展1．【答案】C2．【答案】C【解析】設(shè)AC=x,那么BC=10-x,0<x<10,由題意πx2+π(10-x)2<58π,得x2-10x+21<0,得3<x<7,故所求的概率為.3．【答案】C【解析】由題可得，設(shè)正三角形的邊長為2，那么其面積為.其外接球的直徑為，所以其半徑為，所以面積為.由幾何概型可知，所求概率為應(yīng)選C．4．【答案】【解析】易知的面積,的面積,根據(jù)幾何概型可得所求事件的概率為P=5．【答案】D6．【答案】A【解析】由幾何概型的概率計(jì)算公式及題意可近似得到=,所以該不規(guī)那么圖形的面積大約為=(m2).考點(diǎn)沖關(guān)考點(diǎn)沖關(guān)1．【答案】C【解析】假設(shè),那么在內(nèi)，所以所求概率為.選C．2．【答案】C【解析】根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式可知=.應(yīng)選C．3．【答案】A【解析】因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)正根,所以所以或又因?yàn)樗运蟾怕蕿?4．【答案】D【解析】畫出可行域,如下圖,四邊形ABCD的面積為2,其中圓O的面積為π.由幾何概型的概率公式,可得,那么π=,應(yīng)選D．5．【答案】D【解析】依題意得,模型飛機(jī)“平安飛行〞的概率為()3=,應(yīng)選D.6．【答案】B要使直線AP與線段BC有公共點(diǎn),那么點(diǎn)P必須在圓弧EM上,于是所求概率為P=.應(yīng)選B．7．【答案】A【解析】由題意，區(qū)域F的面積為e;區(qū)域E的面積S==,所以在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn),那么該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為.8．【答案】D【解析】由題意，直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=，所以現(xiàn)假設(shè)向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，那么豆子落在其內(nèi)切圓外的概率P=.9．【答案】10．【答案】【解析】因?yàn)橐粋€(gè)正方體的外接球的外表積為48π,所以這個(gè)正方體的棱長為4,而棱長為4的正方體的體積為43,該正方體的內(nèi)切球的半徑為2,體積為×23,所以所求概率P=.11．【解析】設(shè)甲船到達(dá)的時(shí)間為x,乙船到達(dá)的時(shí)間為y,那么0≤x<24,0≤y<24.假設(shè)有一艘在?？坎次粫r(shí)必須等待,那么|y-x|<6,如圖中陰影局部所示,所以所求概率為1-=1-=.12．【解析】〔1〕用分別表示小陳、小李到班的時(shí)間，那么，所有可能結(jié)果對應(yīng)坐標(biāo)平面內(nèi)一個(gè)正方形區(qū)域ABCD，如下圖．〔2〕小陳比小李至少晚到5分鐘，即，對應(yīng)區(qū)域?yàn)椋敲此蟾怕蕿椋渲械谝粋€(gè)數(shù)表示的取值,第二個(gè)數(shù)表示的取值,即根本領(lǐng)件總數(shù)為16．設(shè)“方程恰有實(shí)根〞為事件當(dāng)或〞時(shí),“方程恰有實(shí)根〞即為“或〞.于是此時(shí)的取值情況為即包含的根本領(lǐng)件數(shù)為10．故

“方程有實(shí)根〞的概率為．〔2〕從區(qū)間中任取一個(gè)數(shù)從區(qū)間中任取一個(gè)數(shù)那么試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域,這是一個(gè)長方形區(qū)域,其面積為,設(shè)“方程沒有實(shí)根〞為事件，那么事件所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋涿娣e為．由幾何概型的概率計(jì)算公式可得“方程沒有實(shí)根〞的概率為．直通高考直通高考1．【答案】B【解析】不妨設(shè)正方形邊長為，由圖形的對稱性可知，太極圖中黑、白局部面積相等，即各占圓面積的一半．由幾何概型概率的計(jì)算公式得，所求概率為，選B．【名師點(diǎn)睛】對于一個(gè)具體問題能否用幾何概型的概率公式計(jì)算事件的概率，關(guān)鍵在于能否將問題幾何化，也可根據(jù)實(shí)際問題的具體情況，選取適宜的參數(shù)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在此根底上，將實(shí)驗(yàn)的每一結(jié)果一一對應(yīng)于該坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，使得全體結(jié)果構(gòu)成一個(gè)可度量的區(qū)域；另外，從幾何概型的定義可知，在幾何概型中，“等可能〞一詞理解為對應(yīng)于每個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的點(diǎn)落入某區(qū)域內(nèi)的可能性大小，僅與該區(qū)域的度量成正比，而與該區(qū)